9知识讲解 数学归纳法(理)(基础)1218

数学归纳法

【学习目标】

1．理解数学归纳法的原理及适用范围．掌握数学归纳法证题的思路和特点。

2．能够利用数学归纳法证明与正整数有关的命题。

【要点梳理】

知识点一、数学归纳法的原理

1.数学归纳法定义:

对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立

明方法就叫做数学归纳法

要点诠释：

即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k ∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.

2.数学归纳法的原理：

数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。

它的证明共分两步：

①证明了第一步，就获得了递推的基础。

但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；

②证明了第二步，就获得了递推的依据。

但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。

其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。

3.数学归纳法的功能和适用范围

1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程.

2. 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明。

知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧

1用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；

(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确

由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确

2．用数学归纳法证题的注意事项

（1）弄错起始n0．n0不一定恒为1，也可能n0=2或3（即起点问题）．

（2）对项数估算错误．特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．

（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．

（4）关键步骤含糊不清．“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．

3.用数学归纳法证题的关键：

运用数学归纳法由n=k到n=k+l的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由n=k到n=k+1的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由n=k到n=k+1的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从n=k+1时分离出n=k时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．

知识点三、用数学归纳法证题的类型：

1.用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式；

对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．

2.用数学归纳法证明与正整数n有关的整除性问题；

用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。

3.用数学归纳法证明与正整数n有关的几何问题；

数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．

4.用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式.

用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n＝k＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．

5.用数学归纳法证明与数列有关的命题.

由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．

【典型例题】

【高清课堂：例题1】

类型一、对数学归纳法的两个步骤的认识

例1. 对一切n∈N*，试比较2n与n2的大小．

【思路点拨】在证明与正整数有关的命题时，主要侧重考查“起点”是否为1这个易误点。

【解析】当n=1时，21＞12，即2n>n2；

当n=2时，22=22，即2n=n2；

当n=3时，23＜32，即2n＜n2；

当n=4时，24=42，即2n=n2；

当n=5时，25＞52，即2n＞n2；

当n=6时，26＞62，即2n＞n2；

……

猜想：当n≥5，2n＞n2．下面用数学归纳法证明猜想成立．

（1）当n=5时，由上可知猜想成立．

（2）假设当n=k（k≥5）时，命题成立，即2n＞n2．那么当n=k+1时，2k+1=2·2k＞2k2=k2+k2＞k2+(2k+1)=(k+1)2，即当n=k+1时，猜想成立．

根据（1）、（2）可知，当n≥5时，2n＞n2都成立．

所以n=2或4时，2n=n2；n=3时，2n＜n2；n=1或n≥5时，2n＞n2．

【总结升华】本例是先用归纳推理设出猜想，再用数学归纳法证明猜想．在用数学归纳法证明时，要注意2n 与n 2

的大小关系只有在n ≥5时才稳定下来，故起点n=5．另一个易错点在假设n=k 时要带上限制条件k ≥5． 举一反三：

【变式】 用数学归纳法证明“2n ＞n 2+1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应

取（ ）．

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6 【答案】C

当n=1时，2=2；当n=2时，22=4＜22+1=5；当n=3时，23=8＜32+1=10；当n=4时，24=16＜42+1=17；当n=5时，25=32＞52+1=26；当n=6时，26=64＞62+1=37。故选C 。 例2. 用数学归纳法证明：

11111111

1234

212122n n n n n

-+-++

-=+++-++． 【思路点拨】本题是一个与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题，故可考虑用数学归纳法进行证

明.

【解析】

（1）当n=1时，左边11122=-

=，右边11112

==+，∴等式成立． （2）假设当n=k 时等式成立， 即1111111

1

1234

21212

2k k k k k

-

+-++

-=+++-++， 则当n=k+1时，

1111111

12342122122k k k k -+-++-+-

-+- 11111

1222122k k k k k =++++-

++-+ 11

111123

221122k k k k k k ??=

+++

++- ?+++++??

11111

23

22122

k k k k k =

+++

++

++++ 11

11

(1)1(1)2

(1)2(1)

k k k k k =

++

+

++++++++．

所以当n=k+l 时等式也成立． 根据（1）和（2），等式对于任意的n ∈N*都成立．

【总结升华】 在利用归纳假设论证n=k+1时等式也成立时，应注意分析n=k 和n=k+1时两个等式的差别：n=k+1时，等式左边应增加两项，右边增加一项，所证等式的右边第一项变为1

2

k +，因此在证明中，右式中的

11k +应与122

k -+合并，可以得到所证等式．因而在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作分析是有效的． 举一反三：

【变式1】用数学归纳法证明“（n +1）（n +2）·…·（n +n ）=2n ·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k +1”左端

需增乘的代数式为

A 2k +1

B 2（2k +1） C

1

1

2++k k D 132++k k

【答案】B

当n =1时，显然成立 当n =k 时，左边=（k +1）（k +2）·…·（k +k ）， 当n =k +1时，左边=（k +1+1）（k +1+2）·…·（k +1+k ）（k +1+k +1） =（k +2）（k +3）·…·（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1）

=（k +1）（k +2）·…·（k+k ）

1

)

22)(12(+++k k k

=（k +1）（k +2）·…·（k +k ）2（2k +1）

【变式2】 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还

需证明（ ）

A.n=k+1时命题成立

B. n=k+2时命题成立

C. n=2k+2时命题成立

D. n=2（k+2）时命题成立

【答案】因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选B 类型二、利用数学归纳法证明等式

例3．证明：

231111

111

1222

222n n n

-++++

+=-（其中n ∈N*）． 【解析】（1）当n=1时，左边=12，右边=11

122

-=，等式成立．

（2）假设当n=k 时，等式成立，即 231111111

1222222

k k k -+++++=-，

那么当n=k+l 时，

左边2311111111222222k k k -+=

++++++ 11111211

1112222

k k k k +++-=-+=-=-=右边．

这就是说，当n=k+1时，等式也成立．

根据（1）、（2）可知，等式对任何n ∈N*都成立． 【总结升华】

①数学归纳法常常用来证明与非零自然数有关的命题；

②在证明过程中，应用归纳假设，只有通过归纳假设的使用，才达到由n=k 的情况递推到n=k+1的情况，保证了命题的传递性；

③用数学归纳法证明时，要注意从n k =时的情形到1n k =+时的情形是怎样过渡的，即要证明1n k =+时等式成立，应如何利用n k =时等式成立这一假设.显然，分清等式两边的构成情况是解决这一问题的关键； 举一反三：

【变式】用数学归纳法证明： 当n ≥2，n ∈N*时，211112111149162n n n +??????

?

?-

--??-= ????? ?????????

．

【答案】（1）当n=2时，左边13144=-=，右边213

224

+==?， ∴n=2时等式成立．

（2）假设当n=k （n ≥2，n ∈N*）时等式成立，

即211111111149162k k k

+??????

?

?-

---= ????? ?

????????． 那么当n=k+1时，

2211111111114916(1)k k ???????

??

?----- ????? ???

+??????

????

21112(1)k k k ??+=?-??+??

2(1)1

2(1)12(1)2(1)2(1)k k k k k k k +-+++===+++． ∴当n=k+1时，等式也成立．

根据（1）和（2）知，对任意n ≥2，n ∈N*等式都成立． 例4. 用数学归纳法证明等式：n

n n n n 21

2111211214131211+

++++=--++-+-

【思路点拨】注意由n=k 到n=k+1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

【解析】（1）当n=1时，左=2

1

211=-=右，等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立，即k

k k k k 21

2111211214131211+

++++=--++-+- 则

)2

21

121(212111)221121(211214131211+-+++++++=+-++--++-+-

k k k k k k k k k 221

1212121++

+++++=

k k k k ∴当n=k+1时，等式也成立 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

【总结升华】 利用数学归纳法证明与正整数有关的一些恒等式问题，关键是看清等式两边的项，弄清等式两边的构成规律．例如，等式两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关等． 举一反三：

【变式1】（2015 金家庄区校级模拟）用数学归纳法证明“22

1

111n n a a a a

a

++-++++=-，（a ≠1，n ∈N*）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ）

A ．1+a+a 2

B ．1+a+a 2+a 2

C ．1+a

D ．1 【答案】用数学归纳法证明“22

1

111n n a a a a

a

++-+++

+=-，（a ≠1，n ∈N*）”， 在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a 2。 故选：A 。

【变式2】（2015春 湖北校级期末）用数学归纳法证明：

222*12(1)+++()1335(21)(21)2(21)

n n n n N n n n +??????=∈??-?++

【答案】证明：（1）1n =时，左边

2111(11)

(211)(211)32(211)?+===?-?+?+右边，等式成立 （2）假设n k =时等式成立，即22212(1)+++1335(21)(21)2(21)k k k k k k +??????=??-?++ 则1n k =+时，左边=

2(1)(1)122()2(21)(21)(23)2(21)23k k k k k k k k k k k ++-++=++++++ =212521(21)(2)(1)(2)

2(21)232(21)232(23)

k k k k k k k k k k k k k ++++++++?=?=+++++

1n k ∴=+时，等式成立。

由（1）（2）知，对一切*

n N ∈，22212(1)

+++1335(21)(21)2(21)

n n n n n n +??????=??-?++

类型三、用数学归纳法证明不等式 【高清课堂：数学归纳法401473 例题4】 例5.用数学归纳法证明不等式2)1(2

1

)1(3221+<+++?+

?n n n

【解析】（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立

（2）假设当n=k 时等式成立，即2)1(2

1

)1(3221+<+++?+

?k k k

则)2)(1()1(2

1

)2)(1()1(32212++++<++++++?+?k k k k k k k

02)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122

<+++-++=+-++++k k k k k k k k 2]1)1[(2

1

)2)(1()1(3221++<++++++?+?∴k k k k k

∴当n=k+1时， 不等式也成立

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

【总结升华】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行； （2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；

（3）由k 推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法、放缩法等，表现出数

学归纳法“灵活”的一面 举一反三：

【变式1】用数学归纳法证明：),2(121

21

151131111

1N n n n n ∈≥+>-+

+++）（）（）（）（ . 【答案】（1) 当n=2时，左式=9

64

38)311)(111(==

++，右式=5，

∵

5964

>，∴5964>，即n=2时，原不等式成立. （2)假设n=k(k ≥2, k N *∈)时，不等式成立，

即1

111(1)(11(11

3521

k ++

++>-)())则n=k+1时， 左边=11111111111352121k k ?????

?????+++++ ????? ???-+???

??

?

???? 1

22

2)1

21

1(12++=++

+>

k k k k

右边=32+k ，要证左边>右边， 只要证

321

222+>++k k k ，

只要证 )12)(32(22++>+k k k ，

只要证 4k 2

+8k+4>4k 2

+8k+3 只要证 4>3.

而上式显然成立，所以原不等式成立，即n=k+1时，左式>右式. 由（1),（2)可知，原不等式对n ≥2，n ∈N 均成立.

【变式2】已知)(14131211)(N n n n f ∈+++++

= ，求证：n>1时，2

2

)2(+>

n f n . 【答案】（1) n=2时，左式=12254131211)4()2(2=+++==f f , 右式=22

2

2=+，

∵212

25>， ∴左式>右式，不等式成立， n=3时，左式=8

1

4131211)8()2(3+++++== f f ,

右式=25223=+， 左式-右式=08

17151>-+，左式>右式，不等式成立.

（2)假设n=k(k N *

∈, k ≥3)时不等式成立，

即22

2

14131211)2(+>+++++=k f k k ，

当n=k+1时，

22)1(232

22221

21212221

221121)2(21221221121214131211)2(121

1121

11++=

+=++=+++++>++++++=++++++++++++++

=+++++++k k k k f f k k k k k k k k k k k k k k k k k

项

项

即n=k+1时，不等式也成立.

由（1）（2）可知，n>1, n ∈N 时，都有2

2

)2(+>

n f n .

【变式3】数列}{n a 中，)

1(2,252

11-=

=+n n

n a a a a )(*∈N n ，用数学归纳法证明：)(2*∈>N n a n 【答案】(1) 当n=1时, 22

5

1>=

a ,不等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立，即)(2*

∈>N k a k ，

则2)1(222

1--=-+k k

k a a a 0)

1(2)2(2>--=

k k a a ，21>∴+k a ∴当n=k+1时， 不等式也成立

综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立

类型三：用数学归纳法证明与数列有关的命题 例6.在数列}{n a 中，3

3,2111+==

+n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式 【思路点拨】观察、归纳、猜想、证明，是经常应用的综合性数学方法；观察是解决问题的前提条件，

合理的实验和归纳，提出合理的猜想，然后证明.

【解析】,73,632121===a a ,9

3,8323==a a 猜想53

+=

n a n 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，2

1

5131=+=a ，猜想成立

（2）假设当n=k 时猜想成立，则5)1(335

3533331++=+++?

=

+=+k k k a a a k k k 当n=k+1时猜想也成立

综合（1）（2），对*∈N n 猜想都成立

【总结升华】观察、归纳、猜想、证明，是经常应用的综合性数学方法；观察是解决问题的前提条件，合理的实验和归纳，提出合理的猜想，然后证明.

用数学归纳法证明与递推关系有关的命题时依归纳假设证明1n k =+时命题也成立时，除了用上假设外，一定还得用上递推关系，否则假设也没法用.这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方. 举一反三：

【变式】数列{a n }满足S n =2n-a n (n ∈N *

). (1)计算a 1,a 2,a 3,a 4,并由此猜想通项公式a n ; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

【答案】（1） 当n=1时，a 1=S 1=2-a 1,∴a 1=1.当n=2时，a 1+a 2=S 2=2×2-a 2,∴a 2=2

3. 当n=3时，a 1+a 2+a 3=S 3=2×3-a 3,∴a 3=4

7

.当n=4时，a 1+a 2+a 3+a 4=S 4=2×4-a 4,∴a 4=815. 由此猜想a n =

1

212--n n (n ∈N *

).

（2） ①当n=1时，a 1=1，结论成立. ②假设n=k(k ≥1且k ∈N *

)时,结论成立，即a k =

1

2

12--k k ,

那么n=k+1时，

a k+1=S k+1-S k =2(k+1)-a k+1-2k+a k =2+a k -a k+1.∴2a k+1=2+a k ,∴a k+1=2

2k

a +=

221

221-k k -+

=k

k -2121

+, 这表明n=k+1时，结论成立，由①②知猜想a n =

1

212--n n （n ∈N *

）成立.

类型四：用数学归纳法证明整除性问题

例7. 试证：当n 为正整数时，f (n )=32n

+2-8n -9能被64整除. 【思路点拨】，证明一个多项式或指数幂形式能被某数或某式子整除，也属于与正整数n 有关的命题．常用数学归纳法

【解析】 方法一（1）当n =1时，f (1)=34-8-9=64,命题显然成立.

（2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时， f (k )=32k

+2-8k -9能被64整除.

由于32(k +1)+2-8(k +1)-9=9(32k +2-8k -9)+9·8k +9·9-8(k +1)-9=9(32k

+2-8k -9)+64(k +1) 即f (k +1)=9f (k )+64(k +1)∴n =k +1时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的n ∈N *，命题都成立. 方法二 （1）当n =1时，f (1)=34-8-9=64，命题显然成立.

（2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时，f (k )=32k

+2-8k -9能被64整除.

由归纳假设，设32k +2-8k -9=64m (m 为大于1的自然数)，将32k

+2=64m +8k +9代入到f (k +1)中得 f (k +1)=9(64m +8k +9)-8(k +1)-9=64(9m +k +1),∴n =k +1时命题成立. 根据（1）（2）可知，对任意的n ∈N *,命题都成立.

【总结升华】 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除. 举一反三：

【变式】 证明：)(,)3(1*

∈+-N n x n

能被2+x 整除

【答案】 （1）当n=1时，)2()3(1+-=+-x x ，能被2+x 整除； （2）假设n=k )(*

∈N k 时命题成立，即k

x )3(1+-能被2+x 整除 则可设)()2()3(1x f x x k

+=+-（其中)(x f 为1-k 次多项式） 当当n=k+1时，)2(])3(1)[3()3)(3(1)

3(11

+-+-+=++-=+-+x x x x x x k k k

]1)()3)[(2()2()()2)(3(-++=+-++=x f x x x x f x x 能被2+x 整除

所以，当n=k+1时，命题仍然成立 由(1)(2)可知，对于*∈?N n 命题依然成立. 类型五：用数学归纳法证明几何问题

例8．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．

求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2

＋n ＋22个区域． 【解析】

(1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．

(2)假设当n ＝k(k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2

＋k ＋22块不同的区域，命题成立．

当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2

＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．

从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝(k＋1)2＋(k＋1)＋22块区域．

所以n＝k＋1时命题也成立．

由(1)(2)可知，原命题成立．

【总结升华】

用数学归纳法证明几何问题时，关键是寻找f(k+1)与f(k)之间的递推关系，基本策略是往后退，从f(k+1)中将f(k)分离出来。

举一反三：

【高清课堂：数学归纳法401473 例题6】

【变式】平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不交于同一点，求证n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2

部分.

【答案】

(1)当n=1时，1个圆将平面分成2部分，f(1)=12-1+2=2

∴命题成立.

(2)假设当n=k时命题成立，即k个圆将平面分成k2-k+2部分

当n=k+1时，新增的圆与前k个圆交于2k个点，

这2k个点将此圆分成2k段弧，每段弧把它所在平面分成2部分，

故增加了2k个部分

∴f(k+1)=f(k)+2k =k2-k+2+2k =(k+1)2-(k+1)+2

即n=k+1时命题也成立

综上由(1)(2)得，命题对任意n∈N*成立.