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高中数学公式大全（最新整理版）

1、二次函数的解析式的三种形式

(1) 一般式 f (x) ax 2 bx c(a

0) ;

(2) 顶点式 f (x)

a( x h) 2 k (a 0) ;

(3) 零点式 f (x)

a( x x 1)( x x 2 )(a 0) . 2、四种命题的相互关系

原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否

§ 函数

1、若 f ( x)

若 f ( x)

2、函数 y (1) 函数 y

f (2 a

f ( x a) , 则函数

y f (x)

的图象关于点

( a

,0)

2

对称;

f ( x

a)

, 则函数 y f (x)

为周期为 2a 的周期函数 .

f ( x) 的图象的对称性

f ( x) 的图 x a 象关于直线对称

f ( a x) f (a x)

x) f (x).

a b

(2) 函数

y

f ( x) x

2 对称f (a mx) f (b mx)

的图象关于直线

f ( a b mx)

f ( mx) .

3、两个函数图象的对称性 (1) 函数 y f ( x) 与函数 y

f (

x)

的图象关于直线

x 0

( 即

(2) 函数 y f (mx a) 与函数 y f (b mx)

的图象关于直线

(3) 函数

y f (x) 和 y f

1 (x)

的图象关于直线 y=x 对称 .

4、若将函数 y f (x)

的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到函数

若将曲线 f

( x, y)

的图象右移 a

、上移 b 个单位，得到曲线

y

轴)对称.

a b

x

2m 对称 .

y f ( x a)

b

的图象； f (x a, y b)

的图

象 .

5、互为反函数的两个函数的关系： f (a) b

f 1 (b) a .

6 、 若 函 数

y

y

1

[ f 1 (x) b] f ( kx b)

存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为

k ,并不是

1

(kx b) 是

y

1

b]

的反函数 .

y [ f 1 (kx

b) , 而函数 y [ f

k [ f (x)

7、几个常见的函数方程

(1) 正比例函数 f ( x)

cx , f ( x y)

f ( x) f ( y), f (1) (2) 指数函数

f ( x)

a x , f (x y) f ( x) f ( y), f (1) a (3) 对数函数 f ( x) log a x , f ( xy) f (x) f ( y), f (a)

(4) 幂函数 f (x) x

, f (xy)

f ( x) f ( y), f ' (1)

.

(5) 余弦函数

f ( x)

cos x , 正弦函数 g( x)

sin x ， f ( x

c .

0 .

1(a 0, a 1) .

y) f (x) f (y)

g(x) g( y) ，

§ 数 列

1、数列的同项公式与前 n 项的和的关系

a n

s 1 ,

n 1

s n s n 1 , n 2

{ a n }

s n

a 1 a 2 L a n

数列 的前 n 项的和为 ).

(

2 、等差数列的通项公式

a n a 1 (n 1)d dn a 1 d (n

N *) ；其前 n 项和公式为

s n n(a 1 a n )

na 1

n( n 1) d

d n 2 (a 1 1

d )n

2

2

2

2 .

a n a 1q

n 1

a 1

q n ( n N * )

3、等比数列的通项公式

q ；其前 n 项的和公式为

s n

a 1

(1 q n )

, q1

s n

a 1 a n q

, q 1 1 q

1 q

na 1, q 1

或

na 1 ,q 1 .

4、等比差数列

a n : a n 1

qa

n

d ,a 1 b(q

0)

的通项公式为

b (n 1)d, q 1

a n

bq n (d b)q n 1 d , q 1

q 1

；其前 n 项和公式为

nb n(n 1)d ,( q 1)

s n

(b

d 1 q n

d

n,( q 1)

1

)

1

q q 1

q

.

§ 三角函数

sin

1、同角三角函数的基本关系式

sin 2 cos 2

1 ， tan = cos ， tan cot

1.

2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

n

n )

( 1)2 sin ,

(n 为偶数 )

sin(

2

n

1

( 1) 2

co s ,

(n 为奇数 )

n

(n 为偶数 )

cos(

n

) ( 1) 2

co s ,

n 1

2

(

1) 2

sin ,

(n 为奇数 )

3、和角与差角公式

sin(

) sin

cos

cos sin

;

cos(

) cos cos msin sin ;

tan( )

tan

tan

1 mtan tan

.

sin( )sin(

) sin 2

sin 2 ( 平方正弦公式 ); cos(

)cos(

) cos 2

sin 2

.

a sin

b cos = a

2

b 2

sin(

)

(辅助角 所 在 象 限 由 点

(a,b)

的象限决

b

tan

定, a

). 4、二倍角公式

sin 2

sin

cos2 cos 2 tan 2

2 tan 1 tan 2

5、三倍角公式

cos

.

sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2

.

.

sin 3

3sin

4sin 3

4sin

sin(

)sin(

)

3

3 .

cos3

4cos 3

3cos

4cos cos(

)cos(

) .

3 3

tan3

3tan

tan 3

tan tan( ) tan(

)

1 3tan 2

3 3

.

6、三角函数的周期公式

函数

y

sin( x

)

， x ∈ R 及函数

y

cos( x

)

， x ∈ R(A, ω, 为常数，且 A ≠0，ω

T 2

＞0)

的周期

；

函数

y

tan( x

) ，x

k

2 , k

Z

(A, ω , 为常数，且 A ≠ 0，ω＞ 0) 的周期 T

.

a

b

c 2R

7、正弦定理 sin A

sin B

sin C

.

8、余弦定理

a 2

b 2

c 2 2bc cos A ; b 2 c 2 a 2 2ca cos B ; c 2

a 2

b 2 2ab cosC . 9、面积定理

S 1

ah a 1 bh b 1

ch c （ h a 、 h b 、 h

c 分别表示 a 、b 、 c 边上的高） . （1） 2 2 2

S

1 1 bc sin A 1 ca sin B

ab sin C 2 2

（2）

2 . S

OAB

1 uuur uuur

2 uuur uuur 2

2 (| OA | |OB |) (OA OB) . (3)

§平面向量

1、两向量的夹角公式

cos

x 1 x 2 y 1 y 2

x 12

y 12 x 22 y 22 ( a=

(x 1

, y 1 )

, b=

(x 2

, y 2 )

).

2、平面两点间的距离公式 d A, B

uuur uuur uuur

= |AB|

AB AB

( x 2 x 1 )2 ( y 2

y 1 )

2

( x 1, y 1)

，B (x 2 , y 2 )

).

( A

3、向量的平行与垂直

设 a=

( x 1

, y 1)

, b=

( x 2

, y 2 )

，且

b 0，则

a|| b b=λ a

x 1 y 2

x 2 y 1 0 .

a b( a 0)

a ·b=0 x 1 x 2 y 1 y 2

0 .

4、线段的定比分公式

uuur

uuur

P (x , y )

P (x , y )

，

P( x, y)

是线段

PP

12 的分点

,

PP

PP

设 1 1

1

， 2

2

2

是实数，且

，则

1

2 x

x 1 x 2

1

uuur

uuur uuur

y 1 y 2

y

OP 1 OP 2

uuur

uuur

uuur

t 1

1

OP

1

OP

tOP 1 (1 t)OP 2 （

） .

1

5、三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为

A(x 1

,y 1 ) 、

B(x 2

,y 2 ) 、

C(x 3

,y 3 )

, 则△

ABC 的重心的坐标是

G(

x

1

x 2 x 3 , y 1

y 2 y

3

)

3

3

. 6、 三角形五“心”向量形式的充要条件

设 O 为 ABC 所在平面上一点，角

A, B, C

所对边长分别为

a,b,c ，则

（1）

O 为

ABC 的外心

uuur 2

uuur 2 uuur 2

OA

OB OC .

uuur uuur uuur

r

（2）O 为 ABC 的重心 OA OB OC

0.

uuur uuur

（3）

O 为

ABC 的垂心

uuur uuur uuur uuur

OA OB

OB OC OC OA .

（4）O 为

ABC 的内心

uuur

uuur

uuur

r

aOA bOB cOC 0 .

uuur

uuur

uuur

（5）

O

为

ABC 的 A 的旁心

aOA bOB cOC .

§直线和圆的方程

k

y 2

y 1

1、斜率公式

x 2

x 1

（ P (x , y ) 、 P (x

2

, y )

）.

1

1

1

2 2

2、直线的五种方程

（ 1）点斜式 （ 2）斜截式

（ 3）两点式 (4) 截距式

（ 5）一般式

y y 1

y kx

y y 1

y 2 y 1 x y a b

Ax By

k( x

x 1

)

( 直线 l 过点 P 1

( x 1

, y 1

)

，且斜率为

b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).

x x 1

x 2 x

y 1 y 2

)( P 1(x 1, y 1)

、 P 2 ( x 2 , y 2 )

1 (

1

a 、

b (

a 、b

分别为直线的横、纵截距，

C

( 其中 A 、 B 不同时为 0).

k

) ．

(

x

1

x 2 )).

0 )

3、两条直线的平行和垂直 (1) 若 l

1 : y k 1 x b 1 ， l

2 : y k 2

x b 2

① l 1 ||l

2

k 1 k 2 ,b 1 b

2

;

② l 1

l

2

k 1k 2

1.

(2) 若 l 1 : A 1x B 1 y C 1 0 , l 2 : A 2 x

B 2

y C 2 0

, 且 A1、 A2、B1、 B2 都不为零 ,

l1 ||l 2

A1 B1 C1

A2 B2 C2

①；

② l1 l2A1 A2 B1B2 0 ；

| Ax0 By0 C |

4、点到直线的距离d

A2 B2 (点 P( x0 , y0 ) ,直线l： Ax By C 0 ).

5、圆的四种方程

（1）圆的标准方程

(x a)2 ( y b)2 r

（2）圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F

2

.

( D2E24F ＞0).

x a r co s

（3）圆的参数方程 y b r sin .

（4）圆的直径式方程

(x 1

2

( y

1

2

( 圆的直径的端点是 A( x 1 , y 1)

、

x )( x x ) y )( y

y )

B( x 2

, y 2 )

).

6、直线与圆的位置关系

直线

Ax

By C

0 与圆 (x

a) 2 ( y b) 2 r 2 的位置关系有三种 :

d r

相离

0 ; d r 相切

0 d r

相交

0 .

d

Aa Bb C

A 2

B 2

其中

.

7、圆的切线方程

(1) 已知圆

x 2 y 2

Dx Ey F 0 ．①若已知切点

(x 0 , y 0 ) 在圆上，则切线只有一条，

其方程是

x 0 x

D ( x 0 x)

E( y 0 y 0 y

2

2

x 0 x

D (x 0 x)

E( y 0 y 0 y

2

2

的切线方程可设为 y y 0

k( x

漏掉平行于 y 轴的切线．③斜率为必有两条切线．

y) F 0

.当

( x 0 , y 0 )

圆 外 时,

y)

F 0

表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点

x 0 ) ，再利用相切条件求 k ，这时必有两条切线， 注意不要 k

的切线方程可设为

y kx b

，再利用相切条件求 b ，

(2) 已知圆

x 2

y

2

r

2

．①过圆上的

P 0

(x 0

, y 0 )

点的切线方程为

x 0 x y 0

y r 2 ; ②斜率为

k

的圆的切线方程为

y kx r 1 k 2 .

§圆锥曲线方程

x 2 y 2

1(a b

0)

x a cos

y b sin

1、椭圆 a 2 b 2

.

的参数方程是

x 2 y

2

1(a b

0)

PF 1

e( x a 2

) PF 2

e(

a 2 x)

2、椭圆 a 2 b 2

焦半径公式

c ，

c

.

3、椭圆的切线方程

x 2 y 2

1(a b 0)

上一点 P(x 0, y 0 ) 处的切线方程是

x 0 x y 0 y 1

(1)

椭圆 a 2

b

2 a 2

b 2

.

x 2

y 2 1(a b 0)

P(x 0 , y 0 )

所引两条切线的切点弦方程是

(2) 过椭圆 a

2

b 2

外一点

x 0 x y 0 y

1

a 2

b 2

.

x 2 y

2 1(a b

0)

Ax By C 0

相切的条件是 A 2a 2

(3)

椭圆 a

2

b 2

B 2b 2 c 2 .

与直线

x 2

y 2

1(a 0, b 0) PF 1 | e( x a 2

PF 2 a 2 x) | 4、双曲线 a 2

b 2

) | | e(

的焦半径公式 c ，

c . 5、双曲线的方程与渐近线方程的关系

x 2

y 2 1

x 2 y 2

y

b x

a

2

b 2 渐近线方程： a 2

b 2

(1 ）若双曲线方程为

a

.

y

b x x y

x 2 y 2

b 2

(2) 若渐近线方程为

a

a b

双曲线可设为 a 2 .

x 2

y 2 1

x 2 y

2

(3) 若双曲线与 a

2

b

2

a

2

b

2

，焦点在 x 轴上，

有公共渐近线，可设为

（

，焦点在 y 轴上） .

6、 双曲线的切线方程

x 2

y 2 1(a 0,b

0)

上一点

P(x 0

, y 0 )

处的切线方程是

x 0 x y 0 y

1

(1) 双曲线 a 2

b 2 a 2

b 2

.

x 2

y 2 1(a 0,b

0)

（2）过双曲线 a

2

b 2

外一点 P( x 0 , y 0 )

所引两条切线的切点弦方程是

x 0 x y 0 y 1

a

2

b

2

.

x 2 y 2

1(a 0, b

0)

Ax

By C

相切的条件是

(3)

双 曲 线 a

2

b

2

与 直 线 A 2 a

2

B 2b

2

c 2 .

7、抛物线 y

2

2 px

的焦半径公式：抛物线 y 2

2 px( p

0) 焦半径

CF

x 0

p 2 .过焦点

CD

x 1

p x

2 p x 1

x 2 p

2 2

弦长

.

y ax 2 bx c

a( x b ) 2 4ac b 2

0)

的图象是抛物线： （ 1）顶点坐

8、二次函数

2a 4a (a

b

4ac b 2

( b , 4ac b 2 1 )

(

,

4a

)

2a 4a

标 为

2a ；（2）焦点的坐标为

；（3）准线方程是

4ac b 2 1

y

4a

.

9、 抛物线的切线方程

(1) 抛物线

y 2 2 px 上一点 P( x 0 , y 0 ) 处的切线方程是 y 0 y p( x x 0 ) .

（2 ）过抛物线 y

2

2 px 外一点 P(x 0

, y 0 )

所引两条切线的切点弦方程是 y 0 y p( x x 0) .

（3 ）抛物线 y

2

2 px ( p 0) 与直线 Ax By C

相切的条件是 pB 2

2AC .

1、球的半径是 R ，则其体积

2、柱体、锥体的体积

4

3

V

3

R

,其表面积 S 4 R 2 ．

V 柱体

1 Sh

（

S 是柱体的底面积、

h 是柱体的高） .

3

V

锥体

1

Sh

（

S

是锥体的底面积、

h

是锥体的高） .

3

3、回归直线方程

n

n

x i x y i y

x i y i nx y b

i

1

i 1

n

2

n

2 nx 2

x i x i x

i 1

i

1

$

bx

，其中 a y bx

.

y a

§极 限

1、几个常用极限

1 n

lim x x 0

lim

1 1 lim

lim a 0

（ | a | 1 x

x

.

x x

（1） n

n ， n

）；（ 2） x x 0 ，

sin x

1 x

lim

1

lim

e

x

1

（3） x 0 ；（ 4） x

x

(e=2.718281845 ).

§导 数

1、几种常见函数的导数 (1)

C 0

（C 为常数） .

(2)

(x n )' nx n 1

( n Q) . (3) (sin x) cos x .

(4) (cos x)

sin x .

(5) (ln x)

1

(log a x

) 1

log a e

.

x ； x (6) (e x )

e x ; (a x )

a x ln a .

2、导数的运算法则

（1）

(u v) '

u '

v ' .

（2） (uv)

'

u ' v uv ' .

( u

)' u ' v uv ' (v 0)

（3）

v

v 2 . 3、复合函数的求导法则

设函数

u ( x)

在点 x 处有导数 u

x

'

'

( x) ，函数 y

f (u)

在点 x 处的对应点

U 处有导数

y u '

f '

(u) ， 则 复 合 函 数 y

f ( ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 ， 且

y x

'

y u ' u x ' ，或写作

f x ' ( ( x)) f ' (u) '

( x) . §复 数

1、复数 z a bi 的模（或绝对值） | z |=

| a

bi |= a 2 b 2 .

2、复数的四则运算法则

(1) (a bi ) ( c di ) ( a c) (b d )i ; (2) (a bi ) (c

di ) ( a c) (b d )i ;

(3) (a bi )(c di ) (ac bd ) (bc ad )i ;

(a bi ) (c di ) ac bd bc ad

0) (4) c 2 d 2 c 2

d 2 i(c di

. 3、复数的乘法的运算律 交换律 : z 1 z 2

z 2 z 1 .

结合律 : ( z 1 z 2 ) z 3 z 1 ( z 2 z 3) .

分配律 : z 1 ( z 2 z 3 ) z 1 z 2

z 1

z

3

.

4、复平面上的两点间的距离公式

d | z 1 z 2 |

( x 2 x 1) 2 ( y 2

y 1) 2 （ z 1

x 1 y 1i ， z 2

x 2 y 2i ） .

5、向量的垂直

uuuur

uuuur

uuuur

uuuur

非零复数

z 1

a bi ， z 2 c di

对应的向量分别是

OZ 1 ，

OZ

2

，则

OZ

1

OZ 2z 1 z 2

z 2

的实部为零

z 1

为纯虚数

| z 1 z 2 |2 | z 1 |2 | z 2 |2

| z z |2 | z |2 | z |2

| z 1 z 2 | | z 1 z 2 |

ac bd

z 1

iz 2

( λ为非

1

2

1

2

零实数 ).

6、实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程 ax 2

bx c 0 ，

b 2

0, 则 x 1,2

b b 2

4ac

①若

4ac

2a

;

0, 则 x 1

x 2

b

②若 b 2 4ac

2a ;

③若

b

2

4ac

，它在实数集

R

内没有实数根； 在复数集 C

内有且仅有两个共轭复数

x b

(b 2 4ac)i (b 2 4ac 0)

根

2a .