九年级上册数学期末复习(整理稿)

课前朗读背诵内容：一元二次方程

1、一元二次方程：含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式:)0(02

≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2

ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数;b ｘ叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。二、一元二次方程的解法

１、直接开平方法: 形如： 2

(0)x a a =≥ 解为

:x =利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2

)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，

a x +是ｂ的平方根,当0≥

b 时，b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有

实数根。 2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式2

)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数ｘ,并用x 代替,则有2

)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为１，再同时加上一次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的求根公式:

)04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x

公式法的步骤:就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法,这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤:把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以,就可以化为乘积的形式

三、一元二次方程根的判别式

根的判别式

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 中,ac b 42

-叫做一元二次方程

)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?

I : 当△＞０时,一元二次方程有两个不相等的实数根; ＩI : 当△=０时，一元二次方程有两个相等的实数根; III : 当△<0时,一元二次方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么

b x x -=+21,a c

x x =21。

五、一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法）,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。

韦达定理运用的常用变形:

222121212()2x x x x x x +=+-,

121212

x x x x x x ++=，

2212

1212()()4x x x x x x -=+-,

12||x x -= 2212121212()x x x x x x x x +=+,

221112

121212

22212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==

练习：２016/1/６

１.方程3ｘ2-３＝２x+１的二次项系数为____＿，一次项系数为___＿_＿,常数项为_＿＿_＿_.

2．关于x的方程（a-1）ｘ2＋3ｘ=０是一元二次方程,则a的取值范围是__＿＿_＿＿_.

3．判断下列方程是否为一元二次方程？

（1）３x＋２=５y-3 (2）x2=4 (3) 3ｘ２－5

＝0（４) x２-4＝(x+2) 2（5)

ax２+bx+c＝0

4..若x=1是关于ｘ的一元二次方程 a x2＋ｂx+ｃ=0(a≠０)的一个根，求代数式2007(a+ｂ+c)的值。

练习：2０16/１/7

1.关于x的一元二次方程(ａ－1) x2+x+a 2－1=０的一个根为0，则a=

2.方程ｘ（x-1)＝2的根为

3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是ｘ=3,则m的值为＿＿___＿_＿

将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．

A．（x-2)２＋3B．(ｘ-2)２－3 C.(x+2）２＋3 Ｄ.(ｘ＋2)２－3 4.方程x2+4x-5=0的解是________.

5.代数式

x x

的值为０,则x的值为＿＿______．

练习:2016/1／8

1.一元二次方程ｘ2-ax+1＝0的两实数根相等,则a的值为

2.已知k≠1,一元二次方程(k－１)x2+kx+1=0有根,则ｋ的取值范围是

3.如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+ｎ=０的根，那么m-n的值为

4. x2-5x因式分解结果为_＿_____；2x(x－３)－5（x-3)因式分解的结果是______. 5．方程(2x-1）2=2ｘ-1的根是__＿_＿_＿＿.

练习：２0１6／1/９

1.已知x2+y２+z2-2x＋4y-６ｚ+14＝0，则ｘ+ｙ+z的值是

2.如果x2+4x-5=0,则x=__＿_＿_＿.

用配方法解下列关于x的方程

3.（1)ｘ2-8x+１=０(2）ｘ2－2x-

4.已知:x２+4x+y2-6y+13=０，求

x y

的值

练习：2016/1/10

１.用公式法解下列方程.

（1）２x2－x-1=0 （２)x2+1.５=-3x （3）4ｘ２-3x+2＝0

２．用因式分解法解下列方程.

（1）3y2－６y=0(2)3(1)33

x x x

+=+（３）

3.已知(x+y ）（ｘ＋y －1）=0,求ｘ+y 的值.

练习：２0１6/１／１1 利用韦达定理变式

1. 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:

（1) 22

12x x +;

(2）

x x +

;?（３) 12(5)(5)x x --；??（４) 12||x x -

练习：201６／１／１２

1. 方程(2x －1）（x+1)=1化成一般形式是＿＿____＿，其中二次项系数是______,一次项系数是＿_____。

2. 关于x 的方程04

)2(2=+

++k

x k kx 有两个不相等的实数根. (１)求k 的取值范围。

(２)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于０?若存在，求出k 的值；若不存在,说明理由

课前朗读背诵内容: 二次函数

1.二次函数的概念:一般地，形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数,0a ≠）的函数,叫

做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠，而b c ，可以为

零.

2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数，b 是一次项系数,c 是常数项. 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2． 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。

4． ()2y a x h k =-+的性质： 1. 平移步骤:

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+,确定其顶点坐标

()h k ，;

⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2)

⑵c bx ax y ++=2

沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2

变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看,()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者

通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ???

，其中2424b ac b h k a a -=-=

，．二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数2

y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

二次函数2y ax bx c =++的性质

1．当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，.

当2b x a <-

时,y 随x 的增大而减小；当2b

x a

>-时，y 随x 的增大而增大;当2b

x a =-时，y 有最小值

244ac b a -． 2. 当0a <时,抛物线开口向下，对称轴为2b

x a

，顶点坐标为2

424b ac b a a ??-- ?

，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b

x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时,y 有最大值244ac b a -．

二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ,b ,c 为常数，0a ≠); 2．顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ，k 为常数,0a ≠）;

3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都

可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1．已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小)值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式;

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．练习：2０1６/１/12

１、已知函数()x x m y m 311

+-=+，当m= 时，它是二次函数. ２、已知抛物线342++=x x y ，请回答以下问题：

⑴、它的开口向，对称轴是直线，顶点坐标

为 ;

⑵、图象与x 轴的交点为 ,与y 轴的交点为。 3、二次函数

243y x x =--，当x= 时,函数y 有最值是 .

4. 若将二次函数ｙ=x 2－2x+3配方为y ＝（x-h)2+k 的形式，则y=_＿__＿＿__.

５、将121222--=x x y 变为

n m x a y +-=2

)(的形式,则n m ?＝练习：20１6/1/13

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

１. 二次函数2

47y x x =--的顶点坐标是

２、已知二次函数

222

--=x ax y 的图象与x 轴有两个交点,则a 的取值范围是 3、已知y=a ｘ2+bx+c 的图象如下，

则：a 0，ｂ０ ,c 0 ，ａ+ｂ＋c ０，a-ｂ+c 0, b 2-４ac 0,4a+２b+c 0

４.二次函数2

3y x bx =++的对称轴是2x =,则b =＿_____＿。

5 .已知抛物线ｙ=-2(x+３）2＋5,如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｘ的取值范围是_＿_＿__＿.

若抛物线y ＝x 2-2ｘ-3与x 轴分别交于Ａ、Ｂ两点,则AB 的长为＿＿＿___＿__．

练习:2016/１/14

1. 把抛物线2

2y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是 2. 二次函数2241y x x =--的图象是由2

2y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的，则b= ，c= 。３. 抛物线12

+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为 4、已知函数42

--=

x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，ｘ的取值范围是 ____ 5．二次函数ｙ =ax 2＋bx +c 的图象如图所示，且a -ｂ＋c 0 a ＋b ＋c ０６.如图所示的抛物线是二次函数

的图象，那么

的值是＿_＿______．

7.已知二次函数

的部分图象如图所示，则关于

的一元二次方程

的解为＿____＿___．

８．二次函数y=ｍx 2+(2m －1)ｘ+m+1的图象总在ｘ轴的上方,m 的取值范围是____＿______＿＿＿。

9. 观察图象,直接写出一元二次不等式:

的解集是____________；

练习：2０16／1/１5

1、如果抛物线c x x y +-=82的顶点在ｘ轴上,

则c = _＿___ .

2. 抛物线y=

1x 2

向左平移3个单位，再向下平移2个单位后,所得的抛物线表达式是 3.若 y =（ m 2+ m ）x m2 – 2m －

1是二次函数，则ｍ＝_＿_____＿___．

4. 已知抛物线与x 轴的交点是、B （１,0),且经过点C(2,8）。则解析式为＿

＿_＿__＿

练习:２016/1/16

1．若抛物线c bx ax y ++=2

过两点A (2,6） ,Ｂ (-６,６) , 则抛物线的对称轴为直线为 _＿__________

2、已知某商品的进价为每件40元，售价是每件６0元，每星期可卖出3０0件。市场调查反映:如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出1０件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润?

3、已知一次函数y=－2x＋c与二次函数y=ａx2+bx－４的图象都经过点A(1,-１），二次函数的对称轴直线是ｘ=-1，

（1)请求出一次函数和二次函数的表达式．

（2)指出二次函数值大于一次函数值的自变量Ｘ取值范围。

练习:２０1６/1/17

1、已知抛物线的顶点为(-1,-3),与ｙ轴交点为（０，-５),求此抛物线的解析式。

２、根据下列不同条件,求二次函数的解析式:

(１）已知当x=2时,y有最小值３,且经过点(ｌ，5 )；

(2）图象经过（-3，0),(l，0）， (-l，4）三点．

3.已知二次函数图象与x轴交点（2,0)（－1,０)与ｙ轴交点是（0,-１）求解析

式及顶点坐标

4. 若二次函数的图象的对称轴方程是,并且图象过Ａ(0，-4)和B(4,０)

（１）求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A′的坐标；?(2）求此二次函数的解析式；

练习：2０16／１/18

1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ）

Ａ.等边三角形?B．平行四边形 C.等腰梯形?D．圆

２.时钟上的分针匀速旋转一周需要6０分钟，则经过10分钟,分针旋转了?度．

3.如图，△ＡＢC中,90

∠ACB°,,3

,5=

=BC

将△ABC绕点Ｃ按逆时针方向旋转90°后到△DEＣ

的位置，则∠

∠B，AE= ,DE与AＢ的关

系是???.

E D

练习:２016／1/19

1．如图，四边形A ＢCD 的∠BAD=∠C=90°,AB=A Ｄ,A Ｅ⊥ＢC 于E,△BEA 旋转后能与△DF Ａ重合．

(１)旋转中心是哪一点？（２）旋转了多少度?

（3)如果点A 是旋转中心,那么点Ｂ经过旋转后,点B 旋转到什么位置?

2.如图,请画出△ABC 关于点O 点为对称中心的对称图形.

3. 如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后，△ＡＢC 的顶点均在格点上,点Ｃ的坐标为（4，﹣１).

(1)把△ABC 向上平移5个单位后得到对应的△A 1Ｂ1Ｃ1,画出△A 1B 1C １,并写出C １的坐标;

（２)以原点O 为对称中心,再画出与△A １B 1C 1关于原点O 对称的△A 2B ２Ｃ2，并写出点C 2的坐标.

4如图，方格中有一条美丽可爱的小金鱼．

(1)若方格的边长为1,则小鱼的面积为 _________ ;

(2）画出小鱼向左平移3格后的图形．(不要求写作图步骤和过程）

练习:2０１６/1/20

1.四边形ＡBCD 是正方形，△AD Ｆ旋转一定角度后得到△A ＢE ，如图所示,如果AF=4，A Ｂ＝７，

（1）指出旋转中心和旋转角度; (2)求DE 的长度;

（3)BE 与DF 的位置关系如何？

2. 如图，在Ｒt△ＯAＢ中，∠ＯAB=90°,OA＝AB=６,将△ＯAB绕点O沿逆时针方

向旋转90°得到△OA１B1.

（１)线段OA1的长是＿__＿＿____，∠AＯＢ1的

度数是_＿＿______；

（2）连接AA1，求证:四边形OＡA1B1是平行四边形；

(3）求四边形OＡＡ1B1的面积.