曲线曲面定义

第21章 曲线积分和曲面积分的计算

教学目的：

教学重点和难点：

§1 第一类曲线积分的计算

设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为()()

()

()0x x t y y t t t T z z t =??

=≤≤??

=?

则

()()()()

,,,,T

l

t f x y z ds f x t y t z t =???

?。 特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ?=，()a x

b ≤≤，那么有

((,) , ()b

l

a

f x y ds f x x ?=?

?。

例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。求22

()l

x y ds +?

。

例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分l

yds ?。

例：计算积分2l

x ds ?

，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。

例：求()l

I x y ds =+?，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。

§2 第一类曲面积分的计算

一 曲面的面积

（1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，

且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则该曲面块的面积为 xy

S σ=

。

（2）若曲面的方程为 ()

()()

,,,x x u v y y u v z z u v =??=??

=?, 令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222

v v v

G x y z =

++， 则该曲面块的面积为 S d u d v ∑

=

。

例：求球面2

2

2

2

x y z a ++=含在柱面()22

0x y ax a +=>内部的面积。

例：求球面2

2

2

2

x y z a ++=含在柱面()22

0x y ax a +=>内部的面积。

二 化第一类曲面积分为二重积分

（1）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。曲面S 的方程为(),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则

()(

),,,,,xy

S

x y z dS x y f x y σφφ=??????。 （2）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。若曲面的方程为()

()()

,,,x x u v y y u v z z u v =??

=??

=?

令 222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222

v v v

G x y z =++， 则

()()()(

),,,,,,,S

x y z

d S x u v y u v z G F d u d v

φφ∑

=??

????。 例：计算

()S

x y z dS ++??，S 是球面2

222x

y z a ++=，0z ≥。

例：计算S zdS ??，其中S 为螺旋面的一部分： (

)c o s s i n 0,02x u v

y u v

u a v z v

π=??

=≤≤

≤≤??=?

。

注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。 例：

I=

S

，S 是球面，球心在原点，半径为R 。

§3 第二类曲线积分

一 变力做功和第二类曲线积分的定义

1.力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功。先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得 AB

W F ds =??

。

2. 第二型曲线积分的定义

定义 1 设L 是一条光滑或逐段光滑曲线，且设(),,f x y z 是定义在L 上的有界函数，将L 沿确定方向从起点A 开始用分点(),,i i i i A x y z 分成n 个有向弧段 1i i A A +，直至终点B 。且设1i i i x x x +?=-。在每一弧段 1i i A A +

上任取一点(),,i i i i P ξηζ，作和式： ()()1

1

,,n n

i

i

i

i

i

i

i i f P x f x σξηζ===

?=?∑∑。

其中()1111,,A x y z 为起点

A ，()1111,,n n n n A x y z ++++为终点

B 。设{

}

1max i i i

A A λ--------

+=，这里1i i A A --------

+表示有向

线段1i i A A --------

+的长度。若当0λ→时，和σ有极限I ，且它与L 的分法无关，也与点i P 的选择无关，则称I 为(),,f x y z dx 沿曲线L 按所述方向的第二类曲线积分，记作(),,L

I f x y z dx =

? 或 () ,,AB

I f x y z dx =?

。

注：如果向量()()()()()

,,,,,,,,,,f x y z P x y z Q x y z R x y z =，则向量沿曲线L 按一定方向的第二类曲线积

分为 ()()(),,,,,,L

I P x y z dx Q x y z dy R x y z dz =

++?。

注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一

类曲线积分的一个特征。

注：在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在

他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向。这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无关的。

二 第二类曲线积分的计算

设曲线 AB 自身不相交，其参数方程为： ()()()()0,

,x x t y y t z z t t t T ===≤≤。且设

AB 是光滑的。设当参数t 从0t 调地增加到T 时，曲线从点A 按一定方向连续地变到点B 。设函数(),,P x y z 定义

在曲线 AB 上，且设它在 AB 上连续。则()()()()()0

,,,,'T L

t P x y z dx P x t y t z t x t dt =??????。 （*）

注：（*）积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点。

注：如果向量()()()()()

,,,,,,,,,,f x y z P x y z Q x y z R x y z =，则向量沿曲线L 按一定方向的第二类曲线积

分为 ()()()()()()()()()()()()()()(){}00

,,,,,,,,',,',,'L

T t P x y z dx Q x y z dy R x y z dz P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt

++=++??????????????

例：计算积分

()L

xydx y x dy ++?

, L 的两个端点为A ( 1, 1 ) , B ( 2 , 3 ). 积分从点A 到点B 或闭合, 路径为

（1）直线段AB ； （2）抛物线1)1(22

+-=x y ；

（3）折线闭合路径A ( 1, 1 )→D ( 2 , 1 ) → B ( 2 , 3 ) → A ( 1, 1 )。. 例：计算积分

?+L

ydx xdy , 这里L :

（1）沿抛物线2

2x y =从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 )； （2）沿直线x y 2=从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 )；

（3）沿折线封闭路径O (0,0) →A (1,0 ) →B (1,2 ) → O (0,0).

例：计算第二型曲线积分I =

2()L

xydx x y dy x dz +++?

, 其中L 是螺旋线t a x cos =，bt z t a y == , sin ，

从0=t 到π=t 的一段。

三 两类曲线积分的联系

第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间又有密切联系。两者之间的联系式为

() ()()()()()()()(){} ,,,,,,,,cos ,,,cos ,,,cos ,AB

AB

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

P x y z t x Q x y z t y R x y z t z ds

++=++?

?

例：证明：对于曲线积分的估计式为

(),l

Pdx Qdy LM L +≤?式中为曲线段的长度

(

),max x y M ∈=。利用这个不等式估计：()

2

22

2

2

2R x y R ydx xdy

I x

xy y

+=-=++? ,并证明lim 0R R I →∞

=。

例：设平面区域D 由一连续闭曲线L 所围成，区域D 面积设为S ，推导用曲线积分计算面积S 的公式为：

1

2

L S xdy ydx =

-? 。

§4 第二类曲面积分

一 曲面的侧的概念 1．单侧曲面与双侧曲面

在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。 2．曲面的上侧和下侧，外侧和内侧

双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 )cos , cos , (cos γβα±=, 则上侧法线方向对应第三个分量0>, 即选“+”号时，应有0cos >γ，亦即法线方向与Z 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面分内侧和外侧. 二 第二类曲面积分的定义

先讨论由显式方程 (),z z x y =表示的无重点的光滑曲面S ,并设S 在XY 平面上的投影为边界由逐段光滑曲线T 所围成的区域xy σ。设选定了曲面的一侧，从而也确定了它的定向。

现在将有向曲面S 以任何方法分割为n 小块()1,2,Si i n = 。设i G 为i S 在XY 平面上的投影，从而也得到区域xy σ的一个相应分割。如果取的是上侧，这时所有i G 算作正的。如取下侧，这时所有i G 算作负的。设有界函数(),,f x y z 定义在S 上，在每一小块i S 任取一点(),,i i i i P ξηζ，作和式 ()1

,,n

i

i

i

i

i f D σξηζ==

∑

其中i D 表示i G 的面积。由上述所见，i D 是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决定的。设i d 为i S 的致敬，记{}max i i

d λ=。若当0λ→时，σ有确定的极限I ，且I 与曲面分割的方法无关，也点i P 的选择无

关，则称I 为(),,f x y z dxdy 沿曲面S 的所选定的一侧上的第二类曲面积分，记为 (,,)S

I f x y z dxdy =??。

注：有时也会碰到几个积分连在一起的情形，例如：

()()(),,,,,,S

P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++??。

注：如果沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号。

三 两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系 设n 为曲面S 的指定法向, 则

??++S

dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(

=[]

??++S

dS z z y x R y z y x Q x z y x P ),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,(.

定理 1 设),,(z y x R 是定义在光滑曲面∈=),( , ),( :y x y x z z S D xy 上的连续函数, 以S 的上侧为正侧(即0),cos(>z ), 则有

()????=S

D xy

dxdy y x z y x R dxdy z y x R ),(,,),,(.

类似地, 对光滑曲面∈=),(

, ),( :z y z y x x S D yz , 在其前侧上的积分

()????=S

D yz

dydz z y z y x P dydz z y x P , , ),(),,(.

对光滑曲面∈=),(

, ),( :x z x z y y S D zx , 在其右侧上的积分

()????=S

D yz

dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q , ),( , ),,(.

计算积分

??++S

Rdxdy Qdzdx Pdydz 时, 通常分开来计算三个积分

??S

Pdydz , ??S

Qdzdx , ??S

Rdxdy .

为此,分别把曲面S 投影到YZ 平面, ZX 平面和XY 平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面S 的定向决定.

推论 设),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 是定义在光滑曲面 , ),( :y x z z S =∈),(y x D xy 上的连续函数,则

??++S

dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(

=

[]??++S

dS z z y x R y z y x Q x z y x P ),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,(

.)]),(,,(),()),(,,(),()),(,,([dxdy y x z y x R y x z y x z y x Q y x z y x z y x P X Y

D y

x

??+--±=

曲面 S 的方向为上侧, 则等式前取“＋”号; 曲面 S 的方向为下侧, 则等式前取“－”号. 例：计算积分??

S

xyzdxdy ,其中S 是球面1222=++z y x 在0 , 0≥≥y x 部分取外侧。

例：计算积分

??∑

++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(，∑为球面2222

R z y x

=++取外侧.

解： 对积分

??∑

+dydz y x )(, 分别用前

∑

和后∑记前半球面和后半球面的外侧, 则有

前∑ : ,222z y R x --=

222 :R z y D yz ≤+;

后∑: ,2

22z y R x ---= 222 :R z y D yz ≤+.

因此,

??∑

+dydz y x )(=??

∑前

+

??

∑后

()

??-

+--=

yz

D dydz y z y R

22

2

()

yz

D y dydz ??

2

22

cos , sin 20

2

8y r z r y z R d rdr πθθ

θ==+≤=

===========????

()

30

2

32

23

4

322

1

4R r R R r r ππ=??

?????--===. 对积分

dx dz z y ??∑

-)(, 分别用右

∑

和左∑记右半球面和左半球面的外侧, 则有

右∑: ,222x z R y --=

222 :R z x D zx ≤+;

左∑: ,222x z R y ---= 222 :R z x D zx ≤+. 因此,

=-??∑

dydz z y )(??

∑右

+

??

∑左

(

)()

????--------=

zx

zx

D D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222

??

≤+=--=2

2232223

4

2

R z x R dzdx x z R π.

对积分

dxdy x z ??∑

+)3(, 分别用上

∑

和下∑记上半球面和下半球面的外侧, 则有

上∑: ,222y x R z --=

222 :R y x D xy ≤+;

下∑: ,222y x R x ---= 2

22 :R y x D xy ≤+.

因此,

dxdy x z ??∑

+)3(=??

∑上

+

??

∑下

)()

33xy

xy

D D x dxdy x dxdy =

-????

??

≤+=--=2

22

32223

4

2

R y x R dxdy y x R π.

综上,

??∑

++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=3

343

43R R ππ=?.