广东茂名五校联盟2021高三数学上第一次联考(解析版)

2021届广东省茂名市五校联盟高三上学期第一次联考数学试题

一、单选题 1．复数21i

i

+的虚部为（ ） A ．1- B ．1

C ．i

D ．i -

【答案】B

【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果.

【详解】

22(1)11(1)(1)

i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.

2．已知集合(

){

}2

10,|ln 61x A x B x Z y x x x ??

-==∈=+-??+??

，则A

B =（ ）

A ．{}0,1

B ．{}1,0,1-

C ．(]1,1-

D ．[]1,1-

【答案】A

【分析】先解分数不等式和一元二次不等式化简集合A ，B ，再进行交集运算即可. 【详解】解分式不等式

1

01

x x -≤+得11x -<≤，故(1,1]A =-， 使对数型函数有意义，则一元二次方程260x x +->，即(2)(3)0x x +-<得23x -<<，故{1,0,1,2}B =-， 所以{0,1}A

B =.

故选：A.

3．已知向量||4a =，||8=b ，a 与b 的夹角为60?，则|2|a b +=（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．【答案】D

【分析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算．

【详解】22

22|2|(2)4444a b a b a a b b +=+=+?+=?+

故选：D.

【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握数量积的性质，把模转化为数量积的运算．

4．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗?为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20

【答案】C

【分析】利用间接法，先全排再除去不符合题意的情况即得结果.

【详解】四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故4222

422216A A A A -=.

故选：C.

5．若10.3

221,log 3,32a b c -????=== ? ?????

，则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<

C ．a c b <<

D ．c a b <<

【答案】D

【分析】易得12332a -??== ???，0.3

1012c ??<=< ?

??，然后由222log 3b =推出3

2

b >

比较即可. 【详解】1

2332a -??== ???

， 32

22222log 3log 9log 82log 23=>==，

32

b ∴>

， 又0.3

1012c ??<=< ???

，

所以c a b <<. 故选：D

6．在ABC 中，,4

B AD π

=

是BC 边上的高，且2CD AD =，则cos BAC ∠=（ ）

A B C ． D ．

【答案】C

【分析】设AD x =，求得,2,,BD x CD x AB AC ====，结合余弦定理，即可求解.

【详解】设AD x =，

因为,24

B CD AD π

=

=，所以,2,,BD x CD x AB AC ====，

由余弦定理，可得cos BAC ∠==. 故选：C.

7．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12

(,)33

，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3

分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于9

10

，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．4 B ．5

C ．6

D ．7

【答案】C

【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为

13

；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为2

9；第三次操作去

掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉1

2n -个长度为13n 的区间，长度和为1

23

n n -，

于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1

122213933n

n n n S -??

=++???+=- ???

，

由题意，90

2131n

??-≥ ???，即21lg lg

1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：11

5.679lg3lg 20.47710.3010

n ≥

=≈--，

又n 为整数，所以n 的最小值为6.

故选：C .

【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 8．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π??

-????

上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．1,17??

????

B ．11,7??-????

C ．][1,1,7??-∞-?+∞ ???

D ．[)1,+∞

【答案】D

【解析】因为/

()sin 23(cos sin )41f x x a x x a =-+++-，由题设可得sin 23(cos sin )410

x a x x a -+++-≥在[,0]2

π

-

上恒成立，令cos sin t x x =+，则2sin 21x t =-

，又cos sin )4t x x x π

=+=+，且

4

4

4

x π

π

π

-

≤+

≤

，故sin()[1,1]4x t π≤+≤?∈-，所以问题转化为不等式2340t at a -++≥在[1,1]-上恒成立，即不等式2340t at a --≤在[1,1]-上恒成立．令函数2()34,[1,1]h t t at a t =--∈-，则

1

(1)0{{17(1)0

1

h a a h a -≤≥??≥≤≥，应选答案D ． 点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a 的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．

二、多选题

9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表:

如图是某市12月1日~20日AQI 指数变化趋势，则下列叙述正确的是（ ）

A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100

B ．这20天中的中度污染及以上的天数占

13

C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好

D ．总体来说，该市12月，上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】AD

【分析】根据折线图中的信息，对每一个选项进行逐一判断即可.

【详解】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，

第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确： 对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占

1

4

，故B 错误； 对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；

对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选: AD

10．函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ??

=+?<<

??

?

的图象过点()0,2，若把函数()y f x =图像向右平移()0??>个单位得到函数()sin 216

g x x π??

=++ ??

?

的图像，则下列结论正确的是（ ）

A ．直线4

x π

=

是()y f x =的一条对称轴 B ．函数()y f x =的最小正周期是π C ．函数()y f x =的值域是[]0,2 D ．?的最小值是

6

π 【答案】BCD

【分析】将点(0,2)代入()f x 表达式中，可求出4

π

θ=

，则()cos 21f x x =+，再根据余弦函数的性质对每一选

项进行判断，得出答案.

【详解】由函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ?

?=+?<< ??

?的图象过点(0,2)，可得2sin 22θ=，

即sin 21,

02,2,2

4

π

π

θθπθθ=<<∴=

∴=

，

故2

()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+?==+， 当4

x π

=

时，()1f x =，故A 不正确；

()f x 的最小正周期为

22

π

π=，故B 正确； ()cos 21[0,2]f x x =+∈，故C 正确；

而()cos 21sin 212f x x x π??

=+=+

+ ??

?

sin 21sin 21()6626f x x x g x ππππ???????

?∴-=-++=++= ? ? ??????

?????，故D 正确

故选：BCD

【点睛】易错点睛：本题考查三角函数的图象性质，解答中利用最小正周期公式求函数的最小正周期时，公式

2T ω

π

=

中的ω是函数()cos y A x ω?=+ 中x 的系数，在函数图象左、右平移时，遵循“左加，又减”，一定

是在自变量x 上进行加减，这是很容易错的地方，属于中档题.

11．双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在

第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（ ）

A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=

B ．双曲线

C C ．||1OE =

D ．OMN 的面积为6

【答案】ABD

【分析】由已知可得||OM c ==0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，从而有

2||||3OE OP =

，得2

3

a b =，再结合222c a b =+可求出,a b 的值，进而可求得渐近线方程、离心率、OMN 的面积

【详解】如图：设双曲线C 的焦距为2213c =，MN 与y 轴交于点P ，由题可知||13OM c ==，则(0, )P b ，

由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，可得2||||3OE OP =，即23a b =，22222

9

4b c a a a -==，2a =，3b =，2914e -=，解得13

e =

. 双曲线C 的渐近线方程为320x y ±=，||2OE =，M 的坐标为(2,3)，6OMN S =△， 故选：ABD.

【点睛】此题考查双曲线的简单的几何性质的应用，考查圆的方程，考查数形结合的思想，属于中档题 12．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，,E F 分别是棱,AA CC ''的中点，过直线EF 的平面分别与棱,BB DD ''交于,M N ，设(),0,1BM x x =∈，则正确的说法是（ ）

A ．四边形MENF 为平行四边形

B ．若四边形MENF 面积()(),0,1S f x x =∈，则()f x 有最小值

C ．若四棱锥A MENF -的体积()(),0,1V p x x =∈，则()p x 是常函数

D ．若多面体ABCD MENF -的体积1(),,12V h x x ??=∈ ???

，则()h x 为单调函数 【答案】ABC

【分析】根据面面平行的性质判断A ，根据菱形面积公式判断B ，将四棱锥分解成两个小棱锥的和，根据小棱锥的体积公式判断C ，根据对称性得出11

()22

ABCD A B CD V h x V '''-==

=可判断D ． 【详解】∵平面//ADD A ''平面,//BCC B EN MF ''

∴，同理//FN EM ，所以四边形MENF 为平行四边形，故A 正确；

若四边形MENF 面积1(),2

S f x EF MN M ==??为BB '中点时，即1

2x =时，MN 是短，此时面积最小，故B

正确； 连接,

,AF AM AN ，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以,M N 为顶点的两个小棱锥，因

为AEF 的面积是个常数，,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥A MENF -的体积()V P x =是常函数，故C 正确；

多面体ABCD MENF -的体积11

()22

ABCD A B CD V h x V '''-===为常数函数，故D 错误. 故选：ABC

【点睛】关键点点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查柱锥台的体积，解答本题的关键是找到几何体中的定值，AEF 的面积是个常数且,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，考查学生空间想象能力，属于中档题．

三、填空题

13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n a n =-，则数列n S n ??

????

的前20项和为_________. 【答案】210

【分析】先根据等差数列前n 项和公式得2

n S n =，进而得

n

S n n

=，再根据等差数列前n 项和公式即可得答案. 【详解】解：因为数列{}n a 满足21n a n =-，所以数列{}n a 是等差数列， 所以()12(121)22

n n n a a n n S n ++-=

==，所以n S

n n =，

所以数列n S n ??

????

的前20项和为2020(120)2102T +=

=. 故答案为：210.

【点睛】结论点睛：若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S n ??

?

???

也是等差数列. 14．已知直线1y x =+是曲线()()ln f x x a =+的切线，则a =_________. 【答案】2

【分析】设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标等于曲线()f x 在0x x =处的函数值以及导数的几何意义求解出0x 的值，从而a 的值可求.

【详解】设切点为()00,x y ，则()00001,ln y x y x a =+=+，

由()001

1f x x a

'

=

=+得01x a +=， 所以()001ln ln10x x a +=+==，解得01x =-，所以012a x =-=, 故答案为：2.

【点睛】思路点睛：已知曲线()y f x =的切线方程求解参数值的步骤：

（1）设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标0y 的值等于曲线在0x x =处的函数值()0f x ，得到第一个方程；

（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率()0k f x '=，得到第二个方程； （3）两个方程联立求解出其中参数的值.

15．已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点M ，N 分别是棱BC 、11C D 的中点，点P 在平面1111D C B A 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为__________．

【答案】

35

15

-. 【解析】分析：取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥，可得点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作1OH A N ⊥于H ，可得

35

5

OH =

，即可求得PQ 长度的最小值. 详解：如图，取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥.

∵5PM =，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2 ∴1OP =

∴点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的

最小值.

作1OH A N ⊥于H ，则1A ON ?的面积为1113222111212222

?-

??-??-??=.

∴

11322A N OH ?=，则OH =.

∴PQ 1-

故答案为

15

-. 点睛：本题考查线段长的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．将空间问题转化到平面问题，准确求出点P 的轨迹，结合等积法的运用是解决本题的关键.

四、双空题

16．设抛物线()2

20y px p =>的焦点为()1,0F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B

作l 的垂线，垂足为,C D ，若4AF BF =，则AB =_________.CDF 的面积为_________. 【答案】

25

4

5 【分析】由题意利用焦点坐标即可求得p 的值，联立直线方程和抛物线方程，结合几何关系和弦长公式即可求得

CDF 的面积．

【详解】解：抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，所以12

p

=，所以2p =， 如图所示，过点B 作//BM l ，交直线AC 于点M ，

由抛物线的定义知||||AF AC =，||||BF BD =，且||4||AF BF =， 所以||3||AM BF =，||5||AB BF =， 所以3

,45

AM AB BM BF =

=， 可知：AFx BAM ∠=∠，

所以直线AB 的斜率为4

tan 3

BM k BAM AM =∠==， 设直线AB 的方程为4

(1)3

y x =

-，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，

由

2

4

(1)

3

4

y x

y x

?

=-

?

?

?=

?

，消去y整理得2

41740

x x

-+=，所以12

17

4

x x

+=，

所以

12

25

||

4

AB x x p

=++=，

所以

254

||||sin5

45

CD AB BAM

=∠=?=，

所以CDF的面积为

1

525

2

??=，

故答案为：

25

,5

4

．

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式

12

||

AB x x p

=++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

五、解答题

17．如图，在平面四边形ABCD中，120,2,

B B

C ABC

∠=?=的面积为3

(1)求AC ；

(2)若60ADC ∠=?，求四边形ABCD 周长的最大值. 【答案】（1）27（2）647+【分析】（1）由ABC 面积13

22322

ABC

S AB =???=，求得4AB =，然后在ABC 中，利用余弦定理得求解. （2）令,

AD m CD n ==，在ACD △中，利用余弦定理得到228()3m n mn =+-，然后利用基本不等式求

得m n +最大值即可.

【详解】（1）由ABC 面积公式得13

22322

ABC

S AB =???=， 所以4AB =，

在ABC 中，由余弦定理得22224224cos12028AC ?=+-???=， 所以27AC = （2）令,

AD m CD n ==，

在ACD △中，由余弦定理得222(27)2cos 60m n mn ?=+-，

2()3m n mn =+-

则2

2()2832832m n m n mn +??+=+≤+? ?

??

，

即2()284

m n +≤，

所以47m n +≤

当且仅当m n ==. 所以四边形ABCD

周长的最大值为6+18．在①234,,4a a a -成等差数列;②123,2,S S S +成等差数列;③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且 . (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()21log n n b n a =+，记数列242n n b ??

+?

???

的前n 项和为n T ，证明2n

T <. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）选①：根据等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选②：根据等比数列的前n 项和定义以及等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选③：先求解出2a ，则等比数列的公比q 可求，则{}n a 通项可求；

（2）先求解出{}n b 的通项公式，再求解出242n n b ??

+????

的通项公式，采用裂项相消法求解出n T 的结果，并证明出

2n T <即可.

【详解】设等比数列的公比为(0)q q >， （1）选①：因为234,,4a a a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，

因为12a =，所以2233

2131412,2,2a a q q a a q q a a q q ======， 所以23

4224q q q =+-，即(

)(

)2

2

211q q q

+=+.

又0q >，解得2q

，

所以2n

n a =.

选②：因为123,2,S S S +成等差数列， 所以()21322S S S +=+，

即()12112322a a a a a a ++=+++，化简得234a a +=， 所以2242q q +=，即2

20q q --=， 又0q >，解得2q

，

所以2n

n a =.

选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=， 因为n a 是等比数列，则2

1

2a q a =

=， 所以2n

n a =. （2）因为2n

n a =，

所以22(1)log (1)log 2(1)n

n n b n a n n n =+=+=+，

所以

22222422(21)112(1)(1)n n n b n n n n ??

++==- ?++??

， 所以22222111112122223(1)n T n n ??

?

???=-

+-++- ? ? ?+?

???

??

2222221111112121223

(1)(1)n n n ????

=-+-++

-=- ? ?++????

. 2

2

2(1)n =-

+

因为n ∈+N 时，

2

2

0(1)n >+，所以2n T <.

【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式： （1）

()111

11

n n n n =-++；

（2）

2111141

22121n n n ??

=

- ?--+??

；

（3）

1

11n n n n

=+-++；

（4）()()

11

211

21212121n n n n n ++=-----. 19．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN .

(1)证明:MN AH ⊥；

(2)当H 为PC 的中点，3,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60°

，求平面ABCD 与平面AMHN 所成锐二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）

6

π

. 【分析】（1）连结AC BD 、且AC BD O =，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，得到BD AH ⊥，再利用

线面平行证明//BD MN ，即证MN AH ⊥；

（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，利用线面成角60°求出线段之间关系，再建立空间直角坐标系，利用法向量成角求锐二面角的大小即可. 【详解】（1）连结AC BD 、且AC

BD O =，连结PO .

因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，AC

PO O =且AC PO ?、平面PAC ，

所以，BD ⊥平面PAC ，

因为，AH ?平面PAC ，所以，BD AH ⊥，

因为，//BD 平面AMHN BD ?，平面PBD ， 且平面AMHN

平面PBD MN =，

所以，//BD MN ， 所以，MN AH ⊥.

（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点，

所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以60PAO ?∠=， 所以，13,2AO PA PO PA =

=， 因为，3PA =

，所以，3

6

BO PA =

. 以,,OA OD OP 分别为,,x y z 轴，如图所示建立空间直角坐标系，记2PA =， 所以，33(0,0,0),

(1,0,0),0,,0,33O A B D ????- ? ? ? ?????，133),,0,22P H ??

- ? ???

所以，23330,,0,

,0,2BD AH ??

?==- ? ? ????

，

记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ??=??=?即23

3

302

y x z ?=???-=??，

令2x =，解得0,

23y z ==，所以，(2,0,3)n =.

因为PO ⊥平面ABCD ，所以3)OP =是平面ABCD 的一个法向量 记平面ABCD 与平面AMHN 所成角为锐二面角是θ， 则||3

cos |cos ,|2||

n OP n OP n OP θ?=<>=

=‖. 因为θ是锐角，所以平面ABCD 与平面AMHN 所成角为

6

π

. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

20．受新冠肺炎疫情影响，上学期网课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了非常大的损害.我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图所示:

前50名 后50名 近视 40 32 不近视

10

18

(1)求a 的值，并估计这2000名学生视力的平均值(精确到0.1)；

(2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到的数据如列联表，根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关?

(3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的高度重视.近年来我市空军飞行员录取情况喜人，继2019年我市有6人被空军航空大学录取之后，今年又有3位同学顺利拿到了空军航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实立德树人根本任务已初见成效.2020年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于5.0，若以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，这3名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.

附:2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

()2P K k ≥

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

【答案】（1）0.75a =，4.6；（2）没有；（3）分布列见解析，3

4

. 【分析】（1）根据频率分布直方图的知识直接计算求解即可；

（2）由列联表数据代入公式计算2K 的观测值200

3.175 3.84163

k =≈<，进而得答案； （3）由题得视力在5.0以上的同学所占的比例为14，根据题意得1~3,4X B ??

???

，再根据二项分布求解即可得答案.

【详解】（1）由直方图可得(0.250.521 1.75)0.21a ++++?=，所以0.75a =，

4.10.50.2 4.30.750.2 4.5 1.750.2 4.710.2 4.90.750.2

5.10.250.2 4.6x =??+??+??+??+??+??≈

所以估计这2000名学生视力的平均值是4.6.

（2）因为2K 的观测值2

100(40181032)200

3.175 3.8415050722863

k ?-?==≈

所以没有95%把握认为视力与学习成绩有关.

（3）视力在48以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为：0.251

0.250.754

=+

所以从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，

则1~3,4X B ?? ???，即33

13(),0,1,2,344k k

k P X k C k -????=== ? ?????

，

所以0312

013313271327(0),(1)44644464P X C P X C ????????==??===??= ? ? ? ?????????， 2

1

3

233

3139131(2),(3)44644464

P X C P X C ????????==??===??= ? ? ? ?????????， 所以X 的分布列为：

所以()344

E X =?

=. 【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布等知识点，考查运算能力与数据处理能力.本题的前两问均属简单运算，第三问解题的关键是根据频率估计概率得到视力在5.0以上的同学所占的比例为

1

4

，进而得1~3,4X B ??

???

.是中档题.