《固体物理学》基础知识训练题及其参考答案

《固体物理》基础知识训练题及其参考答案

说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。

第一章

作业1：

1.固体物理的研究对象有那些？

答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。

2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？

答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。

3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。

答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。

面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。

六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。

4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。

答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格；

金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格；

Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。

ZnS：类似于金刚石。

作业2：

1. 什么叫原胞？

解：原胞是指晶格内重复排列的最小体积单元。

2. 简单立方晶格，体心立方晶格，面心立方晶格的基矢是什么？设对应的立方晶格的边长为a ，以上三种晶格的体积是多少？

解： 简立方基矢： i a a

=1

j a a

=2 3

a V =

k a a

=3

面心立方基矢：

)(21j i a a

+=

)(22k j a a += 3

41a V =

3()2

a

a i k =+

体心立方基矢

1(i j k)2a

a =

+- 2(i j k)2a a =-++ 3

21a V =;

3(i j k)2

a

a =-+

3.对于简单晶格和复式晶格，如何确定其中原子的位置？

解：对于简单晶格每个原子的位置可以写成：=

R

++; ,,为晶格

基矢；

对于复式晶格位置可以写成：=R

+

++; 表示原胞内各种等价原子之

间的相对位移。

4.如何确定某一晶列指数？

（1）取一晶体微粒为坐标原点0，确定原胞的基矢,,;

（2）将所考察的晶列平移过坐标原点，从原点沿着晶列方向，找出最近的一个微粒的

矢量并表示为：=

R

++;

（3）写出该晶列的晶向指数[321l l l ]。

5.如何确定某一晶面的密勒指数?

（1）取一晶体微粒为坐标原点0，确定原胞的基矢,,; （2）找出考察的晶面在矢量,

,

;方向上的截距1a r

,

,

;

（3）将 r 、s 、t 倒数并整数化，从而得到该晶面的密勒指数（321h h h ）。

作业3：

1.倒格子基矢如何利用正格子基矢求出？ 解：可以利用正格子基矢1α，2α，3α导出倒格子基矢1b ，2b

，3b ，其关系为：

)

(2321321αααααπ

???=b ；)

(23211

32αααααπ

???=b ；

)

(23212

13αααααπ ???=b

2.倒格子有何特点？

解：设正格子基矢为1a ，2a ，3a

，倒格子中微粒的位矢为332211G b h b h b h ++=， 1b ，2b

，3b 是倒格子基矢，1h ，2h ，3h 是整数，则有：ij

j i b a πδ2=? ，

当j i =时，1

≠ij δ；

当j i ≠时，

=ij δ。

倒格子原胞的体积*

Ω与正格子原胞的体积Ω的乘积为()3

2π ，即()3

*2π=Ω?Ω。

倒格矢3322111321b h b h b h G h h h ++=（1b 、2b

、3b 是倒格子基矢，1h 、2h 、3h 是整

数）与密勒指数为)(321h h h 的晶面相互垂直。

作业4：

1、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+??

?

=+??

?=+??

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π

=

?Ω

3

1230,

,22

(),0,224

,,0

2

2a a

a a a a a a a a Ω=??=

=，2

23,,,

0,()224,,0

2

2

i j k

a a a a a i j k a a ?==-++ 213422()()4a

b i j k i j k a a

π

π∴=??-++=-++

同理可得：232()2()

b i j k a

b i j k a

π

π=

-+=+- 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ?=-++??

?

=-+??

?=+-??

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π

=

?Ω

3

123,,

222

(),,2222

,,222

a a a a a a a a a a a a a

-Ω=??=-=

-

，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ?=-=+- 213222()()2a b j k j k a a

π

π∴=??+=+

同理可得：232()2()

b i k a

b i j a

π

π=

+=+即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

所以，体心立方的倒格子是面心立方。

2、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

证明：

因为33121323

,a a a a CA CB h h h h =

-=-， 112233G h b h b h b =++

容易证明

12312300

h h h h h h G CA G CB ?=?=

所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

作业5

1.在三维情况下，正交变换表示成什么形式？此时绕Z 轴转 θ角的正交矩阵和中心反演的正交矩阵各是什么？

解：在三维情况下，正交变换可表示成：

???

?

? ??z y x =????

? ??'''z y x ????? ??333231222221131211a a a a a a a a a ??

??

? ??z y x

其中矩阵

{}ij

a 是正交矩阵（i ，j=1,2,3）

绕Z 轴转θ角的正交矩阵是：????

? ?

?-10

00cos sin 0sin cos θθθθ

中心反演的正交矩阵为：100010001-?? ?-

? ?-??

2．简单立方晶格有哪些对称操作？ 答：（1）绕立方轴转动

2π、π、2

3π

，有三个立方轴，共有9个对称操作； （2）绕面对角线转动π，有六条不同的面对角线，共6个对称操作； （3）绕立方体对角线转

32π、34π

，有4条不同的立方体对角线，共8个对称操作； （4）正交变换???

?

?

?

?10

0010

001

，即不动，也算一个对称操作； 将上述的4种可能加起来，一共是24个对称操作。

又因为中心反演定律可以使立方体保持不变，因此以上每一个转动加中心反演都是对称操作。所以总共48个对称操作。

3.什么叫对称素？

答：若某物体绕其一对称轴转α角后，其中的微粒分布仍然与原来的空间排列完全相同，那么该操作

对应的对称素n 为：α

π

2=n ，α用弧度制。

作业6

1．试证明：晶体的宏观对称性只有哪几种对称素？ 证明：

如下图 ，格点A 的位置可表示为 2211αα

l l +

围绕“过格点A 点且垂直纸面的轴”转动θ角后，设格点B 转到另一格点B ' 的位

置。

由于格点A 与格点B 完全等价，因此围绕“过格点B 点且垂直纸面的轴”转动θ角，格点A 一定会转到另一格点'

A

的位置。

又由于A 和B 都是晶体中的格点，晶体中的格点排列具有严格的周期性，所以有：

AB A B ||''，AB n A B ==''∴1n α, n 为整数。

如图可得：)cos 21(θ-=''AB A B

2

1cos cos 21n

n -=?-=θθ

θcos 必须在1与-1之间。

∴n 只能有-1,0,1,2,3五个值，相应的

π

π

πππθ,3

2,2

,3,2=，它的宏观对称素还能为：

1,2,3,4,6；由于各个对称素的中心反演都是对称操作，故得：6,4,3,2,1也是对称素。

第二章

作业7：

1、三维NaCl 晶体对应的马德隆常数a 的表达式是什么？在二维、一维情况下，马德隆常数a 的表达式又分别是什么？

∑∑∑∑---=--=+--=++-=+++n

n

n

n n n n n n n n n n n n n a n n a n n n a )1('

)

()1('

)()1('

)

('

2

122

1

212

1

2

322212

12

13

213

21)

1(一维：二维：三维：

2、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为a=2In2。

证：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键取任一负离子作参考离子。用r 表示相邻离子间的距离。

]4131211[2)1( +-+-=±=∴

∑r r r r r r a s

ij 马德隆常数]4

1

31211[2 +-+-

=a +-+-=+4

32)1(4

32x x x x x In

当x=1时有： +-+-=4

1

312112In 即a=2In2

3、试由三维NaCl 晶体的内能表达式 ，r 表示相邻正负离子的距离，N 表示晶体中原胞的个数，（1）其中表示相互吸引的平均库仑能和重叠排斥能各是哪一项？（2）试求出该晶体处于平衡态时的晶格常数、体变模量和结合能。

解：（1）平均库仑能为)(R

A

N -

，重叠排斥能为n r B N

（2）令

0|0==r r dr du ，由于??

?

??+-=n r r B r A N u )(，则有： ,0)(10

20=-+n r Bn r A N 于是可得1

1

0)(-=n A Bn r ]

[n r B r A N U +-=

体模变量：4

002

22184)1(0r aq n dV u d V V

dV dp K V ?-=???? ??=-=πε 结合能：)()(0

00n r B r A N r u W +--=-=

作业8：

1、 共价结合有哪两个基本特性？它们的含义分别是什么？

解：(1)饱和性：是指一个原子只能形成一定数目的共价键，一个电子只能和一个与自己自旋方向相反的电子形成一个共价键。

(2)方向性：是指原子只在特定的方向上形成共价键。

2、 以金刚石的共价键为例说明什么叫“轨道杂化”？

解 ：碳原子有6个电子，在基态4个电子填充了1S 和2S 轨道（每个轨道有正反自旋的一对电子），剩下两个电子在2P 壳层，在这种情况下只有两个2P 电子未配对的，但是在金刚石中，每个碳原子与4个领近原子以共价键结合，这种情况表明，金刚石中的共价键不是以上述碳原子的基态为基础的，而是由下列2S 和2P 波函数组成的新的电子状态组成的：

(

)z y x P P P S n 222212

1

????ψ+++=，()z y x P P P S n 2222221????ψ--+=，

()z y x P P P S n 22223

2

1

????ψ-+-=，()

z y x P P P S n 2222421????ψ+--=。

这个形成新的电子状态的过程叫做“轨道杂化”。

3、金属性结合的晶体有哪些重要特点？

解：（1）电子的共有化；（2）有很大的范性。

4、金属性结合的晶体是依靠哪两种作用力达到平衡的？ 解：依靠排斥作用力和库仑吸引作用力达到平衡的。

作业9：

1、若一个晶体的相互作用能可以表示为n m

r r r u β

α+

-

=)(，试求：

（1）平衡距离0r ； (2)结合能W （单个原子）；

（3）体能弹性模量；（4）若取m=2,n=10,A r 30=,W=4eV ，求α、β值。

解：(1)由

0|0==r r dr du 即m

n n m n n r r n r m -++?

?

?

??=∴=+-1010100αββα

(2)单个原子：021r u W -

= 00|)(r r n m r r r

u =??? ??+-=βα m

n m n r -??? ??=1

0αβ

m

n m

m n n m W --?

?? ????? ??-=∴αβα121

(3)022V V V =???? ????=K ，晶体体积3

NAr V =； ()02020|u qV mn V u V V -=??= ； 0

0qV mn u =K （4）由已知条件： m

n m n r -??

?

??=1

0αβ m

n m

m n n m W --??

? ??-=

αβα)1(21

1002r W =

β ???

? ??+=W r r 210020βα 10

95102.1m eV ??=-β 219105.7m eV ??=-α

2、用林纳德—琼斯势计算Ne 在体心立方和面心立方结构中的结合能之比值。

解：()??????????? ??-??? ??=6124r r u r δδε ()???

???????? ??

-??? ??=6

12)4(21r A r A N u l n r δδε

()12

26066126

02120A A N u A A r r du r εδ-=?=?=???? ?? ()()957.011216122600=?

??

?

?????? ??==

A A A A r u r u W W fcc

bcc

fcc bcc

3、什么叫电离能？什么叫亲和能？什么叫负电性？

答：原子的电离能量是使原子矢去一个电子所必需的能量，因此可以用来表示原子对价电子束缚的强弱。

一个可以用来度量原子束缚电子能的量是亲和能，即一个中性原子获得一个电子成为负离子时，所放出的能量。

为了比较不同原子束缚电子的能力，或者说得矢电子的难易程度，常用原子的负电性。（负电性=0.18(电离能+亲和能）（单位：电子伏特）

4、在元素周期表中，元素的负电性有何规律？

答：有两个趋势： （1）周期表由上到下，负电性逐渐减弱；

（2）周期表愈往下，一个周期内的负电性的差别也愈小。

周期表左端I 族元素Li 、Na 、K 、Rb 、Cs 具有最低的负电性。 IV 族至VI 族具有较强的负电性。

第三章

作业10：

1、 试阐述杜隆-铂替定律的内容和适用范围。

答：内容：若一摩尔固体有N 个原子，它们共有3N 个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度上有平均能量为T k B （平均动能和平均势能各为T k B /2），该固体的摩尔热容量为R Nk C B v 33==

适用范围：单原子晶体：在高温下近似成立。

2、 在低温下，固体的热容量随温度的变化呈现什么变化规律？

答：在低温下，固体的热容量随温度降低而减小；当温度K T 0→时，固体热容量

0→v C 。

3、 对于一维单原子链，试写出它对应的：

（1）动力学方程；（2）格波方程；（3）色散关系；（4）第一布里渊区；（5）玻恩-卡曼条件。并说明其中各个字母的含义。

解：（1）动力学方程： )()(11-+?

?---=n n n n m μμβμμβμ，即有

)2(11n n n m μμμβμ-+=-+?

?

（2）格波方程：

)(naq t i nq Ae -=ωμ

（3）色散方程： )21(sin 422

q m αβω=

即 q m αβω2

1sin 2= （4）第一布里渊区：παπ≤

π

απ≤

（5）玻恩—卡曼条件：将第一个原子和最后一个原子（即第N 个原子）连接起来，使这

两个原子的平衡位置相距为晶格常数a 。

利用玻恩—卡曼条件有： N n n +=μμ 即 ])([)

(aq N n t i naq t i Ae Ae

+--=ωω

则有：1-=inaq

e

，于是可得： h Na

q ?=

π

2 （其中h 为整数） 又由于 (,]q a a ππ

∈-

（第一布里渊区）， 所以 ]2

,2(N

N h -∈，h 且为整数，共有N 个取值，

以上各式中字母的意义说明：→N 一维单元子链中的原子总数，→a 晶格常数，→ω格

波的振动圆频率，→h 整数，→β力常数，→q 格波的波数。

作业11：

1、 对于一维双原子链，试写出它对应的：

（1）动力学方程；（2）格波方程；（3）色散关系；（4）第一布里渊区；并说明其中各个字母的含义。

解：（1）动力学方程： P 原子 )2(212122n n n n m μμμβμ-+=-+?

?

Q 原子 )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++?

?

（2）格波方程： )

2(2naq t i n Ae -=ωμ

]

)12([12aq n t i n Be +-+=ωμ

（3）色散关系： ()?

?????+-±+=?

???+2

1

22

2-2

2]sin 41[1aq M m mM mM M

m β

ωωω （4）第一布里渊区：ππ+≤

q a

22-

π

π

≤

<

→ω格波的角频率，→n 原胞的序数，→a 相邻两原子处于平衡位置的距离，→

q 波数。

2、对于一维双原子链，试写出它对应的玻恩-卡曼条件，并说明其中各个字母的含义。 解：将第一个原胞与最后一个原胞实现首尾相接，且让它们之间的距离等于其它相邻原胞之间的距离。

利用玻恩-卡曼条件，则有)(22N n n +=μμ，1)(212-+-=N n n μμ ， 由此可得： a

N h q 22??

=π

其中h 为整数，再利用第一布里渊区的取值，可得2

2-

N

h N ≤<， N 是该双原子链中的原胞总数；且h 为整数，共有N 个取值。

作业12：

1.对于三维晶格振动，试写出它的格波方程，并说明其中各个字母的含义。

答：三维晶格对应的格波方程为：

???

??

?

?????

??-=???

? ??q k L R t A k ωi k e L u q

—格波的波矢量 ；ω——格波角速度（即圆频率） ；???

? ??k L R —第L 个原胞中第k 个

微观粒子的位移。

2.某三维晶体的一个原胞内含有n 个原子，对于一定的波矢量q

，该原胞中有声学波和光学波各多少支？

答：对于一定的波矢量q

，该原胞中有3支声学波。（3n-3）支光学波。

3.对于三维晶格振动，使用波恩-卡曼条件推导：

（1）格波的波矢量q

必须满足什么条件？并说明该条件中各个字母的含义。 （2）允许的q 在q

空间的分布密度。 答：

1) 设格波的波矢量q 无 332211q b x b x b x

++= ，利用波恩-卡曼条件可得：， 333222111332211q )()()()()

()(b N h b N h b N h R u a N R u R u a N R u R u a N R u L L L L L L

++=???

???=+=+=+ 即：格波的波矢量q 必须满足 33

3222111b N h b N h b N h q ++= ① 1b ，2b ，3b 是倒格子基矢； 321,,a a a

为晶格基矢。

② 321,

N N N ，，分别晶体在321,,a a a

方向上的晶体原胞数，晶体的总原胞数为N=321N N N 。

③ 321,,h h h 是整数，它们分别有321,

N N N ，，个整数取值。

2)

分布密度=3

30332211)2()

2(1ππV

NV N b N b N b ==???

? ???

（V 是三维晶格的体积）

作业13：

1.

简述利用中子非弹性散射确定晶格振动谱的实验步骤。 答：步骤：⑴ 先确定中子散射前后的动量p ，p

'；

⑵ 根据()q M p n

ω±=-'22M p 2n 2确定格波的圆频率)(q ω，再根据

n G q p +±=-'p 确定格波的波矢q ，在)(q ω-q

坐标系确定一个实验点。

（3）改变中子散射前后的动量p 和p

'，利用（2）中的方法，可以确定许多对应的)(q ω和q

值，从而可以在)(q ω-q

坐标系确定晶格振动实验谱线。 2.

为什么常用中子非弹性散射方法确定晶格振动谱。

答：（1）中子的能量

n

M 2p 2

与晶格振动形成的格波的能量()q

ω具有相同的数量级，

因此，中子与格波相互作用后，中子的能量和动量都会发生明显的改变，从而便于测量，因而容易得到精确的结果。（2）中子的德布罗意波长正好与晶格常数同数量级。

作业14：

1.

内含N 个原子的晶格，利用量子理论可得到它的热容量是多少？

解：热容量

∑=???

?

??-???? ???=N

j T k T k B j B v B j B j

e e T k k 3122

1C ωωω

2. 爱因斯坦模型的基本内容是什么？利用爱因斯坦模型可得内含N 个原子的晶

格热容量是多少？ 答：内容：（1）晶体中所有原子的振动都被视为独立的；（2）认为所有原子的振动频率都为同一值0ω。

利用爱因斯坦模型可得内含N 个原子的晶格热容量为：

2

//20)

1()/(300-=T k T

k B B v B B e e T k Nk C ωωω

3. 徳拜模型的基本内容是什么？爱因斯坦、徳拜温度各是什么？

答：内容：

1) 认为晶格振动频率分布在0~m ω之间，m ω是频率的最大值； 2)

认为对振动模而言，晶体可视为连续分布的弹性介质，则cq =ω；

爱因斯坦温度：B k 0E ωθ =

； 德拜温度：B

D k m

ω =Θ

作业15：

1.

计算振动模式密度的一般公式中各个字母的含义分布是什么？

答：()ω

ωωωd dn

n =??=→?0lim

g

()()?

?=

q

q ds

V ωπω3

2g （对三维晶体） ωd 等频面ω和ωωd +之间的微小间距离；dn 表示在ωωωd +—间隔内晶格振动模

式的数目。

2.

若2

cq =ω。试分别对一维、二维、三维晶体计算对应的振动模式密度。

解：由c

ω

ω=

∴=q cq 2

一维下：()21

2cq 212222g -=??=??=?ωππωπωc

L L d dq L 二维下：()()()c

S

S q dL q πππωπω4cq 21222S g 22=??=??=

? 三维下：cq dq

d 2q ==

?ω

ω

()()()()

()()2

1

2

3

223

33

12421

21

22g ωπππωπωπω??=??=

??=?=

??

C V q cq

V dS q V dS V q q

第四章

作业16：

1、 布洛赫定理的内容是什么？

答：布洛赫定理的内容是，

晶体中的电子的波函数()r

?是以晶格周期s R 调幅的平面波，即

()()()()

3

21332211,,,,,n n n a n a n a n R R r u r u e r u r n n r k i ++=+==?

?是整数，321

,,a a a 是正格子原胞基矢。

2、 一维近自由电子近似模型的内容是什么？

答 ：一维近自由电子近似模型是假设电子所处的势场()x V 沿某一值的起伏较小，用势场平均值V 作为势场的()x V 的零级近似，即V 是势场()x V 的主要部分；把周期势场()x V 的起伏 ()()

V x V V -=??V 作为()x V 的微扰来处理。

该模型可以用来处理金属中电子的能带结构。

3、 一维近自由电子近似模型下的零级近似对应的波动方程、波函数、能量各是多少？

答：波动方程()00022

22k k E x V

dx d m ψψ=???

? ??+-