计算均匀带电圆环的电势与电场
计算均匀带电圆环的电势与电场
邱荒逸
江阴职业技术学院基础部（江苏江阴214431）
摘要：尝试一种计算均匀带电圆环电势与电场的方法。 关键词：带电圆环 电势 电场 计算
Calculating the Electric Potential and Electric Field Strength of
Homogeneous Circular Band with Electricity
Qiu Huangyi
（Jiangyin Polytechnic College, Jiangyin Jiangsu 214431, China ）
Abstract: tries a method to calculate the electric potential and electric field strength of homogeneous circular band with electricity.
Key words: circular band with electricity; electric potential; electric field strength; calculation
1. 引言
求均匀带电圆环在空间的电势与电场
[1-3，5]
方法有很多，本文与文献[4]相对应，尝试两种
不同的近似方法，确定如图1所示，均匀带电
q 、半径a 的圆环，在远处P 点的电势、电场。
2．均匀带电圆环的电势
考虑到电荷分布的对称性，采用图示柱坐标系，在均匀带电圆环的远处，即a r >>的各
点，电势可写成[5]
+++=),(),(),(),()2()1()0(φ?φ?φ?φ?r r r r （1-1）
)0(?、)1(?、)2(?，分别对应零、一、二级近似。其中r
q r 0)0(4),(πεφ?=
，),()1(φ?r 为电偶极
矩在远处的电势，而此圆环的电偶极矩本身为零，故0),()1(=φ?r ，
图1均匀带电圆环、场点P 及坐标系 y
5
)2(81),(r
x
Q x r ij
j
ij
i
∑=
πεφ? （1-2）
ij Q 为电四极矩，其分量为?'-''=q
ij j i ij dq r x x Q )3(2δ，由图1，圆环在xoy 平面内，则可知03
='='z x ，即电四极矩的各分量为： 032233113====Q Q Q Q ??
=''=
=π
θθθ202112sin cos 33ad a a dq y x Q Q q
0=
q a q a ad a dq a x Q q 2
2202222112
1cos 3)3(=
-=-'=??π
θθ
q a q a ad a dq a y Q q 22
202222222
1sin 3)3(=-=-'=??πθθ ?
-='-=q
q a dq r Q 2
233
故电四矩张量?
???
?
??-=20001
0001212q a Q 将此式代入（2）式，二级近似的电势为
)(81),(2332222115
0)2(z Q y Q x Q r
r ++=
πεφ?
)2(162225
02z y x r q
a -+=πε )cos 31(162
3
02φπε-=r
q a 则近似到二级的均匀带电圆环的电势分布为
),(),(),(),()2()1()0(φ?φ?φ?φ?r r r r ++=
)cos 31(16423
020φπεπε-+=r
q
a r q
（1-3） 3．均匀带电圆环的电场
据图2，考虑到电荷分布的对称性而导致电场具有的轴对称性，柱坐标取图示形式，并将电
场写成：
z z r r z r E z r E e e E ),(),(+= （2-1）
为运用高斯定理与环路定理，过空间任意场点P
作簿平（高为z δ）的柱形闭合高斯面S ，在闭合
柱面内的一侧，取矩形z r δ?的边界，为闭合回
路L ，如图所示。则此时高斯面的场量为：
????
?????+??+r z r r z z r z E E z z E E z z E E E E ,,,侧面
上面下面δδ 由高斯定理?
∑
=?q d 0
1εS E ，对高斯面S
?
?
??
?+?+?=?侧
上
下
S E S E S E S E d d d d
022)(20
=+??+
+-=??
z r E r d r z z
E E r d r E r r
z
z r
z δππδπ 得：
rdr z
E r E r z
r ???-=01 （2-2）
由静电场的环路定理?
=?0l E d ，对回路L
??????+?+?+?=?中
下
左
上
l E l E l E l E l E d d d d d
0),0()(00=+--??+=??z z E dr E z E dr z z E E r z r z r
r
r δδδ 得：
dr z
E z E E r
r
z z ?
??+=0
),0( （2-3） （2-2）（2-3）式告诉我们：它们是一组递推公式，若已知某一初值（如圆环轴线上的电场
0),0(,)
(41),0(3
22
=+=
z E z a qz z E r z πε）
，就能循序渐进地求出全部，进而确定电场。现将
图2均匀带电圆环、场点P 及坐标系
)
),0(),,0(z E z E r z 代入，计算如下：
z
z r E r
rdr z z E r E '-=??-
=?2
),0(11 （2-4-1） z
z r
r z z E r z E dr z E z E E ''?-=??+=?
2
21),0(),0(2
1
（2-4-2） 然后，再以（2-4-1）（2-4-2）为初值，直到满足近似要求为止。限于篇幅，本文算到3级，并总
结通项：
??
???
?+-=+-=)
4(4)2(22)3(3)1(2)2(2121)2(21)2(212z
z z z z z r E r E r E E E r E r E （2-5） ??
???
-?+-=?-+-=)
6(64)4(4)2(23)5(5)3(3)1(3)2()31()2(2121)2()2(!31!21)2(212z
z z z z z z z r E r E r E r E E E r E r E r E （2-6） ???
???
?
-+=--=-=--=∑∑)
2(2221)12(121
)2()1()1()2()!1(!1)1(n z n n n n z z n n z n n n r n E r n E E E r n n E （2-7） 至此，代入（2-1）式即可。
对（1-3）中变量作cos z r φ=替换，并求导数，确定场强(,)e z =E E ，不难（但较繁）证明它与（2-6）是相等到价的，只因近似方式相异而不完全相同。
4 参考文献
[1]张三慧 大学物理学第二版第三册[M ] 北京 清华大学出版社 1999，70,248 [2]曹昌祺 电动力学[M ] 北京人民教育出版社1978，114-116 [3]胡新盘 大学物理题典[M ] 上海 交通大学出版社 2001，374
[4]邱荒逸 用互易法求磁偶极子的磁场[J ]江南大学学报 2000 15（4）：110-112 [5]阚仲元 电动力学教程[M ] 北京 人民教育出版社 1979，42；35
电场强度和电势
电场强度和电势 编稿：董炳伦审稿：李井军责编：郭金娟 目标认知 学习目标 1．理解静电场的存在，静电场的性质和研究静电场的方法。 2．理解场强的定义及它所描写的电场力的性质，并能结合电场线认识一些具体静电场的分布；能够熟练地运用电场强度计算电场力。 3．理解并能熟练地运用点电荷的场强和场强的叠加原理，弄清正、负两种电荷所产生电场的异同，以此为根据认识电荷系统激发的场。 4．类比重力场理解电场力的功、电势能的变化、电势能的确定方法、电势的定义以及电势差的意义；理解电势对静电场能的性质的描写和电势的叠加原理。 5．明确场强和电势的区别与联系以及对应的电场线和等势面之间的区别和联系。 学习重点 1．用场强和电势以及电场线和等势面描写认识静电场分布。 2．熟练地进行电场力、电场力功的计算。 3．学会认识静电场的描写静电场的方法、手段。 学习难点 1．电势这一概念建立过程的逻辑关系以及正、负两种电荷所导致的具体问题复杂性。 2．用场强和电势以及它们的叠加原理认识电荷系统的静电场等。 知识要点梳理 知识点一：电场强度和电场线 要点诠释： 1．静电场及其特点 （1）电荷间的相互作用力是靠周围的电场产生的。 （2）电场是一种特殊物质，并非分子、原子组成，但客观存在。 （3）电场的基本性质是：对放入其中的电荷（不管是静止的还是运动的）有力的作用，电场具有能量。 2．静电场的性质 （1）电场强度的物理意义是描述电场的力性质的物理量，数值上等于单位电荷量的电荷在电场中受到的电场力，单位是N / C。 （2）电场力的二个性质：
①矢量性：场强是矢量，其大小按定义式计算即可，其方向规定为正电荷在该点的受力方向。 ②唯一性：电场中某一点处的电场强度E的大小和方向是唯一的，其大小和方向取决于场源电荷及空间位置。 电场中某点的电场强度E是唯一的，是由电场本身的特性（形成电场的电荷及空间位置） 决定的，虽然，但场强E绝不是试探电荷所受的电场力，也不是单位正试探电荷所受的电场力，因为电场强度不是电场力，电场中某点的电场强度，既与试探电荷的电荷量q 无关，也与试探电荷的有无无关。因为即使无试探电荷存在，该点的电场强度依然是原有的值。 3．总电荷的电场强度 大小：，Q为场源点电荷，r为考察点与场源电荷的距离。 方向：正点电荷的场中某点的场强方向是沿着场源电荷Q与该点连线背离场源电荷；负的场源电荷在某点产生的场强方向则是指向场源电荷。 4．场强叠加原理 若在某一空间中有多个电荷，则空间中某点的场强等于所有电荷在该点产生的电场强度的矢量和。 说明： （1）点电荷的场强和场强的叠加原理是计算任何电荷系统产生场的理论基础，尽管对复杂的电荷系统计算是不易做到的。 （2）场强的叠加原理必须注意到它的矢量叠加的特点，必须用平行四边形法则计算。 5．关于电场线以及对它的理解 （1）电场线的意义及规定 电场线是形象地描述电场而引入的假想曲线，规定电场线上每点的场强方向沿该点的切线方向，也就是正电荷在该点受电场力产生的加速度的方向（负电荷受力方向相反）。 （2）电场线的疏密和场强的关系的常见情况 按照电场线的画法的规定，场强大的地方电场线密，场强小的地方电场线疏。在图中，E A＞E B。 但若只给一条直电场线，如图所示，A、B两点的场强大小无法由疏密程度来确定，对
带电球体电场与电势的分布
带电球体电场与电势的分布 王峰 （南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006） 在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -?”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．．中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。 1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。 电场分布： 1.1.1内部（r 习题 1. 一半径为a 的均匀带电圆环，电荷总量为q ，求：(1)圆环轴线上离环中心o 点为z 处的电场强度E 题1图 解：(1)如图所示，环上任一点电荷元dq 在P 点产生的场强为2 04R dq E d πε= 由 对称性可知，整个圆环在P 点产生的场强只有z 分量，即 ( ) 2 32202 04cos z a zdq R z R r dq E d E d z +== =πεπεθ 积分得到 ()() () () 2 322 02322 0232202 322042444z a qz a z a z dl z a z dq z a z E l z += += += +=?? πεππελλπεπε 2. 半径为a 的圆面上均匀带电，电荷面密度为δ，试求：(1)轴线上离圆心为z 处的场强，(2)在保持δ不变的情况下，当0→a 和∞→a 时结果如何？(3)在保持总电荷δπ2a q =不变的情况下，当0→a 和∞→a 时结果如何 ? 题2图 解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为r 的圆环，它所带的电荷量为δπdr dq 2=由习题2．1的结果可知该回环在轴线上P 点处的场强为 ( ) () 2 322 2 322024z r rdr z z r zdq E d += += εδπε 则整个均匀带电圆面在轴线上P 点出产生的场强为 () ??? ? ??+-= += ? 2200 2 322 122z a z z r rdr z E a z εδεδ （2）若δ不变，当0→a 时，则0)11(20 =-=εδ z E ； 当∞→a ，则0 02)01(2εδ εδ=-=z E (3)若保持δπ2a q =不变，当0→a 时，此带电圆面可视为一点电荷。则 2 04z q E z πε= 。当∞→a 时，0→δ，则0=z E 。 3. 在介电常数为ε的无限大约均匀介质中，有一半径为a 的带电q 的导体球，求储存在介质中的静电能量。 解：导体在空间各点产生的电场为 )() 0(02 a r r r q E a r E r w >=<<=πε 故静电能量为 a q dr r r q dV E dV E D W V V πεππεεε8442121212 2 2 2 2 =?? ? ??= =?=???∞ 4. 有一同轴圆柱导体，其内导体半径为a ，外导体内表面的半径为b ，其间填 1.求均匀带电球体的场强分布。电势分布。已知球体半径为R ，带电量为q 。 解 : (运动学３册)例１—1 质点作平面曲线运动,已知m t y tm x 2 1,3-==， 求：（1）质点运动的轨道方程；(２)s t 3=地的位矢;（3)第２s 内的位移和平均速度;（4）s t 2=时的速度和加速度；（5)时刻t 的切向加速度和法向加速度:（６）s t 2=时质点所在处轨道的曲率半径。 解：（1)由运动方程消去t ，得轨道方程为： 9 12 x y -= (2)s t 3=时的位矢j i j y i x r 89)3()3()33(-=+=,大小为 m r 126481|)3(|≈+=，方向由)3(r 与x 轴的夹角'?-==3841) 3() 3(arctan x y a 表示。 （3)第2s 内的位移为j i j y y i x x r 33)]1()2([)]1()2([-=-+-=?，大小m r 2399||=+=?,方向与与x 轴成?-=??=45arctan x y a ，平均速度v 的大小不能用v 表示,但它的y x ,分量可表示为t y v t x v y x ??= ??= ,。 （4）由,,23当时tj i j dt dy i dt dx v -=+= ,43)2(j i v -= 大小'?-=-=?=+= -853)3 4 arctan( ,5169)2(1a s m v 方向为。 j dt dv a 2-== 即a 为恒矢量，.,21 轴负方向沿y s m a a y -?-== （5）由质点在t 时刻的速度22249t v v v y x +=+= ,得切向加速度 2494t t dt dv a +==τ，法向加速度2 2 2496t a a a n +=-=τ。 注意： ||dt dv dt dv ≠,因为dt dv 表示速度大小随时间的变化率,而||dt dv 表示速度对时间变化率的模,切向加速度τa 是质点的(总）加速度a 的一部分,即切向分量,其物理意义是描述速度大小的变化；法向加速度n a 则描述速度方向的变化。 （6）由s t v a n 2,2 == ρ 时所求的曲率半径为 m a v n 8.202 .125)2(|)2(|2===ρ 几种电荷分布所产生的场强和电势 1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R ，带电量为q ） 电场强度矢量：?? ???<=>=）（球面内，即。）（球面外，即R r r E R r r r q r E 0)( , 41)( 3 επ 电势分布为：()()??? ???? ==（球内）。（球外）， 41 41 0 0 R q r U r q r U επεπ 2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为q ） 电场强度矢量：??? ? ??? >=<=）（球体外，即。）（球体内，即，R r r r q r E R r R r q r E 41)( 41)( 3030 επεπ 电势分布为：()()() ??? ? ??? <-=>=即球内）（。即球外）（， 3 81 41 3 2 20 0 R r R r R q r U R r r q r U επεπ 3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为σ） 电场强度矢量：离无关。）（平板两侧的场强与距 ) (2)(0 i x E ±=εσ 电势分布为： ()()r r r U -= 00 2εσ 其中假设0r 处为零电势参考点。若选取原点（即带电平面）为零电势参考点。即00=U 。那么其余处的电势表达式为： ()()??? ? ??? ≤=≥-=0 2 0 2 00x x x U x x x U εσ εσ 4、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R ，单位长度的带电量 为λ。） 电场强度矢量 ?? ??? <=>=，即在柱面内）（。即在柱面外）（，R r r E R r r r r E 0)( , 2 )( 2 επλ 匀强电场 等量异种点电荷的电场 等量同种点电荷的电场 － － － － 点电荷与带电平+ 孤立点电荷周围的电场 几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表重点 一、场强分布图 二、列表比较 下面均以无穷远处为零电势点，场强为零。 孤立 的 正点 电荷 电场 线 直线，起于正电荷，终止于无穷远。 场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点 组成的球面上场强大小相等，方向不同。 电势 离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为正。 等势面 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。 孤立的 负点电荷 电场线 直线，起于无穷远，终止于负电荷。 场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点 组成的球面上场强大小相等，方向不同。 电势 离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点 组成的球面是等势面，每点的电势为负。 等势面以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。 等量同种负点电荷电场 线 大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条 电场线是直线。 电势每点电势为负值。 连 线 上 场 强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大 小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端 到另一端，先减小再增大。 电 势 由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最 高不为零。 中 垂 线 上 场 强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大 小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中 点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置 场强最大。 电 势 中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。 等量 同种 电场大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条 计算均匀带电圆环的电势与电场 邱荒逸 江阴职业技术学院基础部（江苏江阴214431） 摘要：尝试一种计算均匀带电圆环电势与电场的方法。 关键词：带电圆环 电势 电场 计算 Calculating the Electric Potential and Electric Field Strength of Homogeneous Circular Band with Electricity Qiu Huangyi （Jiangyin Polytechnic College, Jiangyin Jiangsu 214431, China ） Abstract: tries a method to calculate the electric potential and electric field strength of homogeneous circular band with electricity. Key words: circular band with electricity; electric potential; electric field strength; calculation 1. 引言 求均匀带电圆环在空间的电势与电场 [1-3，5] 方法有很多，本文与文献[4]相对应，尝试两种 不同的近似方法，确定如图1所示，均匀带电 q 、半径a 的圆环，在远处P 点的电势、电场。 2．均匀带电圆环的电势 考虑到电荷分布的对称性，采用图示柱坐标系，在均匀带电圆环的远处，即a r >>的各 点，电势可写成[5] +++=),(),(),(),()2()1()0(φ?φ?φ?φ?r r r r （1-1） )0(?、)1(?、)2(?，分别对应零、一、二级近似。其中r q r 0)0(4),(πεφ?= ，),()1(φ?r 为电偶极 矩在远处的电势，而此圆环的电偶极矩本身为零，故0),()1(=φ?r ， 图1均匀带电圆环、场点P 及坐标系 y 带电球体电场与电势的 分布 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688] 带电球体电场与电势的分布 王峰 （南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006） 在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -?”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．． 中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。 1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。 电场分布： 1.1.1内部（r 带电圆环 河南省信阳高级中学陈庆威2013.10.23 1．如图所示，一个半径为R的绝缘球壳上均匀带有+Q的电荷，另一个电荷量为+q的电荷放在球心O上，由于对称性，点电荷受力为0．现在球壳上挖去半径为r（r?R）的一个小圆孔，则此时置于球心的点电荷所受的力的大小为 ___（已知静电力恒量为k） 2.如图所示，带有正电荷量Q的细铜圆环竖直固定放置，一带正电荷量q的粒子从很远处沿水平轴线飞来并到达圆心O．不计粒子的重力．关于粒子的上述过程，下列说法中正确的是（） A．粒子先做加速运动后做减速运动 B．粒子的电势能先增大，后减小 C．粒子的加速度先增大，后减小 D．粒子的动能与电势能之和先减小，后增大 解：A、圆环带正电，电场线从圆环出发到无穷远终止，带正电的粒子q 所受的电场力方向与其运动方向相反，所以粒子一直做减速运动．故A 错误． B、电场力对粒子q做负功，电势能一直增大．故B错误． C、无穷远场强为零，O点场强也为零，即可从无穷远到O点，场强先增大后减小，粒子所受的电场力先增大后减小，所以其加速度先增大，后减小．故C正确． D、根据能量守恒得知：粒子的动能与电势能之和保持不变．故D错误． 故选C 3.（2011?上海）如图，均匀带正电的绝缘圆环a与金属圆环b同心共面放置，当a绕O点在其所在平面内旋转时，b中产生顺时针方向的感应电流，且具有收缩趋势，由此可知，圆环a（） A．顺时针加速旋转 B．顺时针减速旋转 C．逆时针加速旋转 D．逆时针减速旋转 解：分析A选项，当带正电的绝缘圆环a顺时针加速旋转时，相当于顺时针方向电流，并且在增大，根据右手定则，其内（金属圆环a内）有垂直纸面向里的磁场，其外（金属圆环b处）有垂直纸面向外的磁场，并且磁场的磁感应强度在增大，金属圆环b包围的面积内的磁场的总磁感应强度是垂直纸面向里（因为向里的比向外的磁通量多，向里的是全部，向外的是部分）而且增大，根据楞次定律，b中产生的感应电流的磁场垂直纸面向外，磁场对电流的作用力向外，所以b中产生逆时针方向的感应电流，根据左手定则，磁场对电流的作用力向外，所以具有扩张趋势，所以A错误； 同样的方法可判断B选项正确，而C选项，b中产生顺时针方向的感应电流，但具有扩张趋势；而D选项，b中产生逆时针方向的感应电流，但具有收缩趋势，所以C、D都不正确．所以本题选B． 故选B． 4.在竖直平面内固定一半径为R的金属细圆环，质量为m的金属小球（视为质点）通过长为L的绝缘细线悬挂在圆环的最高点．当圆环、小球都带有相同的电荷量Q（未知）时，发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，如图所示．已知静电力常量为k．则下列说法中正确的是（） 带电球体电场与电势的分布 王峰 （南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006） 在高三物理复习教学中， 遇到带电体的内、 外部场强、电势的分布特点问题时， 我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个 等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大 小的分布特点及带电绝缘介质球的内、 外部电场、 电势的大小分布很少有详细说明； 而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积 分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的 “ E r ”和“ r ”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境 中，即相对介电常数 ．．．． 0 1 ； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即 U 0 。 1、 带电的导体球： 因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金 属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。 电场分布： 1.1.1 内部（ r 一、两个等量异种点电荷电场 1．电场特征 (1)两个等量异种点电荷电场电场线的特征是：电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于负电荷；有三条电场线是直线．如图16所示． 图16 (2)在两电荷连线上，连线的中点电场强度最小但是不等于零；连线上关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相同，都是由正电荷指向负电荷； 图17 由连线的一端到另一端，电场强度先减小再增大．以两电荷连线为x轴，关于x＝0对称分布的两个等量异种点电荷的E－x图象是关于E轴(纵轴)对称的U形图线，如图17所示． (3)在两电荷连线的中垂线上，电场强度以中点处最大；中垂线上关于中点对称的任意两点处场强大小相等，方向相同，都是与中垂线垂直，由正电荷指向负电荷；由中点至无穷远处， 图18 电场强度逐渐减小．以两电荷连线中垂线为y轴，关于y＝0对称分布的两个等量异种点电荷在中垂线上的E－y图 象是关于E轴(纵轴)对称的形图线，如图18所示． 2．电势特征 (1)沿电场线，由正电荷到负电荷电势逐渐降低，其等势面如图19所示．若取无穷远处电势为零，在两电荷连线上的中点处电势为零． 图19 (2)中垂面是一个等势面，由于中垂面可以延伸到无限远处，所以若取无穷远处电势为零，则在中垂面上电势为零． (3)若将两电荷连线的中点作为坐标原点，两电荷连线作为x轴，则两个等量异种点电荷的电势φ随x变化的图象如图20所示． 图20 二、两个等量同种点电荷电场 1．电场特征 (1)电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；只有两条电场线是直线．(如图22所示) 图22 (2)在两电荷连线上的中点电场强度最小为零；连线上关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，电场强度先减小到零再增大． (3)若以两电荷连线中点作为坐标原点，沿两电荷连线作为x轴建立直角坐标系，则关于坐标原点对称分布的两个等量同种点电荷在连线方向上的E－x图象是关于坐标原点对称的图线，两个等量正点电荷的E－x图象如图23所示的曲线． 王峰 （南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006） 在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -?”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．．中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。 1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。 电场分布： 1.1.1内部（r 摘要 因此均匀带电球体表面电场强度使用高斯定理不能获得，因为高斯定理是一个几何表面，表面电荷也利用几何模型，当高斯分割和表面电荷，表面电荷不能被视为一个几何面，与普通物理的电磁学教材在讨论均匀表面电荷产生的电场强度分布不计算表面电场。本文介绍了叠加原理，点电荷球形均匀一个任意点的磁场强度值，表面磁场强度为球形面很近球形点电场强度平均值，并从外地叠加原理的两种方法求出了均匀带电球面电场强度值。 关键词： 带点球面；电场强度；叠加原理；电荷面密度；高斯定理；突变 I Abstract pick due to uniform charged sphere surface electric field intensity using Gauss theorem cannot be obtained, because Gauss's theorem is a geometric surface, surface charge is also using the geometric model, when Gauss segmentation and surface charge, surface charge cannot be regarded as a geometric surface, and general physics electromagnetics teaching materials in the discussion of uniform charged surface electric field intensity produced by distribution are not calculated spherical electric field intensity of. This paper introduces the principle of superposition of point charge and spherical uniform with an arbitrary point of the field strength value, the surface field strength for spherical sides very near spherical point field strength average value, and from the field superposition principle by two kinds of method to seek out the uniformly charged spherical surface electric field strength value. Keywords: with spherical; electric field intensity; superposition principle; surface charge density; Gauss theorem; mutation II 几种电荷分布所产生的场强和电势1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R，带电量为q） 电场强度矢量： 电势分布为： 2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为q） 电场强度矢量： 电势分布为： 3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为σ） 电场强度矢量： 电势分布为： 其中假设处为零电势参考点。若选取原点（即带电平面）为零电势参考点。即。那么其余处的电势表达式为： 4、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R，单位长度的带电量为λ。） 电场强度矢量 电势分布为： 其中假设处为零电势参考点。且处位于圆柱柱面外部。（即>R）。若选取带电圆柱柱面处为零电势参考点。（即）。那么，其余各处的电势表达式为： 5、均匀分布的无限长带电圆柱体（体电荷密度为ρ、半径为R。） 电场强度矢量： 电势： 其中假设圆柱体轴线处为零电势参考点。即。 6、均匀分布的带电圆环（带电量为；圆环的半径为。）在其轴线上x 处的电场强度和电势 电场强度矢量： 。其中为轴线方向的单位矢量。 讨论： （a）当 。此时带电圆环可视为点电荷进行处理。 （b）当 。即，带电圆环在其圆心处的电场强度为零。 电势： 。其中电势的零参考点位于无穷远处。 带电圆环在其圆心处的电势为： 。 7、均匀分布的带电直线（其中，线电荷密度λ，直线长为l） （1）在直线的延长线上，与直线的端点距离为d的P点处：电场强度矢量： 。 。 （2）在直线的中垂线上，与直线的距离为d的Q点处： 电场强度矢量为： 。 电势： 。 （3）在直线外的空间中任意点处： 电场强度矢量： 。 其中： 。 或者改写为另一种表示式: 即: 。 其中： 电势： 。 （4）若带电直线为无限长时，那么，与无限长带电直线的距离为d的P点处： 电场强度矢量： 。 电势： 。其中假设d0或（r0）为电势的零参考点。 （5）半无限长带电直线在其端点处：（端点与带电直线的垂直距离为d） 电场强度矢量： 。 8、电偶极子的电场强度和电势 （1）在电偶极子的延长线上x处：其中（X >>） 电场强度矢量： 。 电势： 。 带电球体电场与电势的分布 带电球体电场与电势的分布 王峰 （南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006） 在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -?”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．． 中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。 1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。 1.1电场分布： 1.1.1内部（r ∵ 2 22 121214sin )sin (4R Q K r r R Q K E P θθππ=?= 2 222 2 2224sin )sin (4R Q K r r R Q K E P θθππ=?= 且P E 1与P E 2等大反向 ∴0=P E ，即均匀带电导体球（或球壳） 内部的电场强度处处为零。 1.1.2外部（r >R ）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P 点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面ds ，将每个单元面上电荷在P 点产生的电场dE 进行叠加，求出P 点的合场强P E 。由于球面上单元面ds 的对称性特点，可知P 点的电场强度P E 的方向最终应该沿OP 连线的方向。 匀强电场 等量异种点电荷的电场 等量同种点电荷的电场 － － － － 点电荷与带电平 + 孤立点电荷周围的电场 几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表 一、场强分布图 二、列表比较 下面均以无穷远处为零电势点，场强为零。 孤立 的 正点 电荷 电场线 直线，起于正电荷，终止于无穷远。 场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不 同。 电势 离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为正。 等势面 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。 孤立 的 负点 电荷 电场线 直线，起于无穷远，终止于负电荷。 场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。 电势 离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为负。 等势面 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。 等量 同种 负点 电荷 电场线 大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线是直线。 电势 每点电势为负值。 连 线 上 场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是背离中 点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。 电势 由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。 中 垂线上场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。电势 中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。 等量同种正点电荷电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条电场线是直线。 电势每点电势为正值。 连 线 上 场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中 点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。 电势由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最低不为零。 中 垂 线 上 场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂 线指向无穷远处；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。 电势 中点电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零。 等量异种点电荷电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于负电荷；有三条电场线是直线。 电势中垂面有正电荷的一边每一点电势为正，有负电荷的一边每一点电势为负。 连 线 上 场强 以中点最小不等于零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相同，都是由 正电荷指向负电荷；由连线的一端到另一端，先减小再增大。 电势由正电荷到负电荷逐渐降低，中点电势为零。 中 垂 线 上 场强 以中点最大；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相同，都是与中垂线垂 直，由正电荷指向负电荷；由中点至无穷远处，逐渐减小。 电势 中垂面是一个等势面，电势为零 例如图所示，三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA=10V和φC=2V，则B点的电势是 A.一定等于6V B.一定低于6V C.一定高于6V D.无法确定 解：由U=Ed，在d相同时，E越大，电压U也越大。因此U AB> U BC，选B 要牢记以下6种常见的电场的电场线和等势面： 注意电场线、等势面的特点和电场线与等势面间的关系： ①电场线的方向为该点的场强方向，电场线的疏密表示场强的大小。 ②电场线互不相交，等势面也互不相交。③电场线和等势面在相交处互相垂直。 ④电场线的方向是电势降低的方向，而且是降低最快的方向。 ⑤电场线密的地方等差等势面密；等差等势面密的地方电场线也密。 +一半径为的均匀带电圆环
求均匀带电球体的场强分布
几种典型带电体的场强和电势公式
几种典型电场线分布示意图及场强电势特点
计算均匀带电圆环的电势与电场
带电球体电场与电势的分布
带电圆环
带电球体电场及电势的分布.docx
(完整版)两电荷电场强度电势图像
带电球体电场与电势的分布
均匀带电球体表面电场强度的计算 论文
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