结构力学-第7章 位移法解析
第7章位移法
一. 教学目的
掌握位移法的基本概念；
正确的判断位移法基本未知量的个数；
熟悉等截面杆件的转角位移方程；
熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法
了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。
二. 主要章节
§7-1 位移法的基本概念
§7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作
§7-3 位移法解无侧移刚架
§7-4 位移法解有侧移刚架
§7-5 位移法的基本体系
§7-6 对称结构的计算
＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容）
§7-8小结
§7-9思考与讨论
三. 学习指导
位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四. 参考资料
《结构力学(Ⅰ)-基本教程第3版》P224～P257
第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）② 基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解）
§7-1 位移法的基本概念
1.关于位移法的简例
为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。图7-1和图7-2所示。
(a) (a)
(b) (b)
图7-1 图7-2
第一步：从结构中取出一个杆件进行分析。（杆件分析）
图7-2中杆件AB 如已知杆端B 沿杆轴向的位移为i u （即杆件的伸长）则杆端力Ni F 为：
i i
i
Ni u l EA F
（7-1） E-为弹性模量，A-为杆件截面面积，i l -为杆件长度
i
i
l EA --使杆端产生单位位移时所需施加的杆端力 -- 刚度系数 公式（7-1）的物理意义：表明杆件的杆端力Ni F 与杆端位移i u 之间的关系---杆件的刚度方程。
第二步：把各杆件综合成结构。（整体分析）
各杆端位移i u 与基本未知量?之间的关系为：i i Sin u α?= (a) B 点的平衡条件为0=∑y F 得：p i i Ni F Sin F =∑=α5
1 （b ）
由7-1式和（a ）式带入(b)式得：p i i i
i F Sin l EA
=∑=?α2
5
1 （c ）
（c ）式就是位移法的基本方程，它表明结构的位移?与荷载p F 之间的关系。由（c ）式可得：
∑==
5
12
i i i
i P
Sin l EA F α? （d ） 完成了位移法中的关键一步 求各杆轴力可将求得的?代入（a ）式得i i i i
i
P
i Sin Sin l EA F u αα∑==
5
12再代入（7-1）得：P i i i
i
i i
i
Ni F Sin l EA Sin l EA F ∑==512αα (e)
在图7-1中如果只是两根杆时结构是静定的（相当于固定一个结点的方式，用两根不共线的链杆）。当杆数大于2时，结构式超静定的。所以用位移法计算时，计算方法并不因结构是静定结构还是超静定结构而有所不同。
由以上简例可以归纳出位移法的要点如下：
（1） 位移法的基本未知量是结构的结点位移（图7-1中的B 点的位移?） （2） 位移法的基本方程是平衡方程（B 点的y 方向的投影平衡方程式0=∑y F ） （3） 建立基本方程的过程分为两步：
a ：将结构拆成杆件，进行杆件分析得出杆件的刚度方程；
b ：再把杆件综合成结构，进行整体分析得出基本方程。
（4）根据位移法方程解出基本未知量并由此计算各杆的内力。
位移法就是将结构拆了再搭的计算过程—基本思路。杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法的基本方程的基础。因此位移法也称为刚度法。
位移法与力法的区别：
1.主要区别是基本未知量不同：力法是取结构中的多余未知力作为基本未知量；位移法是以
结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量。
2.建立的基本方程不同：力法是由变形协调条件建立位移方程；位移法是由平衡条件建立的
平衡方程。
注：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而位移法的基本未知量与超静定次数无关。
如左图所示：力法计算, 9个基本未知量；
位移法计算, 1个基本未知量
2.位移法计算刚架的基本思路
以上结合链杆系的情况对位移法的基本思路做了简短的说明。现在再结合刚架的情况作进一步的介绍。在刚架的分析中，通常只考虑弯曲变形，忽略剪切和拉伸变形。
下面结合简单实例说明位移法的基本思路。
图7-3
如图7-3a 所示的刚架，在荷载的作用下发生变形，杆件AB、BC 在结点B处有相同的转角θ，称为结点B的角位移。将整个刚架分解为AB、BC 杆件，则AB 杆件相当于两端固定
的单跨粱，固定端B 发生一转角θ( 图7-3b )，BC 杆相当于一端固定另一端铰支的单跨粱，受荷载作用，同时在 B 端发生角位移( 图7-3c )。如果能够求出角位移，则能够计算出杆件的内力，问题的关键是求结点的角位移。
用位移法计算刚架，结点的位移是处于关键地位的未知量，基本思路是拆了再搭，将刚架拆成杆件，进行求解；再将杆件合成为刚架，利用平衡条件求出位移。对于位移法的基本计算将在今后具体分析。
§7-2 等截面杆件的刚度方程
一. 教学目的
本节是位移法的基础，理解杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，正确理解杆端剪力和弯矩的符号，掌握杆端位移方程，能够判定和选择杆端剪力和弯矩。
二. 主要内容
1. 由杆端位移求杆端弯矩(1) 由杆端位移求杆端弯矩(2)
2. 由荷载求固端弯矩(1) 由荷载求固端弯矩(2) 三. 学习指导
本节主要讨论一个杆件的杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，要正确理解其中的关系和符号。
根据位移法的基本思路，以及为了更好的进行位移法的计算，需要讨论等截面杆件的两个问题：由杆端位移求杆端弯矩和由荷载求固端弯矩。
四. 参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》 P227～P232 7.2.1 由杆端位移求杆端弯矩(1)
图7-4为等截面杆件，截面惯性矩为常数。已知端点A 和B 的角位移分别是θA 和θB ，两端垂直于杆轴的相对线位移为Δ，拟求杆端弯矩AB M 、BA M 。
图7-4
在位移法中位移的正负号规定为：结点转角，弦转角和杆端弯矩一律以顺时针为正。这一点一定要注意与以前的不同。
应用单位荷载法可得出：
杆件的线刚度i=EI/l
解联立方程可得：
利用平衡条件可求出杆端剪力如下：
于是可将上式写为：
则矩阵
称为杆件的刚度矩阵，其中的系数称为刚度系数，又称为形常数。
上面公式利用力法计算过程：1.用力法来计算简支梁在两端力偶AB M 、BA M 作用下产生的杆端转角'
A θ、'
B θ。
1
图
2M 1
2=X (d)
1
1=X 图
1M (c)
1
)6
131(]
21
2322)([1BA AB BA BA AB A M M EI l l M l M M EI -=??-??+=θ B
AB
M BA
M 图
P M (b)
BA
M
2.考虑两端有相对竖向位移 ?
，
图7-5
l '
'B ''A ?
θ
θ=
=
杆件的线刚度 i =EI /l ，所以：
下面讨论杆端具有不同约束时的刚度方程。 7.2.1 由杆端位移求杆端弯矩(2)
根据前面的讨论得出一般情况下的刚度方程
以下将利用以上结论讨论杆件在不同的支承条件下的刚度方程。 对于图7-6a B 端为固定支座，θB = 0 ，则得
)6
131(]212312)([1AB BA BA BA AB B M M EI l l M l M M EI -=??-??+=
θ