47、2019年中考“尺规作图”真题

一、选择题 9．（2019·长沙）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于1/2AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠CAD 的度数是（ ） A ．20° B ．30° C ．45° D ．60°

【答案】B

【解析】在△ABC 中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN 为AB 的中垂线，∴DA=DB ，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故本题选：B ．

8． （2019·烟台）已知∠AOB=60°，以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA ，OB 于点M ，N ，分别以M ，

N 为圆心，以大于1/2MN 的长度为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点P ，以OP 为边作∠POC=15°，则∠BOC 的度数为（ ）．

A ．15°

B ．45°

C ．15°或30°

D ．15°或45° 【答案】D

【解析】由题目可以得出OP 为AOB ∠的平分线，所以1

302

AOP BOP AOB ∠=∠=

∠=?，

又因为15POC ∠=?，考虑到点C 有可能在AOP ∠内也有可能在BOP ∠内，所以当点C 在AOP ∠内时BOC ∠45BOP POC =∠+∠=?，当点C 在BOP ∠内时BOC ∠15BOP POC =∠-∠=?． 2. 3. 4. 39.

二、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2 39.

三、解答题

22．（2019山东省德州市，22，12）如图，∠BPD ＝120°，点A 、C 分别在射线PB 、PD 上，∠P AC ＝30°，AC ＝2√3．

（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A 、C 两点分别与射线PB 和PD 相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；

（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；

（3）求所得的劣弧与线段P A、PC围成的封闭图形的面积．

【解题过程】（1）如图，

（2）已知：如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠P AC＝30°，AC＝2，过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB，

求证：PB、PC为⊙O的切线；

证明：∵∠BPD＝120°，P AC＝30°，

∴∠PCA＝30°，

∴P A＝PC，

连接OP，

∵OA⊥P A，PC⊥OC，

∴∠P AO＝∠PCO＝90°，

∵OP＝OP，

∴Rt△P AO≌Rt△PCO（HL）

∴OA＝OC，

∴PB、PC为⊙O的切线；

（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°﹣30°＝60°，

∴△OAC为等边三角形，

∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，

∵OP平分∠APC，

∴∠APO＝60°，

∴AP＝×2＝2，∴劣弧AC与线段P A、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO﹣S扇形AOC＝2××2

×2﹣＝4﹣2π．

20．(2019·泰州)如图,△ABC中,∠C＝90o,AC＝4,BC＝8.

(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线; (保留作图痕迹,不要求写作法)

(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.

第20题图

【解题过程】(1)如图所示,直线DE为所求的AB的垂直平分线;

(2)连接AD,因为DE垂直平分AB,所以AD＝BD,设AD＝BD＝x,则CD＝8－x,在Rt△ACD中,AC2+CD2＝AD2,即42+(8－x)2＝x2,解之得,x＝5,所以BD的长为5.

20．（2019浙江省温州市，20，8分）（本题满分8分）

如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．

（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG=90°；

（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ ，使点M ，N ，P ，Q 分别落在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且MP=NQ ． 注：图1，图2在答题纸上．

【解题过程】（1）画法不唯一，如图1或如图2等；

（2）画法不唯一，如图3或如图4等.

图1 图2 图3 图4

20．（2019·嘉兴）在6×6的方格纸中，点A ，B ，C 都在格点上，按要求画图： （1）在图1中找一个格点D ，使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形． （2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB 三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

【解题过程】解：（1）由勾股定理得： CD ＝AB ＝CD'＝，BD ＝AC ＝BD''＝

，

AD'＝BC ＝AD''＝

；

画出图形如图1所示； （2）如图2所示．

21．（2019江苏盐城卷，21，8如图，AD 是△ABC 的角平分线．

（1） 作线段AD 的垂直平分线EF ，分别交AB 、AC 于点E 、F ;

第20题图

D

C

B

A E F

G A B

C

D G F E

A B

C

D Q

P N

M A B C

D M

N

P Q

A B C

D

(用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．)（2）连接DE、DF，四边形AEDF是_________形．（直接写出答案）

【解题过程】

（1）如图所示：直线EF就是线段AD的垂直平分线．

（2）菱形．

证明：连结DE、DF

∵EF垂直平分AD

∴EA=ED,FA=FD

∴∠EAD=∠EDA, ∠FAD=∠FDA

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠EAD=∠FAD

∴∠EAD=∠EDA=∠FAD=∠FDA

∴AE∥DF,AF∥ED

∴四边形AEDF为平行四边形

∵EA=ED

∴四边形AEDF为菱形．

15．（2019·青岛）已知：∠α，直线l及l上两点A, B.

求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC= 90° , ∠BAC＝∠α．

【解题过程】如国所示：

则Rt△ABC即为所求.

15．（2019江西省，15，6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).

(1)在图1中作弦EF，使EF∥BC；

(2)在图2中以BC为边作一个45°的圆周角.

【解题过程】解：（1）如图所示

∴DE即为所求.

（2）如图所示

∴∠MBC即为所求.

21．（2019·陇南）已知：在△ABC中，AB＝AC．

（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．

解：（1）如图⊙O即为所求．

（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．

由题意可知，OE＝4，BE＝EC＝3，

在Rt△OBE中，OB＝＝5，

∴S圆O＝π?52＝25π．

故答案为25π．

1.（2019·济宁）

如图，点M和点N在∠AOB内部．

（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．

解：

(1)

画出∠AOB 的角平分线，画出线段MN 的垂直平分线，两者的交点就得到P 点．

（2）作图的理由：点P 在∠AOB 的角平分线上，又在线段MN 的垂直平分线上，∠AOB 的角平分线和线段MN 的垂直平分线的交点即为所求． 2

（2019·无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹

（1）如图1，A 为圆O 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出得内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图： ② 如图2，在□ABCD 中，E 为CD 的中点，作BC 的中点F ；

②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高AH .

解：

（1） 连结AE 并延长交圆E 于点C ，作AC 的中垂线交圆于点B ，D ，四边形ABCD 即为所求.

C

B

B

（2）①连结AC，BD交于点O，连结EB交AC于点G，连结DG并延长交CB于点F，F即为所求.

②

3.

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