数学第二次作业

实验设计与数据处理第二次作业

2.2、证明配对比较试验中ANOVA的F检验统计量与（2.1）中的配对t统计量的平方的等价性。

配对比较设计是随机化区组设计中区组大小为2的特殊情况。如果是自然发生的，则配对是有效的，那么配对设计要优于非配对设计。对于配对比较试验，随机化区组设计的线性模型为：证明：对于配对比较试验，模型可以设为：

对于配对比较试验，k=2, b=N。

由课本公式可知，

且

则代入b=2, F统计量可以表示为：

当b=2时，配对比较试验的t统计量为：

那么t2可以表示为：

同时：

可得，

证毕。所以，配对比较试验中ANOVA的F检验统计量与（2.1）中的配对t统计量的平方是等价的。

2.7、表2.32中的元素是按照三个区组的随机化区组设计所收集的数据确定的，5组数的处理均值分别是45，56，46，45和56。

（a）完成表2.31中的ANOVA（是否能用所给的信息来确定表中任意的元素？解释之）.

（b）用Tukey方法在水平0.01下同时比较五种处理方法均值，并报告那些认为是显著不同的处理对.

（c）不经过实际计算，由（b）中的结果，试解释为什么F检验在水平0.01下会拒绝处理效应是相同的零假设？

表2.32 随机化区组设计的ANOVA表

来源自由度平方和均方

区组520

处理498

残差40

总计14

（a）由于区组效应和总自由度在表格中都已列出，所以表中的自由度是确定的，通过自由度和平方和的数据可以求出表格中ANOVA中的其它元素。计算方法如下：区组自由度以及处理自由度可通过区组和处理个数减1确定来确定。残差自由度等于总的自由度减去区组自由度和处理自由度，其均方是平方和除以自由度，总平方和是区组、处理、残差平方和之和：SS=SS b+SS t+SS r,其中SS b为区组平方和，SS t为处理平方和，SS r为残差平方和，把表格填充完整如下：

来源自由度平方和均方

区组 2 520 260

处理 4 498 124.5

残差8 40 5

总计14 105875.57

（b）用Tukey方法判断的判据如下：

计算方法为：错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。, b=3。

而

令五种处理方法分别为：A、B、C、D、E，可得五种处理方法两两之间的错误！未找到引用源。如下表所示，其中显著不同的处理对加粗显示，分别是AB，AE，

（c）Tukey方法是直接对两种方法的差异性进行判断，如果两种方法有显著性的差异，足以拒绝处理效应是相同的零假设。通过上一问的计算可知，用Tukey 方法检验认为在0.01的置信水平下没有任何一个处理和其他所有不同处理完全一样。此外F检验是对所有方法是否有差异性的一个整体判断，在相同置信水平下，Tukey方法和F检验都可以针对零假设进行检验，所以第二问中存在显著性不同的处理对，可得F检验在相同水平下会拒绝处理效应是相同的零假设。

2.15、在1.8节的合成物试验中，Mazumdar and Hoa(1995)原始文章报告了一个附加因子：带速。表2.34中的数据是对应于带速分别为6.42，1

3.00，和27.00(m/s)在激光的每个水平上的三个重复，带速的水平在对数尺度上大致等距地分布，使得对于附加的定量因子，线性效应和二次效应可以求得. 试把这个试验作为一个只有一个重复的二向设计来分析，包括建立模型、参数估计、ANOVA和残差分析.

由于该试验为两个具有三水平的定量因子的单次重复二向设计，某些高阶交互作用应舍弃，仅考虑线性效应、二次效应、线性和二次的交互作用，所以建立如下的模型：

考虑到没有进行重复试验，则不能估计二次交互作用，故模型简化为：

则对应的线性模型矩阵X 为：

X=?????????????

???????????????1 ，1 ，1 ，1- ，1 ，10 ，2- ，0 ，1- ，1 ，11- ，1 ，1- ，1- ，1 ，10 ，1 ，1 ，2- ，0 ，10 ，2- ，0 ，2- ，0 ，10 ，1 ，1- ，2- ，0 ，11- ，1 ，1 ，1 ，1- ，10 ，2- ，0 ，1 ，1- ，11 ，1 ，1- ，1 ，1- 1, 得到该矩阵后，对应线性效应的第二列和第四列需要除以,对应二次效应的第

三列和第五列需要除以，对应线性与线性交互作用的第六列除以2。

可以得到如下表格：

残差计算可得：

22()10.5

? 2.626ij

i j i j y y y y --+==∑∑σ

ANOVA 分析如下：

此外，进行回归方程分析，可得R 2=0.968，残差标准误为：1.10；对应回归方程的F 检验统计量为：57.7，P 值为：0.00086；符合回归系数和回归方程检验，可知激光能量与带速对观测值的影响都是显著的。

接下来进行残差分析： 作i i r x 关系图如下：

残差值

激光能量 (W)

残差值

log(带速)

从残差图可以看出，数据基本以0为中心的平行带分布，满足要求。

3.6、证明（3.19）中给出的LSE与与对应因子效应间的关系。

[提示：利用.]

证明：

证毕。

13.一位营养学家收集了数据，报告在表3.14中.

(a)计算混合速度和时间的两因子交互效应，交互效应的估计是否用到了试验号9-11的信息？解释为什么。

(b)11个试验号中的什么观测可用来估计基本流程方差？

(c)假设每次试验均服从等方差的正态分布，试估计(a)中交互效应的标准差。

(d)假设是(b)中得到的的一个估计。利用学生氏极大模检验来检验七个因子效应在和下的显著性，并确定最大效应的p值。

(e)在和水平下用Lenth方法的IER型重复(d)中的工作，并与(d)

中的结果比较。

(f)用Lenth方法的EER型重复(e)中的工作，试问提倡该EER对这个问题的控制是否太保守？

（a）从题目中可以看出，需要用如下的公式：

可见，并没有用到9-11的信息。理由是交互效应和0水平无关。所以得出此结论。

（b）11个试验号中的三因子在零水平有重复试验，所以可以估计方差。

（c）从9-11号数据可得：；那么因子效应的估计方差为：

可得标准差 2.12.

（d）计算因子效应：, t=|E/|

因子效应I=7, 自由度N-m=11-3=8, 查得：

在0.01和0.05水平下，BC因子效应是显著的。

查表得：，所以最大效应的 p<0.01.

（e）通过（d）中因子效应估计值可求：

所以可以求解出如下表所示：

I=7时，查表得：，所以只有BC效应是显著的，

同（d）中结论一致。

（f）I=7时，查表得：，所以只有BC效应是显

著的，同（d）（e）中结论一致。由于BC的值显著区分于其他效应，EER也可以将其区分出来，未显得保守。