高三数学等差数列测试题百度文库
一、等差数列选择题
1.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸
D .二丈二尺五寸
2.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161
B .155
C .141
D .139
3.在巴比伦晚期的《泥板文书》中,有按级递减分物的等差数列问题,其中有一个问题大意是:10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目,现知第8兄弟分得6两,则长兄可分得银子的数目为( ) A .
825
两 B .
845
两 C .
865
两 D .
885
两 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45
B .50
C .60
D .80
5.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n -
B .n
C .21n -
D .2n
6.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231
n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )
A .
13
15
B .
2335
C .
1117 D .
49
7.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160
B .180
C .200
D .220
8.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
12n n n S +=,则数列11n n a a +??????
的前10项的和为( ) A .
89
B .
910
C .10
11
D .
1112
9.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大
21
2
,则该数列的项数是( )
A .8
B .4
C .12
D .16
10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若936S S =,则6
12
S S =( ) A .
17
7
B .
83
C .
143
D .
103
11.已知{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且100S =,下列式子正确的是( ) A .450a a +=
B .560a a +=
C .670a a +=
D .890a a +=
12.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237
n n S n T n =+,则6
3a b 的值为
( ) A .
5
11 B .38
C .1
D .2
13.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .
53
B .2
C .8
D .13
14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( ) A .21
B .15
C .10
D .6
15.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )
A .7
B .9
C .21
D .42
16.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13
B .26
C .52
D .56
17.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若(
)*
111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )
A .0m S <且10m S +>
B .0m S >且10m S +>
C .0m S <且10m S +<
D .0m S >且10m S +<
18.若数列{}n a 满足121
()2
n n a a n N *++=∈,且11a =,则2021a =( ) A .1010 B .1011 C .2020
D .2021
19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()1
1213n n n n S S a n +++=+-+,现有如下说法:
①541a a =;②222121n n a a n ++=-;③401220S =. 则正确的个数为( ) A .0
B .1
C .2
D .3
20.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24
B .36
C .48
D .64
二、多选题
21.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足140(2)n n n a S S n -+=≥,114
a =,则下列说法错误的是( ) A .数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B .数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =
+
C .数列{}n a 为递增数列
D .数列1n S ??
????
为递增数列
22.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a =
B .733S =
C .135********a a a a a +++???+=
D .
222
122019
20202019
a a a a a ++??????+= 23.已知数列{}n a 满足0n a >,121
n n n a n
a a n +=+-(N n *∈),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )
A .11a =
B .121a a =
C .201920202019S a =
D .201920202019S a >
24.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .733S =
C .135********a a a a a +++
+=
D .
222
122019
20202019
a a a a a +++= 25.已知数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为( ) A .0,2,n n a n ?=?
?为奇数
为偶数
B .1(1)1n n a -=-+
C .2sin
2
n n a π= D .cos(1)1n a n π=-+
26.(多选题)已知数列{}n a 中,前n 项和为n S ,且2
3
n n n S a +=,则1n n a a -的值不可能为
( )
A .2
B .5
C .3
D .4
27.已知数列{}n a :1,1,2,3,5,…其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68S a = B .733S =
C .135********a a a a a +++
+= D .222
2123202020202021a a a a a a ++++=
28.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =
C .95S S >
D .6S 与7S 均为n S 的最大值
29.定义11222n n
n a a a H n
-++
+=
为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优
值”2n
n H =,前n 项和为n S ,则( )
A .数列{}n a 为等差数列
B .数列{}n a 为等比数列
C .
20202023
20202
S = D .2S ,4S ,6S 成等差数列
30.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( ) A .a 6>0 B .24
37
d -
<<- C .S n <0时,n 的最小值为13 D .数列n n S a ??
?
???
中最小项为第7项
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一、等差数列选择题 1.D 【分析】
由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为
985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差
数列性质求得后5项和. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,
则
()
19959985.52
a a S a +=
==(尺),所以59.5a =(尺),由题知
1474331.5a a a a ++==(尺),
所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 2.B 【分析】
画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】
所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:
由图可得:3612107y x y -=??-=? ,解得155
48x y =??=?
.
故选:B. 3.C 【分析】
设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子,数列{}n a 是等差数列,
8106
100
a S =??
=?利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程,即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】
设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子,由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ,其前n 项和为n S ,
则由题意得8106100a S =??=?,即1176109
101002a d a d +=??
??+=??,解得186585a d ?
=????=-??
. 所以长兄分得86
5
两银子. 故选:C.
【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得
()1,2,,10n a n =???两银子构成公差0d <的等差数列,要熟练掌握等差数列的通项公式和
前n 项和公式. 4.C 【分析】
利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】
{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =
1158158()15215
156022
a a a S a +??=
===
故选:C 【点睛】
本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 5.B 【分析】
根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】
因为3518a S +=,633a a =+,所以11
161218
523a d a d a d +=??
+=++?,
所以11
1a d =??=?,所以()111n a n n =+-?=,
故选:B. 6.C 【分析】
利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】
2121S T =12112121()21()22
a a
b b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =211
3111??+=1117.
故选C 7.B 【分析】
把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】
由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=,
所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020
()10181802
S a a =+=?=. 故选:B 8.C 【分析】
首先根据()12
n n n S +=得到n a n =,设11111n n n b a a n n +==-+,再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】
当1n =时,111a S ==, 当2n ≥时,()()11122
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-=. 检验111a S ==,所以n a n =. 设()11111
11
n n n b a a n n n n +=
==-++,前n 项和为n T , 则10111111101122310111111T ??????=-+-++-=-= ? ? ???????
…. 故选:C 9.A 【分析】
设项数为2n ,由题意可得()21
212
n d -?=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大
212
, ()212121;2
n a a n d ∴-=-?=① 24S =奇,30S =偶,
30246S S nd ∴-=-==奇偶②.
由①②,可得3
2
d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 10.D 【分析】
由等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】
已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,∴3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,
所以()()633962S S S S S ?-=+-,且9
3
6S S =,化简解得633S S =.
又
()()()96631292S S S S S S ?-=-+-,∴31210S S =,从而
126103
S S =. 故选:D 【点睛】 思路点睛:
(1)利用等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,
(2)()()633962S S S S S ?-=+-,且9
3
6S S =,化简解得633S S =, (3)()()()96631292S S S S S S ?-=-+-,化简解得31210S S =. 11.B 【分析】
由100S =可计算出1100a a +=,再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】
由等差数列的求和公式可得()
110101002
a a S +=
=,1100a a ∴+=, 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选:B. 12.C 【分析】
令2
2n S n λ=,()37n T n n λ=+,求出n a ,n b ,进而求出6a ,3b ,则
6
3
a b 可得. 【详解】
令2
2n S n λ=,()37n T n n λ=+,
可得当2n ≥时,()()2
21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-,
()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+,
当1n =,()11112,3710a S b T λλλ====+=,符合()221n a n λ=-,
()232n b n λ=+
故622a λ=,322b λ=,
故
6
3
1a b =. 【点睛】
由n S 求n a 时,11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符
合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解. 13.B 【分析】
设公差为d ,则615a a d =+,即可求出公差d 的值. 【详解】
设公差为d ,则615a a d =+,即1115d =+,解得:2d =, 所以数列{}n a 的公差为2, 故选:B 14.C 【分析】
根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组,求解出1,a d 的值,再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】 因为1342
22a a a a +=??
-=?,所以122222a d d +=??=?,所以101a d =??=?,
所以5154
550101102
S a d ?=+=?+?=, 故选:C. 15.C 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=,即可得113a =,再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则()
1212121632
a a S +=
=, 所以1216a a +=,即1126a =,所以113a =, 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++
+=++++++
111111111122277321a a a a a =+++==?=,
故选:C 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是求出1216a a +=,进而得出113a =,
()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++
+=++++++=即可求解.
16.B 【分析】
利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】
由等差数列的性质,可得3542a a a +=,891371013103a a a a a a a ++=++=, 因为()()3589133224a a a a a ++++=, 可得410322324a a ?+?=,即4104a a +=, 故数列的前13项之和()()113410131313134
26222
a a a a S ++?====. 故选:B. 17.D 【分析】
由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】
由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()
02
m m m a a S ++++=<. 故选:D. 18.B 【分析】
根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121
()2n n a a n N *++=
∈,则11()2
n n a a n N *+=+∈, 即11
2
n n a a +-=
, 所以数列{}n a 是以1为首项,
1
2
为公差的等差数列, 所以()()11111122
n n a a n d n +=+-=+-?=, 所以2021a =20211
10112
+=. 故选:B 19.D 【分析】
由()
1
1213n n n n S S a n +++=+-+得到()
1
1132n n n a a n ++=-+-,再分n 为奇数和偶数得
到21262k k a a k +=-+-,22165k k a a k -=+-,然后再联立递推逐项判断. 【详解】
因为()1
1213n n n n S S a n +++=+-+,
所以()
1
1132n n n a a n ++=-+-,
所以()212621k k a a k +=-+-,()221652k k a a k -=+-, 联立得:()212133k k a a +-+=, 所以()232134k k a a +++=, 故2321k k a a +-=,
从而15941a a a a ===???=,
22162k k a a k ++=-,222161k k a a k ++=++,
则222121k k a a k ++=-,故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++,
()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++,
()()20
1411820622
k k =+?=-=
=
∑1220,
故①②③正确. 故选:D 20.B 【分析】
利用等差数列的性质进行化简,由此求得9S 的值. 【详解】
由等差数列的性质,可得345675520a a a a a a ++++==,则54a =
19592993622
a a a
S +=
?=?= 故选:B
二、多选题
21.ABC 【分析】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠(),且满足1402n n n a S S n -+=≥(),11
4
a =,可得:1140n n n n S S S S ---+=,化为:
1114n n S S --=,利用等差数列的通项公式可得1n
S ,
n S ,2n ≥时,()()
111144141n n n a S S n n n n -=-=
-=---,进而求出n a . 【详解】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠()
,且满足1402n n n a S S n -+=≥(),11
4
a =, ∴1140n n n n S S S S ---+=,化为:
1
11
4n n S S --=, ∴数列1n S ??
????
是等差数列,公差为4,
∴()1
4414n n n S =+-=,可得14n S n
=, ∴2n ≥时,()()
1111
44141n n n a S S n n n n -=-=
-=---, ∴()1
(1)4
1(2)41n n a n n n ?=??=??-≥-??
,
对选项逐一进行分析可得,A ,B ,C 三个选项错误,D 选项正确. 故选:ABC. 【点睛】
本题考查数列递推式,解题关键是将已知递推式变形为1
11
4n n S S --=,进而求得其它性质,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题 22.ABCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案. 【详解】
对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确;
对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-, 可得:135********a a a a a +++???+=.故1352019a a a a +++???+是斐波那契数列中的第2020项.
对D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2
121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =-
2222
123201920192020a a a a a a +++??????+=,故D 正确;
故选:ABCD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换. 23.BC 【分析】
根据递推公式,得到11n n n
n n a a a +-=-,令1n =,得到121
a a =,可判断A 错,B 正确;
根据求和公式,得到1
n n n
S a +=,求出201920202019S a =,可得C 正确,D 错. 【详解】
由121n n n a n a a n +=+-可知2111
n n n n n a n n n a a a a ++--==+,即11n n n
n n a a a +-=-, 当1n =时,则12
1
a a =
,即得到121a a =,故选项B 正确;1a 无法计算,故A 错; 1221321
111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++??????-=++
+=-+-+
+-=-= ? ? ???????,所以1n n S a n +=,则201920202019S a =,故选项C 正确,选项D 错误. 故选:BC. 【点睛】 方法点睛:
由递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法,形如()1n n a a f n +=+的数列,求通项时,常用累加法求解;
(2)累乘法,形如()1
n n
a f n a +=的数列,求通项时,常用累乘法求解; (3)构造法,形如1
n n a pa q +=+(0p ≠且1p ≠,0q ≠,n ∈+N )的数列,求通
项时,常需要构造成等比数列求解;
(4)已知n a 与n S 的关系求通项时,一般可根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解.
24.ABD 【分析】
根据11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,计算可知,A B 正确;根据12a a =,
342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,累加可知C 不正
确;根据2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,2
33423423()a a a a a a a a =-=-,
244534534()a a a a a a a a =-=-,,2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,
累加可知D 正确. 【详解】
依题意可知,11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,
312112a a a =+=+=,423123a a a =+=+=,534235a a a =+=+=,645358a a a =+=+=,故A 正确; 7565813a a a =+=+=,所以
712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=,故B 正确;
由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,
可得
13572019a a a a a ++++
+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =,
故C 不正确;
2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,2
33423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,
,2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,
所以
2222
2
12342019
a a a a a ++++
+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =,
所以
222
122019
20202019
a a a a a +++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式,考查了累加法,属于中档题. 25.BD 【分析】
根据选项求出数列的前4项,逐一判断即可. 【详解】
解:因为数列{}n a 的前4项为2,0,2,0, 选项A :不符合题设;
选项B :0
1(1)12,a =-+=1
2(1)10,a =-+=
23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=,符合题设;
选项C :,12sin
2,2
a π
==22sin 0,a π==
332sin
22
a π
==-不符合题设;
选项D :1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=
3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=,符合题设.
故选:BD. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的问题,考查了基本运算求解能力,属于基础题. 26.BD 【分析】
利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-,再利用数列的单调性即可得出答案. 【详解】 解:∵2
3
n n n S a +=
, ∴2n ≥时,1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=-, 化为:
112
111
n n a n a n n -+==+--, 由于数列21n ????-??
单调递减,
可得:2n =时,
2
1
n -取得最大值2. ∴1
n n a a -的最大值为3. 故选:BD . 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 27.BCD 【分析】
根据题意写出8a ,6S ,7S ,从而判断A ,B 的正误;写出递推关系,对递推关系进行适当的变形,利用累加法即可判断C ,D 的正误. 【详解】
对A ,821a =,620S =,故A 不正确; 对B ,761333S S =+=,故B 正确;
对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,…,202120222020a a a =-,可得
135********a a a a a +++???+=,故C 正确;
对D ,该数列总有21n n n a a a ++=+,2
121a a a =,则()222312321a a a a a a a a =-=-, ()233423423a a a a a a a a =-=-,…,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,
22019a =2019202020192018a a a a -,220202020202120202019a a a a a =-, 故2222
123202*********a a a a a a +++???+=,故D 正确.
故选:BCD 【点睛】
关键点睛:解答本题的关键是对CD 的判断,即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 28.BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解. 【详解】
根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:
{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;
又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误; 而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>, 又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的. ∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】
本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题. 29.AC 【分析】 由题意可知112222n n n
n a a a H n
-++
+==,即112222n n n a a a n -+++=?,则2
n ≥时,()()1
112
21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?,可求解出1n a n =+,易知{}n a 是等差数
列,则A 正确,然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ,判断C ,D 的正误. 【详解】 解:由112222n n n
n a a a H n
-++
+==,
得112222n n n a a a n -++
+=?,①
所以2n ≥时,()211212212n n n a a a n ---+++=-?,②
得2n ≥时,()()1
112
21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?,
即2n ≥时,1n a n =+,
当1n =时,由①知12a =,满足1n a n =+.
所以数列{}n a 是首项为2,公差为1的等差数列,故A 正确,B 错, 所以()
32
n n n S +=
,所以2020202320202S =,故C 正确.
25S =,414S =,627S =,故D 错,
故选:AC . 【点睛】
本题考查数列的新定义问题,考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解,难度一般. 30.ABCD 【分析】
S 12>0,a 7<0,利用等差数列的求和公式及其性质可得:a 6+a 7>0,a 6>0.再利用a 3=a 1+2d =12,可得24
7
-<d <﹣3.a 1>0.利用S 13=13a 7<0.可得S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ??
?
???
中,n ≤6时,n n S a >0.7≤n ≤12时,n n S a <0.n ≥13时,n n S a >0.进而判断出D 是否正确. 【详解】
∵S 12>0,a 7<0,∴
()
67122
a a +>0,a 1+6d <0.
∴a 6+a 7>0,a 6>0.∴2a 1+11d >0,a 1+5d >0, 又∵a 3=a 1+2d =12,∴24
7
-<d <﹣3.a 1>0. S 13=
()
113132
a a +=13a 7<0.
∴S n <0时,n 的最小值为13. 数列n n S a ??
?
???
中,n ≤6时,n n S a >0,7≤n ≤12时,n n S a <0,n ≥13时,n n S a >0. 对于:7≤n ≤12时,
n
n
S a <0.S n >0,但是随着n 的增大而减小;a n <0, 但是随着n 的增大而减小,可得:
n
n
S a <0,但是随着n 的增大而增大. ∴n =7时,
n
n
S a 取得最小值. 综上可得:ABCD 都正确. 故选:ABCD . 【点评】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.