七年级数学培优 不等式
专题16 不等式（组）
阅读与思考
客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：
1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.
2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.
例题与求解
【例1】已知关于x 的不等式组?????<-+->-+x t x x x 2
35
35
2恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）
A 、2116-<<-t
B 、2116-<≤-t
C 、2116-≤<-t
D 、2
116-≤≤-t
(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）
解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式7
10
05)2(<
>---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 .
（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）
解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系. 【例3】已知方程组??
?=+=-6
2
y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值.
（天津市竞赛试题）
解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围.
【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最大 值和最小值.
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.
【例6】设765,4321,,,,,x x x x x x x 是自然数，7654321x x x x x x x <<<<<<，
6
54543432321,,,x x x x x x x x x x x x =+=+=+=+，
2010,7654321765=++++++=+x x x x x x x x x x 又，求321x x x ++的最大值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.
【例6】已知实数a ，b 满足,10,41≤-≤≤+≤b a b a 且a －2b 有最大值，求8a ＋2003b 的值. 解题思路：解法一：已知a －b 的范围，需知－b 的范围，即可知a －2b 的最大值得情形. 解法二：设a －2b ＝m （a ＋b ）＋n （a －b )＝（m ＋n )a ＋（m －n )b
能力训练
A 级
1、已知关于x 的不等式
4
3
21432≥-≤+x mx x m 的解集是那么m 的值是 （“希望杯”邀请赛试题）
2、不等式组??
?<->+5
242b x a x 的解集是20< （湖北省武汉市竞赛试题） 3、若a ＋b ＜0，ab ＜0，a ＜b ，则b b a a --,,,的大小关系用不等式表示为 （湖北省武汉市竞赛试题） 4、若方程组? ? ?+=++=+36542m y x m y x 的解x ，y 都是正数，则m 的取值范围 是 （河南省中考试题） 5、关于x 的不等式x a ax +>+33的解集为3- (2013年全国初中数学竞赛预赛试题） 6、适合不等式21414312-≥+->-x x x 的x 的取值的范围是（ ） 7、已知不等式0)2)(1(>+-x mx 的解集23-<<-x 那么m 等于（ ） A 、 31 B 、3 1 - C 、3 D 、－3 8、已知0≠a ，下面给出4个结论：①012>+a ；②012 <-a ；③1112>+ a ④1112 <-a ，其中，一定成立的结论有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 （江苏省竞赛试题） 9、当k 为何整数值时，方程组 ?? ?-=-=+k y x y x 396 2有正整数解？ （天津市竞赛试题） 10、如果?? ?==2 1y x 是关于x ，y 的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组?????+<-+> -3 31413x ax b x a x 的解集 11、已知关于x 的不等式组?? ???<≥-20 3b x a x 的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a ，b ）共有多少个？ （江苏省竞赛试题） B 级 1、如果关于x 的不等式03≥+ax 的正整数解为1，2，3那么a 的取值范围是 （北京市”迎春杯“竞赛试题） 2、若不等式组? ? ?-≥-≥+2210x x a x 有解， 则a 的取值范围是___________. （海南省竞赛试题） 3、已知不等式03≤-a x 只有三个正整数解，那么这时正数a 的取值范围为 . （”希望杯“邀请赛试题） 4、已知1121<-<-x 则 12 -x 的取值范围为 . (“新知杯”上海市竞赛试题） 5、若正数a ，b ，c 满足不等式组 ?????????<+<<+<<+ 53523 2611 ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A 、a ＜b ＜c B 、 b ＜c ＜a C 、c ＜a ＜b D 、不确定 （“祖冲之杯”邀请赛试题） 6、一共（ ）个整数x 适合不等式99992000≤+-x x A 、10000 B 、20000 C 、9999 D 、80000 （五羊杯“竞赛试题） 7、已知m ，n 是整数，3m ＋2＝5n ＋3，且3m ＋2＞30，5n ＋3＜40，则mn 的值是（ ） A 、70 B 、72 C 、77 D 、84 8、不等式5+>x x 的解集为（ ） A 、25< x B 、25>x C 、25- 5->x （山东省竞赛试题） 9、31,2 351312++---≥--x x x x x 求已知 的最大值和最小值. （北京市”迎春杯”竞赛试题） 10、已知x ，y ，z 是三个非负有理数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若s ＝2x ＋y －z ，求s 的取值范围. （天津市竞赛试题） 11、求满足下列条件的最小正整数n ，对于n 存在正整数k 使13 7158<+ 12、已知正整数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，且11 11=++c b a ，试求a ，b ， c 的值. 专题16 不等式（组） 例1 C 提示：解不等式组得3220t x -<<，则5个整数解为x ＝19，18，17，16，15.结合数轴分 析，应满足14≤3－2t ＜15，故－6＜t ≤11 62 t -<≤-. 例2 1345x < 提示：(2)5m n x m n ->+，20m n -<， 510 27 m n m n +=-，0m <，1345m n =. 例3 1m =或3m = 提示：解方程组得81 621x m m y m ? =??+?-?=?+? ，由 ,0x y ≥??≥? 得－1≤m ≤0 例4 提示：由已知条件得325213a b c a b c +=-??+=+? ,解得73711a c b c =-??=-?,m=3c －2.由0 00 a b c ≥?? ≥??≥? 得730 71100 c c c -≥?? -≥??≥? ,解得37711c ≤≤,故m 的最大值为111-,最小值为57- 例5先用x 1和x 2表示x 3,x 4，…，x 7,得312423125341264512 75612 2233558x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+? ?=+=+?? =+=+??=+=+?=+=+??,因此x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7= 2 010. 于是得121201013113100()20220x x x -= =+-.因为x 2是自然数,所以1113 ()220 x -是整数，所以x 1 是10的奇数倍.又因为x 1＜x 2，故有三组解:x 1=10,x 2=94,或x 1=30,x 2=81,或x 1=50,x 2=68. 因此x 1+x 2的最大值为50+68=118,所以x 1+x 2 +x 3的最大值为2(x 1+x 2)=2×118=236. 例6解法一 ：∵0≤a －b ≤1①，1≤a +b ≤4 ②，由②知－4≤－a －b ≤－1③， ①+③得－4≤－2b ≤0，即－2≤－b ≤0④，①+④得－2≤a －2b ≤1 要使a —2b 最大，只有a －b =1且－b =0. ∴a =1 且b =0，此时8a +2003b =8. 解法二 ：设a －2b=m(a+b)+n(a －b)=(m+n)a+ (m －n)b,知12m n m n +=??-=-?,解得12 32 m n ? =-????=??. 而()11222a b -≤- +≤-,()33022a b ≤-≤,∴a －2b=()12a b -++()3 2 a b - ∴－2≤a －2b ≤1 当a —2b 最大时，a +b=1，a －b=1∴b=0，a=1，此时8a +2003b =8. A 级 1.910 2.11. 1提示:原不等式组变形为4252x a b x >-+<由解集是0＜x ＜2知40 5 02 a b -=?? ?+=??,解得21a b =??=-? 故a +b =2+(－1)=1 3.a ＜－b ＜b ＜－a 4. 5 2 ＜m ＜7 5.B 提示：由ax +3a ＞3+x ,得(a －1)(x +3)＞0,.由不等式的解集为x ＜－3知x +3＜0, 所以a －1＜0,得a ＜1. 6.C 7.B 8.C 9.k =2或3. 10. 提示：由非负数性质求得a =2,b =5,原不等式组的解集为x ＜－3. 11.原不等式组等价于322 a x b b x ?≥??? ?-< b <≤ 得a =－5,－4,－3;b =5,6.故整数对(a ,b )共有2×3=6对. B 级 1.314a -≤<- 提示:由题意可知:3x a ≤-.由正整数解为1,2,3知334a ≤-<-,解得3 14a -≤<- 2.a ≥－1 提示:原不等式组变形为1x a x ≥-??≤? 由不等式组有解知－a ≤1,故a ≥－1 3. 9≤a ＜12 4. 2 11x -> 5. B 提示:原不等式组变形为 1736c a b c c ≤++<,5823a a b c a <++<,71524 b a b c b <++<. 6. C 示：若x ≥2000，则(x －2000)+x ≤9999，即2000≤x ≤5999, 共有4 000个整数; 若0≤x ＜2000,则(x －2000)+x ≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000个整数适合 若x ＜0，则2000－x +(－x ) ≤9999即－3999.5≤x ＜0，共有3999个整数适合，故一共有 4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合. 7. D 8.C 提示:由原不等式得x 2＞(x +5)2 9.提示：解不等式，得711 x ≤ , 原式=() ()()41223143x x x x -≥?? ---≤ ,从而知最大值为4，最小值为3311- 10.提示：s =x +2，2≤s ≤3 11.提示:由 871513n n k <<+,得151387n k n +<<，即76 87 k n >> .又n 与k 是都是正整数，显然n ＞8，当n 取9,10,11,12,13,14时，k 都取不到整数. 当n =15时, 9010578k << ,即61 121378 k << 此时是k =13故满足条件的最小正整数n =15,k =13. 12.由a b c ＜＜得111a b c ＞＞，故1113a b c a ++＜，即31,3a a ＞＜，又因为1a ＞，故a=2，从而有1112 b c +=，又1 1c b ＜，则21 2 b ＞，即b ＜4，又b ＞a=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求.