数学奥林匹克初中训练题
数学奥林匹克初中训练题10
第一试
一、选择题(每小题7分，共42分)
1.如图，已知在Rt △ABC 中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF 内
接于△ABC.则△ABC 的周长为( ).
(A)35 (B)40 (C)81 (D)84
2.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n 的十进制表示中，数码1有( )个.
(A)50 (B)90 (C)99 (D)100
3.已知f(x)=x 2+6ax-a ，y=f(x)的图像与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且)x -6a -)(1x -6a -(13)x )(1x (1a 2121-++=8a-3.则a 的值是( ). (A)1 (B)2 (C)0或21 (D)2
1 4.若不等式ax 2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立，则x 的取值范围是( ).
(A)2≤x≤3 (B)2 5.在Rt △ABC 中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB 、BC 、CA 为边长向△ABC 外作等边△ABR 、等边△BCP 、等边△CAQ ，联结QR 交AB 于点T.则△PRT 的面积等于( ). (A)3239 (B)43 (C)2 1 (D)33 6.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有( )个可以是这枚棋子出发的小方格. (A)6 (B)8 (C)9 (D)10 二、填空题(每小题7分，共28分) 1.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE=3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE+PC 的值最小.则PB= . 2.设a 、b 、c 为整数，且对一切实数x ，(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c) 恒成立.则a+b+c 的值 为 . 3.如图，在以O 为圆心的两个同心圆图2中，MN 为大圆的直径，交 小圆于点P 、Q ，大圆的弦MC 交小圆于点A 、B.若OM=2，OP= 1， MA=AB=BC ，则△MBQ 的面积为 . 4.从1， 2，…， 2 006中，至少要取出 个奇数，才能保证 其中必定存在两个数，它们的和为2 008. 第二试 一、(20分)实数x 、y 、z 、w 满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w 的最大值和最小值. 二、(25分)如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点 D 、 E 、 F ，联结AD 与内切圆相交于另一点P ，联结PC 、PE 、PF.已知PC ⊥PF.求证: (1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD 是等腰三角形. 三、(25分)在]2008 2008[],20082[],20081[2 22 中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不大于x 的最大整数)? 数学奥林匹克初中训练题10参考答案 第一试 一、1.D. 设BC=a ，AC=b.则 a 2+ b 2=352=1 225.①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，则FE/CB=AF/AC ，. 故12(a+b)=ab. 由式①、②得(a+b)2=1 225+24(a+b).解得a+b=49(a+b=-25舍去).所以，周长为84. 2.C. 因为n=(10-1)+(100-1)+…+(100…0(99个0)-1)=11…1(99个1)0-99=11…1(97个1)011， 所以，n 的十进制表示中，数码1有97+2=99(个). 3.D. 由Δ=36a 2+4a>0，得a>0或a<-1/9.由题意可设f(x)=x 2+6ax-a=(x-x 1)(x-x 2). 则(1+x 1)(1+x 2)=f(-1)=1-7a ， (1-6a-x 1)(1-6a-x 2)=f(1-6a)=1-7a. 所以，7a -13-a =8a-3. 解得a=1/2或a=0(舍去). 4.B. 由题意知，不等式ax 2+7x-1>2x+对-1≤a≤1恒成立，即关于a 的不等x 2a+5x-6>0对-1≤a≤1恒成立.令g(a)=x 2a+5x-6.则g(-1)=-x 2+5x-6>0，g(1)=x 2+5x-6>0.解得2 5.A. 如图，联结PQ.由题设得BC=1/2 ，AC=3 /2，∠QAT=90°， ∠QCP=150°，P 、B 、R 三点共线. 因为S △AQT =21 AT·AQ=2 1 A T·AC=43AT ， 而S △ART /S △ARB =AT/AB ，所以，S △ART = 43AT=S △AQT.从而，QT=RT. 于是，S △PRT = 21 S △PQR =2 1 (S △ABC +S △ABR +S △BCP +S △CAQ +S △CPQ -S △AQR )=3239. 6.B. 如图5，将3×5的棋盘黑白染色.图5中有8个黑色小方格和7个白色小方格，棋子每次移动都是黑白交替的，则7个白格不能作为出点.另一方面，如图6的8个黑格中的任一个都可以作为出发点. 二、1.15 2 /8.因为PE+PC=PE+PA ，所以，当A 、P 、E 三点共线时，PE+PA 最小. 如图，建立直角坐标系，设B 为坐标原点，BA 为x 轴.则l BD :y=x ， l AE :3x+5y=15.所以，P(15/8，15/8).故PB=15 2 /8. 2.20或28. 因x 2-(8+a)x+8a+1=x 2-(b+c)x+bc 恒成立，所以，8+a=b+c ，8a+1=bc. 消去a 可得bc-8(b+c)=-63，即(b-8)(c-8)=1. 因为b 、c 都是整数，所以，b-8=c-8=1或b-8=c-8=-1. 从而，a+b+c=20或28. 3.3 15/8. 设MA=x. 由MA·MB=MP·MQ ，得x·2x=1×3.解得x=2 3. 联结CN.在Rt △MCN 中，MC=3x=32 3，MN=4. 所以，NC=25，S △MCN = 4 153. 又S △MQB /S △MCN =1/2，则S △MQB = 8 153. 4.503. 从1，2，…，2 006中选出两个奇数，和为2 008的共有如下501组: 3+2 005，5+2 003，…，1 003+1 005. 由于1与其中的任意一个奇数的和都不会等于2 008，因此，至少要取出503个奇数，才能保证其中一定有两个数，它们的和为2 008. 第二试 一、设z=w+a ，y=w+a+b ，x=w+a+b+c.则a 、b 、c≥0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c. 故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c) ≥4(x+y+z+w). 因此，x+y+z+w≤25. 当x=y=z=25/3，w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w 的最大值为25. 又100=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)≤5(x+y+z+w)， 则 x+y+z+w≥20. 当x=20，y=z=w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w 的最小值为20. 二、(1)如图，联结DF.则△BDF 是等腰直角三角形.于是， ∠FPD=∠FDB=45°.故∠DPC=45°. 又因为∠PDC=∠PFD ，所以，△PFD ∽△PDC. 从而，PF/FD=PD/DC.① 由∠AFP=∠ADF ，∠AEP=∠ADE ， 得△AFP ∽△ADF ，△AEP ∽△ADE. 于是，EP/DE=AP/AE=AP/AF=FP/DF. 故由式①得EP/DE=PD/DC. (2)因为∠EPD=∠EDC ，结合式②得△EPD’∽△EDC.所以，△EPD 也是等腰三角形. 三、设f(n)=008 2n 2. 当n=2，3，…，1 004时，有f(n)-f(n-1)= 008 21-2n <1. 而f(1)=0，f(1 004)=1 0042/2 008=502， 以，从0到502的整数都能取到.当n=1 005，1 006，…，2 008时，有f(n)-f(n-1)= 008 21-2n >1. 而f(1 005)=1 0052/2 008=(1 004+1)2/2 008=502+1+1/2 008>503， 故]20082008[],20082[],20081[222Λ是互不同的整数.从而，在]2008 2008[],20082[],20081[2 22Λ中，共有503+1 004=1 507个不同的整数. 练习题（一） 1.计算： ( ) 1 02 1211381 21-?? ? ??+-+ ++ 2. 16的平方根是 3.分式1 12+-x x 的值为零，则=x 4.等腰三角形的两边是6cm 和9cm ，则周长是 5.若直角三角形的斜边长10，那么它的重心与外心之间的距离是 6.函数11 2 ++= x x y 的定义域是 ，若1 1 3)(-+=x x x f 则=)4(f 7.相切两圆的圆心距是5cm ，其中一个圆的半径是3cm ，则另一圆的半径是 8.在一陡坡上前进40米，水平高度升高9米，则坡度=i 9.把抛物线32 -=x y 向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是 10.设m 、n 是方程0122=--x x 的两个根，那么=+n m 1 1 11.方程3815162 2 =?? ? ??++??? ? ?+ x x x x 设y x x =+1 原方程可变形关于y 的整式方程是 12.如图弓形ACB 所在圆的半径是5， C 弦AB=8，则弓形的高CD 是 A D B 13.若正多边形的中心角是0 36，则这个正多边形的边数是 14.分式方程 011 12=-+-x x x 的根是 15.分解因式=+--2 221a ax x 16.数据5，-3，0，4，2的中位数是 方差是 17.不等式组 52+x ≤()23+x 的解集是 21-x ＜3 x 18.已知四边形ABCD 中，AB//CD ，AB=BC 请填上一个适当的条件 使得四边形ABCD 是菱形。 19.已知一次函数b kx y +=过点()1,1-与()4,2，则y 的值随x 的增大而 20.两个相似三角形的周长之比是1∶9，则它们的面积之比是 21.上海市现有人口约一千七百万，用科学记数法表示是 22.在边长为2的菱形ABCD 中，0 45=∠B AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AB ′E ， 那么△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 23.已知222 =-x x 代简求值 24.解方程：3 10 66=+++x x x x ()()()()()133312 --+-++-x x x x x 苏教版新精选六年级下册数学专项练习题附答案 一、苏教小学数学解决问题六年级下册应用题 1．有一只渔船在“救援中心”东偏北30°方向的180千米处触礁遇险，预计2小时后将沉没。救援中心有2条搜救船，时速均为80千米/小时。此时甲搜救船正在“救援中心”北偏东30°方向的120千米处巡逻；乙搜救船在“救援中心”待命…… （1）在上图中按比例画出遇险船和甲搜救船的具体位置。 （2）你认为应该派哪艘船救援？它能否及时赶到遇险地点？（请你在必要的测量后，用计算来表明。） 2．某店主委托运输公司运1000只水晶摆件，商定每只水晶摆件运费0.4元，如果损坏一只，不但不给运费，还要赔偿损失5.1元。结果运输公司获得运费372.5元。运输公司损坏了多少只水晶摆件？ 3．下面的图象表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 （1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系，为什么？ （2）估计一下，两种动物18分钟各跑多少千米？ （3）从图象上看，斑马跑得快还是长颈鹿跑得快，为什么？ 4．张华家有一只底面直径40厘米、深50厘米的圆柱形无盖水桶，这只水桶盛满了水，把水倒入长40厘米、宽30厘米、高50厘米的长方体玻璃鱼缸内，水会溢出吗？请用喜欢的方式解答，（水桶和鱼缸的厚度都忽略不计） 5．一张设计图纸的比例尺是1：600，图中的一个长方形大厅长4厘米，宽2.5厘米。这个大厅的实际面积是多少平方米? 6．一个圆柱形的容器，底面周长是62.8厘米，容器里面水面高0.8分米，现把一个小圆柱体和一个与圆柱等底、高是圆柱一半的圆锥放入容器中，结果圆锥完全浸没在水中，圆 柱有在水面之上，容器内的水比放入前上升了3厘米，求圆柱和圆锥的体积？ 7．鸡和免一共有8只，它们的腿有22条。鸡和兔各有多少只？ 8．张宏上个月收集了13张邮票，有8角和1元2角这两种面值。这些邮票的总面值是14元。两种面值的邮票各有多少张？ 9．把一个圆柱的侧面展开后得到一个长18厘米，宽12厘米的长方形，这个圆柱的体积最大可能是多少立方厘米？（π取近似值3） 10．在“脑筋急转弯”抢答比赛中，一共有6道题，规定答对1题得5分，答错一题扣8分，不答得0分，欣欣共得了12分，她抢答了几次？答对了几题？答错了几题？ 11．下面是关于“冬奥会段材料，请你先仔细阅读，再利用你获得的数学信息解决问题。冬季奥林匹克运动会，简称为冬季奥运会或冬奥会，第一届冬季奥林匹克运动会于1924年在法国的夏慕尼举行，冬奥会每隔4年举行一届，其中1936年第4届和1948年第5届相隔了12年，而1992年的第16届与1994年的第17届只相隔2年，第21届冬奥会于2010年2月12-28日在加拿大温哥华举行，中国代表团在本届冬奥会上夺得5枚金牌，2枚银牌，4枚铜牌，取得了历史最佳战绩，申雪/赵宏博摘得花样冰双人自由滑冠军，王濛分别摘得女子500米和1000短道速滑金牌；周洋摘得女子1500米短道速滑金牌；中国队以4分06秒的成绩夺得女子短道速滑3000米接力的金牌，并打破了世界记录，单板滑雪U型池比赛是冬奥会一个比赛项目，其场地就如一个横着的半圆柱（如图），其长35米，口宽12米。 （1）第10届冬季奥林匹克运动会于________年在法国格勒诺布尔举行。 （2）中国队以4分06秒的成绩夺得女子短道速滑3000米接力金牌，请你把这一成绩的时间改成用分作单位的数：________分。 （3）中国女子短道速滑队在3000米接力中，平均每秒滑行的距离是多少米？（结果保留一位小数） （4）A市想在体育场建一个类似单板滑雪U型池的比賽场地，需要挖岀多少立方米的泥 初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2， －1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。 专题七新定义阅读理解题 (2019·重庆A卷)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性数进行研究．如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”． 定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”． 例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位； 23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位． (1)判断2 019和2 020是否是“纯数”？请说明理由； (2)求出不大于100的“纯数”的个数． 【分析】(1)根据纯数的定义逐一判断2 019和2 020即可； (2)判断不大于100的“纯数”的个数，可先从个位数字入手，确定个位数字的特点，再确定十位数字的特点，即可得到对应的“纯数”． 【自主解答】 1．(2018·重庆A卷)对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”． (1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由； (2) 如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数， 若四位数m为“极数”，记D(m)＝m 33 .求满足D(m)是完全平方数的所有m. 2．(2020·原创)若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“中2数”，记作F(N)，如34的“中2数”为F(34)＝324；若将一个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“尾2数”，记作P(M)，如34的“尾2数”为P(34)＝36. 对于任意一个两位正整数T，令Q(T)＝F（T）－P（T） 9 . (1)判断Q(T)是否为整数，并说明理由； (2)对于一个两位正整数M，若P(M)的各位数之和是M的各位数之和的一半，求 小学六年级数学奥林匹克竞赛题（含答案） 某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？ 解： 设不低于80分的为A人，则80分以下的人数是（A-2）/4，及格的就是A+22，不及格的就是A+（A-2）/4-（A+22）=（A-90）/4，而6*（A-90）/4=A+22，则A=314，80分以下的人数是（A-2）/4，也即是78，参赛的总人数314+78=392 电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？ 解：设一张电影票价x元 (x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x (1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做 (x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入 (1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1）把原观众人数看成整体1，则原来应收入1x元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+5/1），减缩后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等 甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款 答案 取40％后，存款有 9600×（1－40％）＝5760（元） 这时，乙有：5760÷2＋120＝3000（元） 乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元） 由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 答案 加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%， 巧克力是奶糖的60/40=1。5倍 再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍 增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍 奶糖=30/1.5=20颗 巧克力=1.5*20=30颗 奶糖=20-10=10颗 小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？ 答案 小明说：“你有球的个数比我少1/4！”，则想成小明的球的个数为4份，则小亮的球的个数为3份 4*1/6＝2/3 （小明要给小亮2/3份玻璃球） 小明还剩：4-2/3＝3又1/3（份） 初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 初中数学奥林匹克竞赛教程 初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 基础知识反馈卡·1.1 时间：15分钟 满分：50分 一、选择题(每小题4分，共24分) 1．－4的倒数是( ) A ．4 B ．－4 C.14 D ．－1 4 2．下面四个数中，负数是( ) A ．－5 B ．0 C ．0.23 D ．6 3．计算－(－5)的结果是( ) A ．5 B ．－5 C.15 D ．－1 5 4．数轴上的点A 到原点的距离是3，则点A 表示的数为( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3 D ．6或－6 5．据科学家估计，地球年龄大约是4 600 000 000年，这个数用科学记数法表示为( ) A ．4.6×108 B ．46×108 C ．4.6×109 D ．0.46×1010 6．如果规定收入为正，支出为负．收入500元记作500元，那么支出237元应记作( ) A ．－500元 B ．－237元 C ．237元 D ．500元 二、填空题(每小题4分，共12分) 7．计算(－3)2＝________. 8.1 3 -＝______；－14的相反数是______． 9．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图J1－1－1，则a ______b (填“<”、“>”或“＝”)． 图J1－1－1 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 答案 7.__________ 9．__________ 三、解答题(共14分) 10．计算：︱－2︱＋(2＋1)0－-113?? ???. 时间：15分钟满分：50分 一、选择题(每小题4分，共12分) 1．化简5(2x－3)＋4(3－2x)结果为() A．2x－3 B．2x＋9 C．8x－3 D．18x－3 2．衬衫每件的标价为150元，如果每件以8折(即按标价的80%)出售，那么这种衬衫每件的实际售价应为() A．30元B．60元C．120元D．150元 3．下列运算不正确的是() A．－(a－b)＝－a＋b B．a2·a3＝a6 C．a2－2ab＋b2＝(a－b)2D．3a－2a＝a 二、填空题(每小题4分，共24分) 4．当a＝2时，代数式3a－1的值是________． 5．“a的5倍与3的和”用代数式表示是____________． 6．当x＝1时，代数式x＋2的值是__________． 7．某班共有x个学生，其中女生人数占45%，用代数式表示该班的男生人数是________．8．图J1－2－1是一个简单的运算程序，若输入x的值为－2，则输出的数值为 ____________． 输入x―→x2―→＋2―→输出 图J1－2－1 9．搭建如图J1－2－2(1)的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图J1－2－2(2)、(3)的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管. 图J1－2－2 答题卡 题号12 3 答案 4.____________ 7.____________8.____________9.____________ 三、解答题(共14分) 10．先化简下面代数式，再求值： (x＋2)(x－2)＋x(3－x)，其中x＝2＋1. 第一讲工程问题 第一讲工程问题 工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．这三个量之间有下述一些关系式： 工作效率×工作时间＝工作总量， 工作总量÷工作时间＝工作效率， 工作总量÷工作效率＝工作时间． 为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效． 例1一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？ 答：甲、乙、丙三队合作需10天完成． 说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位．这样，工效就用工 例2师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天 批零件各需几天？ 工效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天． 答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天． 例3一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？ 分析解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。 解：设甲做了x天．那么， 两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36， x＝4． 答：甲做了4天． 例4一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？ 分析设一件工作为单位“1”．甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下： 由图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量，∴甲1小时工作量＝乙3小时工作量．可用代换方法求解问题． 解：若由乙单独做共需几小时： 6×3＋12＝30（小时）． 初三数学中考训练题（五） 1.计算： ()102121138121-??? ??+-+++ 2. 16的平方根是 3.分式112+-x x 的值为零，则=x 4.等腰三角形的两边是6cm 和9cm ，则周长是 5.若直角三角形的斜边长10，那么它的重心与外心之间的距离是 6.函数112++=x x y 的定义域是 ，若1 13)(-+=x x x f 则=)4(f 7.相切两圆的圆心距是5cm ，其中一个圆的半径是3cm ，则另一圆的半径是 8.在一陡坡上前进40米，水平高度升高9米，则坡度=i 9.把抛物线32 -=x y 向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是 10.设m 、n 是方程0122=--x x 的两个根，那么=+n m 11 11.方程38151622=??? ??++??? ?? +x x x x 设y x x =+1原方程可变形关于y 的整式方程是 12.如图弓形ACB 所在圆的半径是5， C 弦AB=8，则弓形的高CD 是 A D B 13.若正多边形的中心角是0 36，则这个正多边形的边数是 14.分式方程01112=-+-x x x 的根是 15.分解因式=+--2221a ax x 16.数据5，-3，0，4，2的中位数是 方差是 17.不等式组 52+x ≤()23+x 的解集是 21-x ＜3x 18.已知四边形ABCD 中，AB//CD ，AB=BC 请填上一个适当的条件 使得四边形ABCD 是菱形。 19.已知一次函数b kx y +=过点()1,1-与()4,2，则y 的值随x 的增大而 20.两个相似三角形的周长之比是1∶9，则它们的面积之比是 21.市现有人口约一千七百万，用科学记数法表示是 22.在边长为2的菱形ABCD 中，045=∠B AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折 后得△AB ′E ，那么△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 23.已知222=-x x 代简求值()()()()()133312 --+-++-x x x x x 2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？ 8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在 小学奥数知识点梳理 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、 计算 1． 四则混合运算繁分数 ⑴ 运算顺序 ⑵ 分数、小数混合运算技巧 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若111a b c >>，则c>b>a.。形如：312123m m m n n n >>，则312123 n n n m m m <<。 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+= ++n n n ②()()612121222++=+++n n n n ③()2 1n a n n n n =+=+ ④()()4121212 22333+=++=+++n n n n ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-2 2 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 2 二、 数论 1． 奇偶性问题 奇±奇=偶 奇×奇=奇 奇±偶=奇 奇×偶=偶 偶±偶=偶 偶×偶=偶 2． 位值原则 形如：abc =100a+10b+c 3． 数的整除特征： 整除数 特 征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 第六章几何基础知识 第一节线段与角的推理计算 【知识点拨】 掌握七条等量公理： 1、同时等于第三个量的两个量相等。 2、等量加等量，和相等。 3、等量减等量，差相等。 4、等量乘等量，积相等。 5、等量除以等量（0除外），商相等。 6、全量等于它的各部分量的和。 7、在等式中，一个量可以用它的等量来代替（等量代换）。 【赛题精选】 例1、如图，∠AOB＝∠COD，求证：∠AOC＝∠BOD。 例2、C、D为线段AB上的两点，AD＝CB，求证：AC＝DB。 例3、AOB是一条直线，∠AOC＝600，OD、OE分别是∠ AOC和∠BOC的平分线。问图中互为补角关系的角共有多少对？ 例4、已知B、C是线段AD上的任意两点，M是AB的中 点，N是CD的中点，若MN＝a，BC＝b，求CD的长。 例5、已知OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，且∠AOC＝800。求∠MON的度数。 例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点，∠BOC比∠AOC 大240，求∠BOC、∠AOC的度数。 例7、如图，AE＝8.9CM，BD＝3CM。求以A、B、C、D、 E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少？ 例8、线段AB上的P、Q两点，已知AB＝26CM，AP＝14CM， PQ＝11CM。求线段BQ的长。 例9、已知∠AOC＝∠BOD＝1500，∠AOD＝3∠BOC。 求∠BOC的度数。 例10、已知C是AB上的一点，D是CB的中点。若图中线段的长度之和为23CM，线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。求线段AC的长度是多少厘米？ 【针对训练】 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中 是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （4）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （6）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由 （7）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． （8）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （9）已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是（ ） （10）正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点． （11）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ）， 则a ＝ ． （12）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4y x =- D ．12y x =． （13）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质: 甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y 随x 的增大而增大 请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: . x y O x y O x y O x y O A B C D 2015中国女子数学奥林匹克 第一天 2015年8月12日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点． 以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ．（郑焕供题） 2．设(0,1)a ∈，且 323 2 ()(14)(51)(35),()(1)(2)(31). f x ax a x a x a g x a x x a x a =+-+-+-=--+--+ 求证：对于任意实数x ， ()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．（李胜宏供题） 3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值．（梁应德供题） 4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数： 1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈L ； 2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．（王彬供题） 中国女子数学奥林匹克 第二天 2015年8月13日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 O M F E D C B A 5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）（林常供题） 6．如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D ．设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G ．求证： MF MG =． （付云皓供题） 7．设12,,,(0,1)n x x x ∈L ，2n ≥．求证： 1212n n x x x < L L ．（王新茂供题） 8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B I 和A B U ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题） 试题解答 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ． 过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ． 求证：EM = MF ． Γ2 Γ1 M G F E D C B A 图1 ………… 小学六年级数学奥赛训练填空题 1.甲数的31相当于乙数的41，又相当于丙数的5 1，甲、乙、丙三个数的比是（ ）。 2. 一张乒乓球桌，三个小朋友轮换在这张桌子上打乒乓球，他们打了1小时，平均每个小朋友打了（ ）分钟。 3. 对于“324”和“612”这两个数，把第一个数加上3，同时把第二个数减去3，这算一次操作。经过（ ）次操作后两个数相等。 4. 一个最简分数的分子加上1，约分后为65；分子减去1，约分后为54。这个最简分数是（ ）。 5. 一个人以相同的速度在小路上散步，从第1棵树走到第13棵树用了18分钟。如果这个人走了24分钟，他应走到第（ ）棵树。 6. 从南京到上海的某次列车在行车途中要停靠6个大站，铁路局要为这次列车准备（ ）种不同的车票。 7. 实验小学举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分。共有12道题，马东得了84分，他做对了（ ）道题。 8. 有一组数：（3），（6、9），（12、15、18），（21、24、27、30）……中，第30个括号中所有数的和是（ ）。 9. 将奇数1、3、5、7……按右图排列。 A B C D 2017这个数排在第（ ）行第 1 3 5 （ ）列。 11 9 7 13 15 17 23 21 19 10. 某商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80﹪出售，则亏损832元。该商品的成本价是（ ）元。 11. 货车的速度是客车的90﹪，两车分别从甲、乙两站同时相向而行，在离两站中点6km 处相遇。甲、乙两站相距（ ）km 。 12. 从时针指向4开始，再经过（ ）分钟时针正好和分针重合。 13. 一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要30天完成。两队合做了若干天后甲队调走，剩下的由乙队再做5天完成。乙队共做了（ ）天。 14. 五（1）班30名男同学中，调查会踢足球和会打篮球的人数，发现每个学生至少会一样。调查结果是有53的同学会踢足球，有31的同学两样都会。会打篮球的有（ ）名同学。 15. 一水库存水量一定，河水均匀入库。若用5台抽水机连续工作20天可抽干；若用6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要（ ）台同样的抽水机。 16. 一个正方体的高减少3dm 后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原来正方体的表面积减少了48dm 2。原来正方体的体积是（ ）dm 3。 初中数学奥林匹克竞赛教程 初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。 2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠ 5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。初三数学基础训练题
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