7高考二轮物理复习专题3.弹簧问题(附答案)7

专题弹簧类问题(附参考答案)

高考动向

弹簧问题能够较好的培养学生的分析解决问题的能力和开发学生的智力，借助于弹簧问题，还能将整个力学知识和方法有机地结合起来系统起来，因此弹簧问题是高考命题的热点，历年全国以及各地的高考命题中以弹簧为情景的选择题、计算题等经常出现，很好的考察了学生对静力学问题、动力学问题、能量守恒问题、功能关系问题等知识点的理解，考察了对于一些重要方法和思想的运用。

弹簧弹力的特点：

弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内），即F=kx，其中x是弹簧的形变量（与原长相比的伸长量或缩短量，不是弹簧的实际长度）。

高中研究的弹簧都是轻弹簧（不计弹簧自身的质量，也不会有动能和加速度）。

不论弹簧处于何种运动状态（静止、匀速或变速），轻弹簧两端所受的弹力一定等大反向。

弹簧的弹力属于接触力，弹簧两端必须都与其它物体接触才可能有弹力。如果弹簧的一端和其它物体脱离接触，或处于拉伸状态的弹簧突然被剪断，那么弹簧两端的弹力都将立即变为零。

在弹簧两端都保持与其它物体接触的条件下，弹簧弹力的大小F=kx与形变量x成正比。由于形变量的改变需要一定时间，因此这种情况下，弹力的大小不会突然改变，即弹簧弹力大小的改变需要一定的时间。（这一点与绳不同，高中物理研究中，是不考虑绳的形变的，因此绳两端所受弹力的改变可以是瞬时的。）

一、与物体平衡相关的弹簧

例．如图示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1

和k2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上

提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( )

A.m1g/k1

B.m2g/k2

C.m1g/k2

D.m2g/k2

此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出．注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m1离开上面的弹簧．开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m1 + m2)g／k2，而m l刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m2g／k2，因而m2移动△x＝(m1 + m2)·g／k2 -m2g／k2＝m l g／k2．参考答案:C

此题若求m l移动的距离又当如何求解?

二、与分离问题相关的弹簧

两个相互接触的物体被弹簧弹出，这两个物体在什么位置恰好分开？这属于临界问题。“恰好分开”既可以认为已经分开，也可以认为还未分开。认为已分开，那么这两个物体间的弹力必然为零；认为未分开，那么这两个物体的速度、加速度必然相等。同时利用这两个结论，就能分析出当时弹簧所处的状态。

特点：1．接触；2．还没分开所以有共同的速度和加速度；3．弹力为零。

两种类型：

1．仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。

例．如图所示，两个木块A、B叠放在一起，B与轻弹簧相连，弹簧下端固定在水平

面上，用竖直向下的力F压A，使弹簧压缩量足够大后，停止压缩，系统保持静止。这时，

若突然撤去压力F，A、B将被弹出且分离。下列判断正确的是（）

A．木块A、B分离时，弹簧的长度恰等于原长

B．木块A．B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于B的重力

C．木块A、B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A、B的总重力

D．木块A、B分离时，弹簧的长度可能大于原长

分析与解：以A 为对象，既然已分开，那么A 就只受重力，加速度竖直向下，大小为g ；又未分开，A 、B 加速度相同，因此B 的加速度也是竖直向下，大小为g ，说明B 受的合力为重力，所以弹簧对B 没有弹力，弹簧必定处于原长。选A 。此结论与两物体质量是否相同无关。

例．如图所示，质量均为m=500g 的木块A 、B 叠放在一起，轻弹簧的劲度为

k=100N/m ，上、下两端分别和B 与水平面相连。原来系统处于静止。现用竖直向上的

拉力F 拉A ，使它以a=2．0m/s 2的加速度向上做匀加速运动。求：⑴经过多长时间A

与B 恰好分离？⑵上述过程中拉力F 的最小值F 1和最大值F 2各多大？⑶刚施加拉力F

瞬间A 、B 间压力多大？

分析与解：⑴设系统静止时弹簧的压缩量为x 1，A 、B 刚好分离时弹簧的压缩量为x 2。kx 1=2mg ，x 1=0．10m 。A 、B 刚好分离时，A 、B 间弹力大小为零，且a A =a B =a 。以B 为对象，用牛顿第二定律：kx 2-mg=ma ，得x 2=0．06m ，可见分离时弹簧不是原长。该过程A 、B 的位移s=x 1-x 2=0．04m 。由221at s =，得t=0.2s

⑵分离前以A 、B 整体为对象，用牛顿第二定律：F+kx -2mg=2ma ，可知随着A 、B 加速上升，弹簧形变量x 逐渐减小，拉力F 将逐渐增大。开始时x=x 1，F 1+kx 1-2mg=2ma ，得F 1=2N ；A 、B 刚分离时x=x 2，F 2+kx 2-2mg=2ma ，得F 2=6N

⑶以B 为对象用牛顿第二定律：kx 1-mg-N=ma ，得N =4N

2．除了弹簧弹力，还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那么两个物体分离时弹簧必然不一定是原长。（弹簧和所连接的物体质量不计分离时是弹簧的原长，但质量考虑时一定不是弹簧的原长，）可看成连接体。

例。一根劲度系数为k ，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物体，有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a (a ＜g 匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。

分析与解：设物体与平板一起向下运动的距离为x 时，物体受重力mg ，弹簧的弹力F=kx 和平板的支持力N 作用。据牛顿第二定律有：

mg-kx-N=ma 得N=mg-kx-ma

当N=0时，物体与平板分离，所以此时k a g m x )(-=

因为221at x =，所以ka

a g m t )(2-=。 例．如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静止，P 的质量m =12kg ，弹簧的劲度系数k =300N/m 。现在给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t =0.2s 内F 是变力，在0.2s 以后F 是恒力，g=10m/s 2,则F 的最小值是 ，F 的最大值是 。

分析与解：因为在t=0.2s 内F 是变力，在t=0.2s 以后F 是恒力，所以在t=0.2s 时，P

离开秤盘。此时P 受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于

原长。在0-0.2s 这段时间内P 向上运动的距离：

x=mg/k=0.4m 因为221at x =，所以P 在这段时间的加速度22/202s m t

x a == 当P 开始运动时拉力最小，此时对物体P 有N-mg+F min =ma,又因此时N=mg ，所以有F min =ma=240N. 当P 与盘分离时拉力F 最大，F max =m(a+g)=360N.

三、圆周运动中的弹簧

例．如图所示，离心机的光滑水平杆上穿着两个小球A 、B ，质量分别为2m 和m ，两球用劲度系数为k 的轻弹簧相连，弹簧的自然长度为l ．当两球随着离心机以角速度ω转动时，两球都能够相对于杆静止而又不碰两壁．求（1）A 、B 的旋转半径r A 和r B ．（2）若转台的直径为2L ，求角速度ω的取值范围．

分析与解：（1）因为弹簧对A 、B 两球的弹力相等，知A 、B 两球做圆周运动的向心力相等，有：

2mr A ω2=mr B ω2

所以：r B =2r A ．

根据牛顿第二定律得：2mr A ω2=k(r A +r B -L) 解得：223ωm k kL r A -=，2

232ωm k kL r B -= （2）若转台的直径为2L ，则r B ＜L ． 因为：2

232ωm k kL r B -=，解得：m k 2<ω 例．A 、B 两球质量分别为m 1与m 2，用一劲度系数为k 的弹簧相连，一长为l 1的细线与m 1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO′上，如图所示，当m 1与m 2均以角速度ω绕OO′做匀速圆周运动时，弹簧长度为l 2．求：（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？

（2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？

分析：（1）B 球绕OO′做匀速圆周运动，靠弹簧的弹力提供向心力，求出弹簧的弹力，根据胡克定律即可得出弹簧的伸长量．A 球在水平方向上受绳子的拉力和弹簧的弹力，两个力合力提供A 球做圆周运动的向心力，从而求出绳子的拉力．

（2）绳子突然烧断的瞬间，绳子拉力立即消失，弹簧的弹力来不及发生变化，根据牛顿第二定律分别求出两球的合力，从而得出两球的加速度．

分析与解：（1）对B 球有：F=m 2(l 1+l 2)ω 2，

又根据胡克定律得：F=kx 所以k

l l m x )(2122+=ω 对A 球有：T-F=m 1l 1ω 2 所以T=m 2ω2(l 1+l 2)+m 1ω2l 1 故弹簧的伸长量为k

l l m x )(2122+=ω，绳子的张力为T=m 2ω2(l 1+l 2)+m 1ω2l 1． （2）烧断细绳的瞬间，拉力T=0，弹力F 不变

根据牛顿第二定律，对A 球有：1

21221)(m l l m m F a A +==ω对B 球有：)(2122l l m F a B +==ω 小结：解决本题的关键知道匀速圆周运动的向心力靠合力提供，以及知道在烧断细绳的瞬间，拉力立即消失，弹簧的弹力来不及改变，烧断细绳的前后瞬间弹力不变．

四．瞬时问题中的弹簧

例．质量分别为m 和2m 的小球P 、Q 用细线相连，P 用轻弹簧悬挂在天花板下，开

始系统处于静止。下列说法中正确的是( )

A ．若突然剪断细线，则剪断瞬间P 、Q 的加速度大小均为g

B ．若突然剪断细线，则剪断瞬间P 、Q 的加速度大小分别为0和g

C．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g

D．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为3g和0

分析与解：剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零，弹簧对P的拉力仍为3mg竖直向上，因此剪断瞬间P的加速度为向上2g，而Q的加速度为向下g；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线对P、Q的拉力也立即变为零，因此P、Q的加速度均为竖直向下，大小均为g。选C。

例．如图所示，小球P、Q质量均为m，分别用轻弹簧b和细线c悬挂在天花板下，再用另一细线d、e与左边的固定墙相连，静止时细线d、e水平，b、c与竖直方向夹角均为θ=370。下列判断正确的是

A．剪断d瞬间P的加速度大小为0.6g

B．剪断d瞬间P的加速度大小为0.75g

C．剪断e前c的拉力大小为0.8mg

D．剪断e后瞬间c的拉力大小为1.25mg

分析与解：剪断d瞬间弹簧b对小球的拉力大小和方向都未来得及发生变化，因此重力和弹簧拉力的合力与剪断前d对P的拉力大小相等，为0.75mg，因此加速度大小为0.75g，水平向右；剪断e前c的拉力大小为1.25mg，剪断e后，沿细线方向上的合力充当向心力，因此c的拉力大小立即减小到0.8mg。选B。

五．应用型问题的弹簧

例．“加速度计”作为测定运动物体加速度的仪器，已被广泛地应用于飞机，潜艇、航天器等装置的制导系统中，如图所示是“应变式加速度计”的原理图，支架A、B固定在待测系统上，滑块穿在A、B间的水平光滑杆上，并用轻弹簧固定于支架A上，随着系统沿水平方向做变速运动，滑块相对于支架发生位移，滑块下增的滑动臂可在滑动变阻器上相应地自由滑动，并通过电路转换为电信号从1，2两接线柱输出．

巳知：滑块质量为m，弹簧劲度系数为k，电源电动势为E，内阻为

r、滑动变阻器的电阻随长度均匀变化，其总电阻R=4r，有效总长度L，

当待测系统静止时，1、2两接线柱输出的电压U0=0.4 E，取A到B的方

向为正方向，

(1)确定“加速度计”的测量范围．

(2)设在1、2两接线柱间接入内阻很大的电压表，其读数为u，导出加

速度的计算式。

(3)试在1、2两接线柱间接入内阻不计的电流表，其读数为I，导出加速度的计算式。

分析与解：（1）当待测系统静上时，1、2接线柱输出的电压u0=E·R12/（R+r）

由已知条件U0=0.4E可推知，R12=2r，此时滑片P位于变阻器中点，待测系统沿水平方向做变速运动分为加速运动和减速运动两种情况，弹簧最大压缩与最大伸长时刻，P点只能滑至变阻器的最左端和最右端，故有：

a1=kL/2m，a2=-kL/2m

所以“加速度计”的测量范围为[-k·L/2m，L/2m]，

(2)当1、2两接线柱接电压表时，设P由中点向左偏移x，则与电压表并联部分的电阻R1=(L/2-x)·4r/L

由闭合电路欧姆定律得：I=E/(R+r)故电压表的读数为：U=I·R1

根据牛顿第二定律得: k·x＝m·a建立以上四式得: a=kL/2m - 5kLU/（4·E·m）。

(3)当1、2两接线柱接电流表时，滑线变阻器接在1，2间的电阻被短路．设P由中点向左偏x，变阻器接入电路的电阻为：R2=(L/2+x)·4r/L

由闭合电路欧姆定律得: E=I(R2+r)

根据牛顿第二定律得: k·x=m·a联立上述三式得: a=k·L(E-3I·r)/(4I·m·r)

六．考虑弹簧秤外壳的问题

例．如图所示，一放在光滑水平面上的弹簧秤，其外壳质量为m ，弹簧及挂钩质量不计，在弹簧秤的挂钩上施一水平向左的力F 1，在外壳吊环上施一水平向右的力F 2，则产生了沿F 1方向上的加速度a ，那么此弹簧秤的读数是

A ．F 1

B ．F 2

C ．F 1－F 2

D ．F 2 +ma

【答案】AD

七．电场中的弹簧问题：

例．如图所示，空间中存在方向竖直向下的匀强电场，一弹簧竖直固定于桌面，弹簧与桌面均绝缘且不带电，现将一带正电的物块轻轻放于弹簧上并处于静止状态，若将电场突然反向，已知物块受到的静电力小于其重力，则物块在第一次到达最高点前的速度时间图象可能是（ ）

【答案】AB

八．动态问题中的弹簧

例．某缓冲装置的理想模型如图所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力为定值。轻杆向右移动不超过l 时，装置可安全工作。若一小车以速度v 0撞击弹簧，已知装置可安全工作，轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面间的摩擦。从小车与弹簧刚接触时开始计时，下列关于小车运动的速度-时间图象可能正确的是( )

【答案】 AD

九．弹性势能问题

机械能包括动能、重力势能和弹性势能。其中弹性势能的计算式22

1kx E P 高中不要求掌握，但要求知道：对一根确定的弹簧，形变量越大，弹性势能越大；形变量相同时，弹性势能相同。因此关系到弹性势能的计算有以下两种常见的模式：

例．如图所示，质量为m 的小球套在倾斜放置的固定光滑杆上，一根轻质弹簧的一端悬挂于O 点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内，将小球沿杆拉到弹簧水平位置由静止释放，小球沿杆下滑，当弹簧位于竖直位置时，小球速度恰好为零，此时小球下降的竖直高度为h ，若全过程中弹簧始终处于伸长状态且处于弹性限度范围内，下列说法正确的是( )

A.弹簧与杆垂直时，小球速度最大

B.弹簧与杆垂直时，小球的动能与重力势能之和最大

C.小球下滑至最低点的过程中，弹簧的弹性势能增加量小于mgh

D.小球下滑至最低点的过程中，弹簧的弹性势能增加量等于mgh

【答案】BD

例．如图所示，A 、B 两物块用一根轻绳跨过定滑轮相连，其中A 带负电，电荷量大小为q 。A 静止于光滑的斜面上，斜面倾角为370，斜面上方有一个平行于斜面向下的匀强电场，轻绳拉直而无形变．不带电的B 、C 通过一根轻弹簧拴接在一起，且处于静止状态，弹簧劲度系数为k 。B 、C 质量相等，均为m ，A 的质量为2m ，不计滑轮的质量和摩擦，重力加速度为g 。现突然将电场的方向改变1800，A 开始运动起来，当C 刚好要离开地面时(此时B 还没有运动到滑轮处)，求出此时B 的速度大小

答案：k

m g v 1572

利用形变量相同时弹性势能相同。