人教A版数学必修五3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案3

3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

第2课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；

2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；

3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。 【教学重点】

理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来； 【教学难点】

把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。 【教学过程】

1.课题导入

[复习引入]

二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

判断方法：由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从

Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）。 随堂练习1

1、画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.

2、画出不等式组??

?

??≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。

2.讲授新课

【应用举例】

例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表

解：设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有

2030x y ≤+≤ 考虑到所投资金的限制，得到265422231200x y x y ++?+?≤ 即 240x y +≤ 另外，开设的班数不能为负，则0,0x y ≥≥ 把上面的四个不等式合在一起，得到：

203024000x y x y x y ≤+≤??+≤?

?

≥??≥?

用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）

例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 解：设x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：

41018156600x y x y x y +≤??+≤?

?

≥??≥?

在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。

[补充例题]

例1、画出下列不等式表示的区域 (1) 0)1)((≤---y x y x ； (2) x y x 2≤≤

分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由x x 2≤，得0≥x ，又用y -代y ，不等式仍成立，区域关于x 轴对称。 解：(1)10010≤-≤???

?≤--≥-y x y x y x 或??

?≥-≤-1

y x y x 矛盾无解，故点),(y x 在一带形区域内（含边界）。

(2) 由x x 2≤，得0≥x ；当0>y 时，有??

?≥-≤-0

20

y x y x 点),(y x 在一条形区域内(边界)；当

0≤y ，由对称性得出。

指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

例2、利用区域求不等式组??

?

??<--<-+>--015530632032y x y x y x 的整数解

分析：不等式组的实数解集为三条直线032:1=--y x l ，0632:2=-+y x l ，

01553:3=--y x l 所围成的三角形区域内部(不含边界)。设A l l =?21，B l l =?31，C l l =?32，求得区域内点横坐标范围，取出x 的所有整数值，再代回原不等式组转化为y 的一

元不等式组得出相应的y 的整数值。 解：设032:1

=--y x l ，0632:2=-+y x l ，01553:3=--y x l ，A l l =?21，

B l l =?31，

C l l =?32，∴)43,815(

A ，)3,0(-

B ，)19

12

,1975(-C 。于是看出区域内点的横坐标在)1975,0(内，取x ＝1，2，3，当x ＝1时，代入原不等式组有???

?

??

???

-><-<512341y y y ?1512-<<-y ，得y ＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。

指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有整数值，即先固定x ，再用x 制约y 。

3.随堂练习2

1．（1）1+>

x y ； （2）．y x >； （3）．y x >

2．画出不等式组????

???<≤≥-≥-+5

3006x y y x y x 表示的平面区域

3．课本第97页的练习4

4.课时小结

进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。

5.评价设计

1、课本第105页习题3.3[B]组的第1、2题

课题: §3.3.2简单的线性规划

第3课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】

用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】

准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】

1.课题导入

[复习提问]

1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形？

2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？

3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：

2841641200

x y x y x y +≤??≤??

≤??≥?≥?? (1)

（2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

（4）尝试解答：

设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：

当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？

把z=2x+3y 变形为233z y x =-

+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3

z

的直线。当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，

（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833y x =-

+），这说明，截距3z

可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线233

z

y x =-+与不等式组（1

）的区域的交点满足不等式组

（1），而且当截距3z 最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线233

z

y x =-+与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经过点P 时截距3

z

最大。

（5）获得结果：

由上图可以看出，当实现233

z

y x =-+金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距

3z 的值最大，最大值为14

3

，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。 2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 3、 变换条件，加深理解

探究：课本第100页的探究活动

（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当

如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。

（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

3.随堂练习

1．请同学们结合课本P 103练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件??

?

??-≥≤+≤.1,1,y y x x y

解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当x =0,y =0时，z =2x +y =0

点（0，0）在直线0l :2x +y =0上. 作一组与直线0l 平行的直线

l :2x +y =t ,t ∈R .

可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.

所以z m ax =2×2-1=3.