重庆西附高2021级第三次月考高三数学试题(收集整理版)
重庆西附高2021级第三次月考
数 学 试 题
（满分：150分，考试时间：120分钟）
2020年11月
注意事项：
1．答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫
米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）。
一、 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1． 下列转化结果正确的是（ ）
A ．60化成弧度是
rad 6
π B ．
rad 12
π
化成角度是30 C ．1化成弧度是
180
rad π
D ．1rad 化成角度是180π??
???
2． 已知集合(){}
2
23=,,ln 4,A y y x x B x y x x A
B ?=>==-=??则（ ）
A ．()(),02,-∞+∞
B ．()(),04,-∞+∞
C ．()2,+∞
D ．()4,+∞
3． 设m R ∈，则“1m =-”是“直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0
l m x m y -++-垂直”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4． 已知函数()sin 2cos2f x x x =+，那么'2f π??
= ???
（ ）
A ．2-
B ．2
C ．
12
D ．12
-
5． 重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原
来的1
3
，而太阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失10％，设太阳光原来的紫外线为
()0k k >，通过x 块这样的普通玻璃后紫外线为y ，则()*0.9x y k x N =?∈，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃同样的效果，至少通过这样的普通玻璃块数为（ ） （参考数据：lg30.477≈） A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
6． 已知向量,a b 满足a b a b ==-，θ为向量a b +与向量a 的夹角，那么cos θ=（ ）
A ．
1
2
B
C D ．0
7． 已知复数123,,z z z 满足：1233421, 41, 1z i z i z z i +-=-=-=-，那么3132+z z z z --的
最小值为（
） A ．
2
B ．
C ．
2
D ．
8． 已知实数x ，y 满足约束条件1
+2ln x y x my y x
+≥??
≤??≤?
，若目标函数y z x =存在最大值1e ，那么实数m 的
取值范围是（ ）（其中=2.718 28e 为自然对数的底数） A ．1,2e ??
+∞??
-??
B ．(],e -∞-
C ．[2,0)e -
D ．(],2e -∞-
二、 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是
符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9． 下列命题正确的是（ ）
A ．若
11
0a b
<<，则2233a b > B ．若1a b ≥>-，则11a b a b
≥++ C ．若ln ln a b b a >，则b a <
D ．若ln3ln5,b 35a =
=，则11a b a b
+<+ 10． 如图，ABCD 中，1, 2, 3
AB AD BAD π==∠=
，E 为CD 的中点，AE 与DB 交于F ，则
下列叙述中，一定正确的是（ ） A ．BF 在AB 方向上的投影为0 B ．12
33
AF AB AD =
+ C ．1AF AB ?=
D ．若12FAB α=∠，则3
tan α=
11． 保持函数()sin 6f x x π?
?=- ??
?图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的()11ωω>，
得到函数()g x 的图像，若()g x 在[]0,π上有且仅有3个零点，下列结论中正确的是（ ）
A ．函数()1
2
y g x =-
在[]0,π上有且仅有3个零点 B ．函数()g x 在[]0,π上有且仅有1个极小值点 C ．函数()g x 在[]0,π上有且仅有1个极大值点
D ．函数()1
2
y g x =+
在[]0,π上有且仅有3个零点 12． 设s,t 0>，若满足关于x 的方程
x t x t s -+
+=恰有三个不同的实数解123,
x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ） A ．1230x x x ++>
B ．6425
s t ?=
C ．45
t s =
D ．144
25
s t +=
三、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，14题第一空3分，第二空2分.共20分） 13． 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1250, 0a S >=，则使n S 取得最大值时的n 的取值为
____________.
14． 已知()8x f x =，那么()()3log 227f ?=_____________. 15． 若正实数x ，y 满足
23
12x y y x xy
+=-，则2x y +的最大值为____________. 16． 已知正项等比数列{}n a 中，42516, 15a a a a -=-=，则n a = ，又数列{}n b 满足
1111
, 21n n
b b b +==-；若n S 为数列{}1n n a b +的前n 项和，那么3n S =_____________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17． （10分）函数()32392f x x x x =-++-.
(1) 求()f x 的极大值和极小值；
(2) 已知()f x 在区间D 上的最大值为20，以下3个区间D 的备选区间中，哪些是符合已
知条件的？哪些不符合？请说明理由. ① []3,2- ②[]2,2- ③[]3,1-
18． （12分）如图，角,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内
角，6,3,4AB BC CD ===.
(1) 若60,30B DAC =∠=，求sin D ；
(2) 若180,5BAD BCD AD ∠+∠==，求cos BAD ∠.
19． （12分）已知函数()()()sin cos 2f x x a x θθ=+++，其中,,22a R ππθ??
∈∈- ???
.
(1) 当2,6
a πθ==
时，求()f x 在区间[]0,π上的值域；
(2) 若关于θ的方程()0f π=有两个不同的解，求a 的取值范围.
20． （12分）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足1=2n n S a a -，且123, +1, a a a 成等差数列.
(1) 求数列{}n a 的通项公式；
(2) 记数列21n n a ??-????
的前n 项和为n T ，求使()13n
n T n λ
-+-≤
恒成立的实数λ的取值范围.
21． （12分）已知圆C 的圆心在y 轴上，半径5r <，过点()0,4且与直线2y =-相切.
(1) 求圆C 的方程；
(2) 若过点(),0P t 的直线l 与圆C 交于不同的两点,A B ，且与直线240x y --=交于点M ，
若,A B 中点为N ，问是否存在实数t ，使PM PN ?为定值，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
22． （12分）已知()1ln ,f x x a x a R x ?
?=--∈ ??
?.
(1) 讨论()f x 的单调性； (2) 1x >时，若1k x x e x ??
- ???
>恒成立，求实数k 的取值范围.
高三数学参考答案
1-8：DDAAC CAD 9. BD 10. ABC 11. BD 12. CD 12解：
(
)()()(
)123 0
=,00 f x f x x x x f x s f s s
=
∴++==
∴=设可知为偶函数其中必有一解为，则
(
)(
)()(
)
()
()3300,54454
5564516
, =,442545
1664144
, 52525x t f x x x t f x t f x s x t x t t x t x t f x t x t x s t t s t s t s t ≤≤=≤=>=+∞===-++=?=?=
+∞∴======
∴?=?+=
①当时,当且仅当时取等②当时,递增又
在递增即
13. 12或13
14. 1 15. 16. 12n -；
1
(81)7
n ?-
17. (1) ()()()2'369313f x x x x x =-++=-+-
()f x ∴在()(),13,-∞-+∞和上单调递减， 在()1,3-上单调递增 ()f x ∴的极大值为()32333393225f =-+?+?-=， ()f x 极小值为()113927f -=+--=-
(2)
()323=3333922520f --+?+?-=> ,()2834292020f -=+?-?-=<
()283492220f =-+?+?-=
∴区间①③不符，区间②符合.
18. (1) 222222361
cosB , 363627 2362
AC ABC AC AC +-?=
=∴=+-?=∴=??在中,
sin sin 33
, sin sin sin30DAC D AC ACD D DAC CD AC CD ∠?=∴=?∠==
中,由正弦定理
(2) 222
56cos 256
BD ABD BAD +-?∠=??在中,
222
34cos BCD
234
BD BCD +-?∠=??在中,
()()22222222
222180 cos cos 0
2253659165634002562341202612525507247 BAD BCD BAD BCD BD BD BD BD BD BD BD BD ∠+∠=∴∠+∠=+-++-+-+-∴+=?=??????-+?-=?==
则
222
247
25365637cos 256
607
BD
BAD +-
+-∴∠=
=
=?? 19. (1) ()sin 2cos 63f x x x ππ????=+++ ? ?????11sin cos 2cos sin 322
3x x x x ππ?
?=?+?+
?-? ??
?
3cos 2x x =
1sin 2x x ?=???
3x π??=- ???
20,,333x x ππππ≤≤∴-
≤-≤2sin 1,33x π??∴-≤-≤ ??
?332x π??≤-≤ ??
? (
)32f x ?
?∴???
?的值域为
(2) ()()sin cos 20a πθπθθ+++=关于有两个不同的解
sin cos20a θθ?--=()12sin sin 0a θθ?-+=
22sin sin 0a a θθθ?--=关于有两个不同的解
()sin ,,1,122t t ππθθ??=∈-∴∈- ???
设()2
201,1at t a t ∴--=∈-在有两个不同的解
①当0a =，不符合题意.
②当0a ≠时，2
1210t t a
--=在()1,1-内有两个不同的解
令()2
121g t t t a
=--
()()2111480004411141100114441010
1001
1010a R a
a a a a a a a a a a a g a a a a a a g a a ?
?∈???+?
?=+><->>???????-??-<<<>???????
-><->??+?>???<>>???
-?>??或或或或或 20. (1) 1
2n n S a a =-①
当2n ≥时，111
2n n S a a --=-②
{}1
12 2 22 n n n n n n a a a a a a --=-∴=∴是以公比为的等①-②:比数列.
又123,1,a a a +成等差数列
()()213
111111212214 222n n
n a a a a a a a a a -∴+=+∴+=+=∴=?=则 (2) ()()23111111
1352321222
22n n n T n n -=?+?
+?++-?
+-?① ()()23411111
11
135********
22n n n T n n +=?+?+?++-?
+-?②
()
231
1111
11
222212222
22n n n T n +=+?+?+
+?
--?①-②： ()()()()21111
11
+1111112122222
1111122=2112212
111
12122231
42122
23
32n n n n n n n n n n n n n T n
-+-+-+=
++++--????- ???+--?-=+---?=-+-+∴=-
()()
()()()()()222222
2
112
123332*********.222322131213123222
2522n
n n
n
n
n n n n
n n n n n
n
n n n n n n n n b c n n n n n n n n c c n n λλ---++?
?∴--≤
??
?+?≥--++=--=
??+--+--+-+??-=-=-++=
恒成立恒成立记则
()()2132112345
2468102
max 13135793
max 2,030,40.735
,.28
n n n n n c c n c c n c c c c c c c n b b b b b b b n b b b b b b b b b -=->=-<≥-<∴<<<<>>>>>
===∴<>>>>
=当时,当时,当时,当为偶数时,此时当为奇数时,此时
()233max 753551,22823535
88n b b b b λ=
-==>∴==∴≥
又
21. (1) 设圆心()0,m
2 2 42241220=0 2 10
y m m m m m m m =-=-∴+=--+∴==圆心到的距离等于半径平方后整理得，或
()()2
2
510,2
24
m m C x y <∴==∴+-=又
半径舍圆的方程为
(2) 解法一：()PM PN PM PC CN PM PC PM CN PM PC ?=?+=?+?=?
①直线l 的斜率k 存在时 设l ：()y k x t =-
()()()
421242401244244244,,,121212121212,2kt x y k x t k
M k kt
x y y k k t kt k kt kt
k kt t M PM t k k k k k k PC t -?
=??=-??-???
---=???=?-?
-??-----????∴∴=-=
? ? ?------??????=-求点： ()()()()()()4424424,,212121212121,=3
k t t t k t t t k t PM PC t k k k k k PM PC k t PM PC ------+??-∴?=?-=+= ?
-----???∴=?-要使为定值，与无关，则 ②当l 的斜率不存在时
()240,,0,224,13=01 4t PM PN PM PN t t PM PN M P PM PN t PM PN ??
-??
∴== ???
?=-=?=-?=?与时符合又当与重合时，也为定值综上，当或时，为定值
解法二：
①
直线l 的斜率k 存在时
设l ：()y k x t =-，()()()112200,,,,A x y B x y AB N x y 设,中点 ()()22222
2 2(t 2)4024
y k x t k x k k x k t kt x y =-??-+++=?+-=??联立得(1+) ()()12122
2
222++,=
121o k kt k kt x x x x x k k ++∴=
=
++则 ()2200222222=(),,111k kt k kt k kt y k x t N k k k +??
--∴-= ?+++?? ()22
22,11k k t k t PN k k -??-= ?++??
()44,1212k t t PM k k -??-= ?--??
与解法一一样，可求出
()()
24112k t t PM PN PM PN t k
--∴?=
?=-,要使为定值，则
② 当l 的斜率不存在时
()240,,0,224,13=01 4t PM PN PM PN t t PM PN M P PM PN t PM PN ??
-??
∴== ???
?=-=?=-?=?与时符合又当与重合时，也为定值综上，当或时，为定值
22. (1) 定义域为()0,+∞
()()2
22222
111'114x a x ax x a f x a x x x x a -+-+-?
?=-+== ????=-又 ()()()2011'100,a f x a x x f x ≤?
?=
-+> ???
∴+∞①当时,
在上单调递增 ()()()()()(
)(
)()(
)2201i 140,2
'00,1ii 140,02
'0,11'0'0
a a a f x f
x a a f x
x x f x x f x f x >?=-≤≥
<∴+∞?=-><<
==
???+-∈+∞<
? ?????∈>??
?∴ ??②当时,
即时,在上单调递减.
即时,令则当时当时在?+∞?????
?
和上单调递减,在上递增
()()(
)()()00,1
02 1
0,2
a f x a f x a f x ≤+∞??
<<+∞ ? ??
???
??
≥+∞综上：当时,在上单调递增当时,在和上单调递减在上单调递增
当时.在上单调递减.
(2) 11k x x x e
x ??- ???
>>时,恒成立
()()()max 1ln 1,1ln 01,1ln ()0
k x x x x k x x g x x k x g x x ?
??->+∞ ??
??
??--<+∞ ??
??
?=--< ???
在恒成立
在恒成立记,只需
由(1)可知，
()()()()01,10k g x g x g <+∞∴>=①当时,在上单调递增不符合题意.
()()()(
)(
)(
)()()1
1,2
101
0.
21
11=0101
2
k g x g x g k g x g x g x g k ≥+∞∴<=<<>??
∴+∞ ? ??
???
?∴∈>= ?
?
≥
②当时.在上单调递减
符合题意③当时在上递增，在上递减时，矛盾综上 解法二：分离参数（略）