高中数学理科函数的概念与性质测试题

函数的概念与性质测试题

一、选择题

1．如图所示，可表示函数)(x f y =的图象的只可能是( ).

1．D

提示：根据函数的定义，任意一个x 只能有惟一的y 值和它对应，故A 、B 、C 都不是函数图象，所以选D.

2

．已知2

2

11)

11(x

x x x f +-=+-，则f (x)的解析式为( ). A ．

21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．2

1x

x

+- 2．C 提示：设

y x x =+-11，则y

y

x +-=11， 代入到式子中得222

12)

11(1)

11(

1)(y y y

y y

y y f +=+-++--=，∴2

12)(x x x f +=，故选C. 3．已知函数)(x f 的定义域为(a ,b)且2>-a b ，则()(31)(31)F x f x f x =-++的定义域为( ).

A ．(13,13-+b a )

B ．(

3

1

,31-+b a ) C ．(31,31--b a ) D ．(3

1

,31++b a ) 3．B 提示：∵函数)(x f 的定义域为(a ,b)，

∴???<+<<-<,13,13b x a b x a ???????-<<-+<<+?,313

1,3

131

b x a b x a 3131-<<+?b x a . 故选B.

4．已知函数1

1

-+=

x x y ，那么( ). A ．当)1,(-∞∈x 或),1(+∞∈x 时，函数单调递减

D

B ．当),1()1,(+∞-∞∈ x 时，函数单调递增

C ．当),1()1,(+∞---∞∈ x 时，函数单调递减

D ．当),1()1,(+∞---∞∈ x 时，函数单调递增 4．A 提示：12112111-+=-+-=-+=

x x x x x y ，所以该函数由x

y 2

=向右平移一个单位再向上平移一个单位得到，故在(1,∞-)或(+∞,1)上都为减函数．

5．定义运算??

?>≤=),

(,),

(,*b a b b a a b a 若2()log *(2)()x f x x x R =∈，则f (2)的值为( ).

A ．4

B ．0

C ．1

D ．8 5．C 提示：22(2)log 2*(2)f ==1。故选C.

6．已知21,[1,0),

()1,[0,1],

x x f x x x +∈-?=?+∈?则下列函数的图象错误的是( ).

A ．)1(-x f 的图象

B ．)(x f -的图象

C ．|)(|x f 的图象

D ．|)(|x f 的图象 6．D 提示：0)(≥x f ，|)(|x f =)(x f ，所以|)(|x f 的图象与)(x f 的图象是一样的，故D 不正确．

7．在直角坐标系中，函数2

23a

x a y +=(a >0为常数)所表示的曲线叫箕舌线，则箕舌线可能是下列图形中的( ).

7． A 提示：通过对所给函数分析，其具有的性质有：①函数是偶函数，②函数先单调递增后单调递减，③当2a x =

时，2

54a

a y >=

，所以选A. 8．偶函数满足：对于)(x f (R x ∈)，有0)1()4(==-f f ，且在区间[0,3]与),3[+∞上

分别单调递减和单调递增，则不等式0)(3

A ．),4()4,(+∞--∞

B ．)4,1()1,4( --

C ．)0,1()4,(---∞

D ．)4,1()0,1()4,( ---∞ 8．D 提示：由草图得0)(

9．设A={N x x x ∈<<,50|}，B={2,1--}，函数B A f →：满足B 是值域，则这样的函数f 有( ).

A ．16个

B ．15个

C ．14个

D ．8个

9．C 提示：A={N x x x ∈<<,50|}}4,3,2,1{=，所以B A f →：的映射共有4

2个，但由于B 是值域，不能将1，2，3，4都对应到1-，也不能都对应到2-，故共有14224

=-个映射。故选C 。

11．定义在R 上的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，当x >2时，)(x f 单调递增，如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值为( ).

A ．恒小于0

B ．恒大于0

C ．可能为0

D ．可正可负

11．A 提示：由421<+x x ，0)2)(2(21<--x x 知21,x x 中有一个小于2，一个大于2，即不妨设212x x <<，又)4()(+-=-x f x f 知)(x f 以(2,0)为对称中心，且当2>x 时，)(x f 单调递增，所以1142x x -<<，)()4()(112x f x f x f -=-<，所以

0)()(21<+x f x f ，故选A.

12．已知)(x f 是定义在R 上的函数，对任意的R x ∈都有)2()()4(f x f x f +=+成立．若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，2)1(=f ，则(2009)f 等于( ).

A ．2009

B ．2

C ．1

D ．4

12．B 提示：∵函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，∴函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称，即)(x f 为偶函数；令2-=x ，则)2()2()2(f f f +-=，∴0)2(=-f ，又)(x f 是偶函数，∴0)2(=f ，∴)()4(x f x f =+，故)(x f 的周期为4，

∴(2009)(45021)(1)2f f f =?+==，故选B ． 备用题

4．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( ). A ．x x x f 1)(+

= B ．x

x x f 1

)(-= C ．21)(x x f -= D ．||)(x x x f = 4．D 画出||)(x x x f =的图象可知.

5．已知0<x f ，那么在[b a ,]上，

)

(1

)(x f x g =

( ). A ．单调递增且)(x g >0 B ．单调递减且)(x g <0 C ．单调递增且)(x g <0 D ．单调递减且)(x g >0

5．C 设],[b a x ∈，则],[a b x --∈-，0)(>-x f ，0)(>-x f ，∴0)(

)(x g <0，单调性可用定义证明.

二、填空题

13．对于定义在R 上的函数)(x f ，若实数满足00)(x x f =，则称0x 是函数)(x f 的一个不动点，若函数2

()4f x x ax =++没有不动点，则实数a 的取值范围是_______.

13．35a -<< 提示：由24x ax x ++=得2

(1)40x a x +-+=，由

2

(1)

160a

?=--<得35a -<<。

14．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线2

1

=

x 对称，则(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f ++++++=_________.

14．0 提示：∵)(x f 为R 上的奇函数，∴)()(x f x f -=-且)0(f =0， 又)(x f 的图象关于直线2

1

=

x 对称，∴)1()(x f x f -=， ∴)1()1()2(f f f -=-=，)1()2()2()3(f f f f =-=-=，

)1()3()3()4(f f f f -=-=-=，)1()4()4()5(f f f f =-=-=， (6)(5)(5)(1)f f f f =-=-=-，(7)(6)(6)(1)f f f f =-=-=，

又0)0()11()1(==-=f f f ，∴原式=0. 15．已知函数)(lg x f 的定义域为]100,10

1

[

，则函数)(x f 的定义域为_____________；函数)2(2-x f 的定义域为_______________．

15．]2,1[-；]2,1[]1,2[ -- 提示：由]100,10

1

[

∈x 得]2,1[lg -∈x ，所以函数)(x f 的定义域为]2,1[-；又由]2,1[22-∈-x 得]2,1[]1,2[ --∈x ，所以函数)2(2-x f 的定义域为]2,1[]1,2[ --.

16．设{x }表示离x 最近的整数，即若2

1

21+<≤-m x m (Z m ∈)，则{x }=m .给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：

①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0,2

1]； ②函数)(x f y =的图象关于直线2

k

x =

(Z k ∈)对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1； ④函数)(x f y =是偶函数．其中真命题是__________. (把所有正确命题的序号都填在横线上)

16．①②③④ 提示：这是一个定义新概念题目，要很快理解这个数}{x ，才能画出函数|}{|)(x x x f -=的图

象，如图所示，函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性易见．

三、解答题

17．已知)(x f y =定义在R 上，满足()()0f x f x +-=，且0≥x 时，2

2)(x x x f -=.

(1)求0

(2)是否存在这样正数a 、b ，当],[b a x ∈时，)()(x f x g =，且)(x g 的值域为]1

,1[a

b ，若存在，求出a 、b 的值，若不存在，说明理由.

17．解：(1)由()()0f x f x +-=知函数)(x f y =是奇函数，根据已知条件得

x x x f 2)(2+=(0

(2) ∵22)(x x x f -=1)1(12

≤--=x ，而],[b a x ∈时，)()(x f x g =且)(x g

的值

域为]1,1[a b ，∴

11

≤a

. 又∵0>a ，∴1≥a ，)(x g 在[a ,b]上是减函数， ∴b

b g a a f a g 1)(,1)()(==

=， 解得1=a ，2

5

1+=

b . 18．)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且)()()(y f x f y

x f -=.

(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式2)1()3(<-+x

f x f . 18．解：(1)令y x =，得f (1)=0.

(2)由定义域知???

??>>+,01,03x

x 得0>x ．

由f (6)＝1，2)1

()3(<-+x f x f 及函数)(y

x f 的定义式，得)6(2)]3([f x x f <+，

即)6()6()]3([f f x x f <-+，即)6(]6

)

3([

f x x f <+. ∵)(x f 在),0(+∞上是增函数，根据复合函数的单调性知

66

)

3(<+x x ． 解得

2

17

3321733+-<<--x ．

综合，得02

17

33+-<

)((R c b a ∈,,且0≠a )满足条件：①当R x ∈时，

)2()4(x f x f -=-且x x f ≥)(；②)2,0(∈x 时，2

)2

1(

)(+≤x x f ；③)(x f 在R 上的最小值为0；求最大的m(m>1)，使得存在R t ∈，只要∈x [1,m]就有x t x f ≤+)(成立．

19．解：由)2()4(x f x f -=-得对称轴方程为1-=x ，

又由③知2

)1()(+-=x a x f ，当)2,0(∈x 时，再由2

)2

1(

)(+≤≤x x f x ，令1=x 得：

)1(f =1，因此41-=a ，∴2)1(4

1

)(+=x x f ，

由于)(t x f +的图象是由)(x f 的图象向左(或向右)平移||t 个单位而产生的，欲使存在

t 在],1[m t ∈时，有x t x f ≤+)(，则必须向右移(如图所示)，

且1和m 分别是方程x t x f =+)(的两根.

即x t x =++2)1(4

1

的两根分别为1和m ，得4-=t ，m=9．

20．已知函数2)(x x f =，1)(-=x x g ．

(1)若R x ∈?，使)()(x g b x f ?<成立，求实数b 的取值范围；

(2)设21)()()(m m x g m x f x F --+?-=，且|)(|x F 在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．

20．解：(1)若R x ∈?，使)()(x g b x f ?<成立?R x ∈?，使02

<+-b bx x 成立

004)(2--?b b b 或b >4；

(2)221)(m mx x x F -+-=，45)1(4222-=--=?m m m ，

(I)当?≤0，即552552≤

≤-m 时，055255

25

52,02

≤≤-????????≤≤-≤m m m

； (II)当?>0，即552-

5

2>m 时，设方程0)(=x F 的两根为21x x 、(21x x <). 若552>

m ，则5

5

2>m ，∴02>x . ∴201)0(0

,1221≥?<-=??????<≥m m F x m ； 若552-

5

2-

.

∴???

?

?

????

-<≤≤-?≥-?≥

综上所述：01≤≤-m 或2≥m .

21．已知函数x

a a

x x f --+=

1)((a ∈R ,且x ≠a).

(1)证明：f(x)+2+f(2a-x)=0对定义域内的所有x 都成立； (2)当f(x)的定义域为]1,2

1

[++

a a 时，求证：f(x)的值域为[-3,-2]； (3)设函数g(x)=x 2+|(x-a)f(x)|，求g(x)的最小值. 21．解：(1)利用恒等变形解题， ∵)2(2)(x a f x f -++x

a a a

x a x a a x +--+-++--+=

21221

01221121=--+--+-+=-+-++--+=x

a x a x a a x a x x a x a a x

∴结论成立. (2) x

a x a x a x f -+-=-+--=1

11)()(

当121+≤≤+

a x a 时，有112,211-≤-≤---≤-≤--x

a a x a 所以21

13-≤-+

-≤-x

a .所以可以得到f(x)的值域为[-3,-2]. (3) 函数g(x)=x 2+|x+1-a|(x ≠a)，

①当x ≥a-1(x ≠a)，a x a x x x g -++=-++=4

3

)2

1(1)(2

2

. 如果a-1≥-21,即a ≥2

1

时,则函数在),1[a a -和),(+∞a 上单调递增， ∴2

min )1()1()(-=-=a a g x g . 如果a-1<-21,即当a<21且a ≠-21时,a g x g -=-=4

3

)21()(min . 当a= -

2

1

时, g(x)的最小值不存在. ②当x ≤a-1时，4

5)2

1(1)(2

2

-+-=+--=a x a x x x g . 如果a-1>

21,即a>23时,45)21()(min -==a g x g , 如果a-1≤21,即当a ≤2

3

时, g(x)在)1,(--∞a 上为减函数，

2min )1()1()(-=-=a a g x g

当a>

23时,0)23()45()1(22

>-=---a a a ； 当a<21时, 0)2

1()43()1(22

>-=---a a a ；

综上，就可得出如下结论：

当a<

21且a ≠21时, g(x)的最小值是a -43；当21≤a ≤23

时, g(x)的最小值是(a-1)2； 当a>23时, g(x)的最小值是45-a ；当a= -2

1

时, g(x)的最小值不存在.

22．定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意实数m ，n ，总有)()()(n f m f n m f ?=+，且当x >0时，0<)(x f <1．

(1)试求)0(f 的值；

(2)判断)(x f 的单调性并证明你的结论；

(3)设A={)1()()(|),(22f y f x f y x >?}，B={1)2(|),(=+-y ax f y x ,R a ∈}，若A B=?，试确定a 的取值范围．

(4)试举出一个满足条件的函数)(x f ．

22．解：(1)在)()()(n f m f n m f ?=+中，令m=1，n=0，得：)0()1()1(f f f ?= 因为0)1(≠f ，所以)0(f =1．

(2)要判断)(x f 的单调性，可任取R x x ∈21,，且设21x x <.

在已知条件)()()(n f m f n m f ?=+中，若取2x n m =+，1x m =，则已知条件可化为)()()(1212x x f x f x f -?=.

由于12x x ->0，所以1)(012<-

为比较)(2x f 、)(1x f 的大小，只需考虑)(1x f 的正负即可．

在)()()(n f m f n m f ?=+中，令x m =，x n -=，则得1)()(=-?x f x f . ∵x >0时，0<)(x f <1．∴当x <0时，01)

(1

)(>>-=

x f x f . 又)0(f =1，∴综上可知，对于任意的R x ∈1，均有)(1x f >0. ∴0]1)()[()()(12112<--=-x x f x f x f x f .

∴函数)(x f 在R 上单调递减．

(3)首先利用)(x f 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含对应法则的式子．

)1()()(22f y f x f >?，即122<+y x .

)0(1)2(f y ax f ==+-，即02=+-y ax .

由A B=?，得直线02=+-y ax 与圆面122<+y x 无公共点，所以，

11

22

≥+a ，解得：11≤≤-a .

(4)如x

x f )2

1()(=. 备用试题

1．已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件： ①对任意的R x ∈都有)()4(x f x f =+；

②对于任意的2021≤<≤x x 都有)()(21x f x f >；

③)2(-=x f y 的图象关于y 轴对称．则下列结论中，正确的是( ). A ．)5.4(-f <)5.1(-f <)7(f B ．)5.4(-f <)7(f <)5.1(-f C ．)7(f <)5.4(-f <)5.1(-f D ．)5.1(-f <)7(f <)5.4(-f

1．D 提示：因为函数)2(-=x f y 的图象关于y 轴对称，所以)(x f y =的图象关于

2-=x 对称．又)()4(x f x f =+，故周期为4，所以函数)(x f y =对任意的

2421-≤<≤-x x 都有)()(21x f x f >，所以)(x f y =在[2-,0]上单调递增，所以

)5.1(-f <)7(f <)5.4(-f ．选D ．

2．函数1

23

)(-=x x f 在区间[1,5]上的最大值与最小值分别为_________；_________. 2．3；

3

1

提示：设5121≤<≤x x ，那么 )

12)(12()(6123

123)()(21122121---=

---=

-x x x x x x x f x f 由于5121≤<≤x x ，所以012>-x x 且0)12)(12(21>--x x ，

于是0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >。 所以函数123)(-=

x x f 在区间[1,5]上是减函数，因此，最小值为3

1

)5(=f ，最大值为3)1(=f .

3．已知二次函数c bx ax x f y ++==2)(的图象开口向上，且以y 轴为对称轴，已知

b a +=1，若点(y x ,)在)(x f y =的图象上，且点(1,2+y x )在函数)]([)(x f f x g =的图象

上．

(1)求函数)(x g 的表达式；

(2)设)()()(x f x g x F λ-=，是否存在实数λ，使)(x F 在区间)2

2

,(-

-∞上是减函数，且在区间)0,2

2

(-

上是增函数？若存在，求出λ值，若不存在，说明理由． 3．解：(1)抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称，即函数是偶函数，可求得b=0． ∵b a +=1，故a =1，此时c x x f +=2)(．

∴)]([)(x f f x g =c c cx x c c x +++=++=2

24222)(．

∴点(y x ,)在)(x f y =的图象上，且点(1,2

+y x )在函数)]([)(x f f x g =的图象上， ∴?????+++=++=.

21,2

2422

c c cx x y c x y ∴121)(2

2422=?+++=++c c c cx x c x ，

∴1)(2

+=x x f ，)]([)(x f f x g =222

4

++=x x ∴)()()(x f x g x F λ-=λλ-+-+=2)2(2

4x x .

(2)设2

x u =，则λλ-+-+=2)2()(24x x x F λλ-+-+=2)2(2

u u

当2221-

<<<∞-x x 时，21>u ，且u 是x 的减函数，当02

2

21<<<-

x x 时，2

1

0<

u u u h x F ，

当21>

u 时为增函数，当2

1

0<

1=

u 是λλ-+-+==2)2()()(2u u u h x F 的对称轴，即21

22=--λ，解得λ=3．

当λ=3时，1)()(2--==u u u h x F 在)2

1

,0(∈u 内为减函数，在),2

1(+∞∈u 内为增函数，即λ=3适合题意．