现代控制工程题目及解答
1.简述现代控制理论和经典控制理论的区别.
答：经典控制理论是以传递函数为基础的一种控制理论，控制系统的分析与设计是建立在某种近似的和试探的基础上，控制对象一般是单输入单输出、线性定常系统；对多输入多输出系统、时变系统、非线性系统等则无能为力。主要的分析方法有频率特性分析法、根轨迹分析法、描述函数法、相平面法、波波夫法等。控制策略仅限于反馈控制、PID控制等。这种控制不能实现最优控制。
现代控制理论是建立在状态空间上的一种分析方法，它的数学模型主要是状态方程，控制系统的分析与设计是精确的。控制对象可以是单输入单输出控制系统也可以是多输入多输出控制系统，可以是线性定常控制系统也可以是非线性时变控制系统，可以是连续控制系统也可以是离散和数字控制系统。主要的控制策略有极点配置、状态反馈、输出反馈等。现代控制可以得到最优控制。
2.简述用经典控制理论方法分析与设计控制系统的方法,并说明每一种方法的主要思想。
答：1：建立数学模型2：写出传递函数3：用时域分析和频域分析的方法来判断系统的稳定性等。以及对其进行系统的校正和反馈。
频域响应法、根轨迹法
根轨迹法的主要思想为：通过使开环传函数等于-1的s值必须满足系统的特征方程来控制开环零点和极点的变化，使系统的响应满足系统的性能指标。
频域响应法的主要思想为：通过计算相位裕量、增益裕量、谐振峰值、增益交界频率、谐振频率、带宽和静态误差常数来描述瞬态响应特性，首先调整开环增益，以满足稳态精度的要求；然后画出开环系统的幅值曲线和相角曲线。如果相位裕量和增益裕量提出的性能指标不能满足，则改变开环传递函数的适当的校正装置便可以确定下来。最后还需要满足其他要求，则在彼此不产生矛盾的条件下应力图满足这些要求。
3. 什么是传递函数？什么是状态方程
答：传递函数：在零起始条件下，线型定常系统输出象函数X0（s）与输入象函数X i（s）之比。
描述系统状态变量间或状态变量与输入变量间关系的一个一阶微分方程组（连续系统）或一阶差分方程组（离散系统）称为状态方程。
4.什么是状态变量？
答：构成控制系统状态的变量。
5. 如何从传递函数转换成状态方程？
答：首先选定状态变量，然后把系统的tf转化的微分方程建立系统状态空间表达式，写出输入、输出、状态变量之间的关系。具体如下：
传递函数为Y（s）/U（s）=G(S) 状态方程为:
.
X=Ax+Bu y=Cx+Du
将传递函数和状态方程进行拉普拉斯变换为sX(s)-x(0)=A X(s)+BU(s)
Y(s)=CX(s)+DU(s),又因为传递函数为在零初始条件下定义的,故
sX(s)=A X(s)+BU(s)
即G(S)=C(sI-A)-1B+D 这样就通过状态方程和传递函数联系了起来。
6系统的状态空间表达式经非奇异线性变换后，系统有哪些特性保持不变？答：对系统进行线型非奇异变换并不会改变系统原有的性质如行列式相同、秩相
同、特征多项式相同、特征值相同，传递函数、可控性、可观性不变能对该系统的时域行为表达同样的信息。
7.什么是可控性的概念？可控标准型的矩阵形式是什么？系统状态完全可控的充要条件是什么？
答：如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态x (t o )转移到任一状态，则称该系统在时刻t o 是能控的。
如果系统是状态能控的，那么给定任一初始状态x (0)，都应满足式?????????
???????????β???ββ-=β-=---=∑11011
0][)0(n n n k k
k B A AB B B A x M ΛM M 。这就要求n ×n 维矩阵 ][1B A AB B Q n -=M ΛM M
的秩为n 。
由此分析，可将状态能控性的代数判据归纳为：当且仅当n ×n 维矩阵Q 满秩，即
n B A AB B rank rankQ n ==-][1M ΛM M
时，由式考虑线性连续时间系统
Σ：)()()(t Bu t Ax t x +=&
其中，11,,)(,)(??∈∈∈∈n n n n R B R A R t u R t x （单输入），且初始条件为)0()(0x t x t ==。
确定的系统才是状态能控的。
下列状态空间表达式为能控标准形：
)3.1(100010000100
0010121121121u x x x x a a a a x x x x n n n n n n n ?????????????????????????+???????????????????????????????????????????????----????????
????=?????????????????????????----Λ
ΛΛΛ&&&& u
b x x x b a b b a b b a b y n o o n n o n n 0211111][+?????????????????????---=--M ΛM M
8.什么是可观测性的概念？写出可观测标准型矩阵形式。
答：Cx
y Ax x ==& 显然，如果系统是能观测的，那么在0≤t ≤t 1时间间隔内，给定输出y (t )，就可由式)0()()0()()0()()(1110x CA t CAx t Cx t t y n n --+++=αααΛ唯一地确定出x (0)。
可以证明，这就要求nm ×n 维能观测性矩阵
?????
???????=-1n CA CA C R M 的秩为n 。
由上述分析，我们可将能观测的充要条件表述为：由式考虑零输入时的状态空间表达式
)
14.3()13.3(Cx
y Ax x
==& 式中，n m n n m n R C R A R y R x ??∈∈∈∈,,,。
所描述的线性定常系统，当且仅当n ×nm 维能观测性矩阵
][1T n T T T T T C A C A C R -=）（M ΛM M 的秩为n ，即n rankR T =时，该系统才是能观测的。
如果系统的状态x (t o )在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻t o 是能观测的。
下列状态空间表达式为能观测标准形：
)
6.1(]1000[)5.1(1000010001211111211121u
b x x x x y u b a b b a b b a b x x x a a a x x x o n n o o n n o n n n n n n +?????????????????????????=????????????---+???????????????????????????????????????????-????????
????--=???????????????????????----ΛΛΛΛΛ&&&
注意，式（1.5）给出的状态方程中n×n 维系统矩阵是式（1.3）所给出的相应矩阵的转置。
9. 控制系统状态可观测条件是什么？
答：系统能观测的充要条件为：（1） J AS S =-1 J 中没有两个Jordan 块与同一特征值有关；（2）与每个Jordan 块的第一行相对应的矩阵CS 列中，没有一列元素全为零；（3）与相异特征值对应的矩阵CS 列中，没有一列包含的元素全为零。
10.极点配置的主要思想是什么？极点配置的算法1的主要设计步骤。
答：首先假定期望闭环极点为s =μ1，s =μ2,…，s =μn 。我们将证明，如果被控系统是状态能控的，则可通过选取一个合适的状态反馈增益矩阵K ，利用状态反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。
第1步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。
第2步：利用系统矩阵A 的特征多项式
n n n n a s a s a s A sI A sI ++++=-=---111)det(Λ
确定出n a a a ,,,21Λ的值。
第3步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P 。若给定的状态方程已是能控标准形，那么P = I 。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。
非奇异线性变换矩阵P 可由QW P =式给出，即式中Q 、W 由
][1B A AB B Q n -=M ΛM M (4.5)
???????
?????????=----0001001011132121ΛΛM M M M ΛΛa a a a a a W n n n n (4.6) 式中i a 为如下特征多项式的系数。
n n n n a s a s a s A sI ++++=---111Λ
定义。
第4步：利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
**--*++++=---n n n n n a s a s a s s s s 11121)))ΛΛμμμ（（（
并确定出***n a a a ,,,21Λ的值。
第5步：此时的状态反馈增益矩阵K 为
1112211][-**-*-*----=P a a a a a a a a K n n n n M M ΛM
M 11. 单输入-单输出系统能否通过输出反馈实现极点的任意配置？为什么？ 答：能。因为单输入单输出系统r[B]=1,完全可控。
12.什么是爱克曼公式？
答：对任一正整数n ，有
)(]][1000[11A B A AB B K n φ--=M ΛM M Λ 其中
????
??????+++=+++++=K A K K a A K A K a K a B A AB B BK
A A K K a A
B A K A K a K a B A ~~~][)~()~~()(*12*1*222*12*1*2M M φ 为用于确定状态反馈增益矩阵K 的爱克曼方程。
13.控制系统状态观测器的作用是什么？
极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要估计不可量测的状态变量。
需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量，因为噪声通常比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个纯微分环节可使信噪比减小数倍。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。
估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。
14. 什么是全阶状态观测器？全阶状态观测器的设计方法。
如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，不管其是否能直接量测，这种状态观测器均称为全维状态观测器。
15。什么是最小阶状态观测器？最小状态观测器的设计方法。
估计小于n 个状态变量（n 为状态向量的维数）的观测器称为降维状态观测器，或简称降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为最小阶状态观测器或最小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。
16.什么是调节器系统？什么是伺服系统？
采用极点配置的状态反馈方法来设计控制器的系统为调节器系统。
在给定的初始条件e （0）设计一个渐近稳定的调节器系统，使得e （t ）趋于0的系统为伺服系统
17. I 型伺服系统如何设计？零型伺服系统如何设计？
I 型闭环伺服系统的设计转化为：对于给定的任意初始条件e (0),设计一个渐近稳定的
调节器系统，使得e (t ）趋于零。如果由Bu Ax x +=&确定的系统是状态完全能控的，则对
矩阵A-BK ，通过指定的期望特征值μ1，μ2，…,μn ，可由极点配置方法来确定线性反馈增益矩阵K 。
x (t )和u (t )的稳态值求法为：在稳态（∞=t ）时，由式r Bk x BK A Bu Ax x
1)(+-=+=&可得 r Bk x BK A x 1)()(0)(+∞-==∞&
由于A-BK 的期望特征值均在s 的左半平面，所以矩阵A-BK 的逆存在。从而，x (∞)可确定为
r Bk BK A x 11)()(---=∞
同样，u (∞)可求得为
0)()(1=+∞-=∞r k Kx u
如果被控系统中没有积分器（0型被控系统），则设计I 型闭环伺服系统的基本原则是在误差比较器和系统间的前馈通道中插入一个积分器。
18 什么是系统的平衡状态？
考虑如下非线性系统
),(t x f x =& (5.1)
式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量x 1,x 2,…,x n 和t 的n 维向量函数。假设在给定的初始条件下，式(5.1）有唯一解),;(00t x t Φ。当t =t o 时，0x x =。于是
0000),;(x t x t =Φ
在式(5.1）的系统中，总存在