(完整word版)2015级硕士研究生数理统计参考答案(A层)

2015－2016 学年 第一学期期末试卷

参考答案

学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日

考试科目：《数理统计》（A 层）

一、填空题（本题共16分，每小题4分）

1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量2

2

1

()n

k

k x c

x

x η==-∑服从F -分布，其中1

1n

k k x x n ==∑。（(1)n n -）

2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则

当c = 时，统计量2?(1)cx x σ

=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11n k k x x n ==∑。（1

n

n -）

3．设总体X 的密度函数为22

,[0,]

(;)0,

[0,]x x p x x θθθθ?∈?=????，其中0θ>，12,,

,n x x x 是

来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。 （()n x ） 4．在双因素试验不考虑交互作用的方差分析中，总离差平方和T S 的分解式为

T A B e S S S S =++

其中2

11()p q T ij i j S x x ===-∑∑，2

1()p

A i i S q x x ?==-∑，211

()p q

e ij i j i j S x x x x ??===--+∑∑

21

()q

B j j S p x x ?==-∑，则e S 的自由度是 。（(1)(1)p q --或1pq p q --+或

1n p q --+其中n pq =）

二、（本题12分）设12,,

,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。（1）求2

σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。 解（1）似然函数为

2

2

2

1

1()exp{(1)}4n

n

i

i L x σσ==-

-∑

对数似然函数为

2

22

2

1

1

ln ()(ln(4)ln )(1)

24n

i

i n L x σπσσ

==-+--∑

求导，有

22

224

1

ln ()1(1)

24n

i

i L n x σσσσ=?=-+

-?∑

令22

ln ()0L σσ

?=?，可得θ的极大似然估计为22

11?(1)2n i i x n σ==-∑。 （2）因为

2

2

122

1

1(,,

,;)exp{(1)}4n

n

n i

i f x x x x σσ==-

-∑

令2()n c σ=，()1h x =，22

1()4w σσ=-

，，由于2

()w σ的值域(,0)-∞有内

点，由定理2.2.4知21(1)n

i i T x ==-∑是完全充分统计量。而

2

221

1

((1))(1)2n

n

i i i i E x E x n σ==-=-=∑∑

因而2

2

11?(1)2n i i x n σ==-∑既是完全充分统计量21

(1)n

i i T x ==-∑的函数，又是2σ的无偏估计，由定理2.2.5知2

21

1?(1)2n

i i x n σ==-∑是2σ一致最小方差无偏估计。

（3）2241?()((1))4Var Var x n n

σ

σ=-=。因为 222222223

ln (;)11

(1)()2()2()

f x x σσσσ?=--? 所以

222

2

222223

ln (;)11()()(1)()2()2()

f x I E E x σσσσσ?=-=-+-? 22

22

4

1112()

()

2σσσ

=-

+

=

从而4222

2

2(())?()()Var n nI σσσσ'==，即信息不等式等号成立，故22

1

1?(1)2n i i x n σ==-∑是2σ的有效估计。

三、（本题12分）设n x x x ,,,21 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，其中0μ是已知常数，2σ是未知参数。考虑假设检验问题

22

22

00

10::H H σσσσ=<

（1）求显著性水平α(01)α<<的一致最优势检验（UMPT ）；（2）求UMPT 的势函数，并给出犯第二类错误的概率2()βσ，进一步讨论2()βσ关于2σ的单调性。

解：（1）令2

θσ=-，200θσ=-，则假设检验问题可改写为

0010::H H θθθθ=>

样本的联合密度函数为

22

2

2

120

2

1

1(,,

,;)(2)

exp{()}2n n

n i

i p x x x x σπσμσ-

==-

-∑

22

01

1

(2)

exp{(())}2n

n

i i x πθμθ-

==----∑

取1()2c θθ=-，2

01

()()n

i i T x x μ==--∑。由于1()2c θθ=-是θ的单调增函数，因此由定

理3.5.2知水平为α的UMPT 存在，其检验函数为

2

2

112

10

2

1

1,()

1,()()0,()0,

()

n

i

i n

i

i x c T x c x T x c x c μ?μ==?-≤?≥??

==??

??

∑∑

其中2c 满足0(())E x θ?α=。由于

2200

2

22

0202

2

1

1

001

(()){()}{()}n

n

i i i i c E x P x c P x θσσ?μμασσ===-≤=-≤

=∑

∑

及

202

1

01

()n

i i x μσ=-∑服从2()n χ，所以可得

2

2

2

0()c n αχσ=，即2220

()c n ασχ=，故UMPT 的检验函数为

2

22

2

20

200

11

02222

2000

211

011,()

()

1,()()()10,()()0,()

()

n

n

i

i i i n

n

i i

i i x n x n x x n x n αα

α

αμχμσχσ?μσχμχσ====?

?

-≤-≤????==?

???->->???

?

∑∑∑∑

（2）222

222

001

()(()){()()}n

i i g E x P x n ασσ

σ?μσχ===-≤∑ 2

22

2

002211

{()()}n

i i P x n ασ

σμχσσ

==-≤∑ 2

22

02()(())n F n αχσχσ

=

其中2()()n F u χ是2()n χ的分布函数。

当220σσ=时，犯第一类错误的概率为222

0()()(())n g F n αχσχα==，当220

σσ<时，犯第二类错误的概率为2

22

2

202()()1()1(())n g F n αχσβσσχσ

=-=-，它是22

()σσ≤增函数。

四、（本题10分）考虑某四因子二水平试验，除考察因子D C B A ,,,外，还需考察交互作用B A ?。今选用表)2(78L ，表头设计及试验数据如表所示，所考虑指标是越大越好。试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。

因素的主次顺序为,;,,A C A B B D ?，较优工艺条件为1122A B C D 。

五、（本题10分）随机向量),,(321x x x 的协方差矩阵为

????

?

??--=∑410120001

（1）根据主成分%80的选取标准，应选取几个主成分？

（2）试求第一主成分。

解：由04

1

1

2

0001

||=---=

∑-λλλλI ，可得特征值为

4142.4231≈+=λ，5858.1232≈-=λ，13=λ

而

%80%06.6374142.43211<==++λλλλ，%80%71.857

6

32121>==+++λλλλλ，故选

两个主成分。

（2）由于??????

?

?+-++211012

100

022→?????

?

??+-+-+211021100022

→?????

?

??+-+00021100022，对应的齐次方程组为 ??

?=+-+=+0

)21(0

)22(321x x x 一组非零解为???

?

? ??-=????? ??1210321x x x ，从而对应于特征值4142.4231≈+=λ的单位特

征向量为

?

???

?

??-=????? ??--=

????

?

??=9239.03827.0012102241

321a a a a

所以，第一主成分为3219239.03827.0x x y +-=。