高中绝对值不等式-精华版-适合高三复习用--可直接打印
绝对值不等式
绝对值不等式||||||a b a b +≤+，
||||||a b a b -≤+
基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5
［变题1］解下列不等式：(1)|
x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x
［思路］利用｜f(x)｜ ?-g(x) f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：(1)原不等式等价于 x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) 解得x > 12 或无解，所以原不等式的解集是{ x |x > 12 } (2)原不等式等价于－3 x <2x －2x －6<3x 即 222 226360 (3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<-- 或 2< x <6 所以原不等式的解集是{x |2 1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234 x x -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3x-4 ① 或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2 故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜ 而x 2-x+2＝(x-1 4 )2 + 74 >0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3 ∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤ 234 x x -≤1 求解，但过程较繁，由于不等式 234 x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2 234 x x -≤1 ?9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ?x 4-17x 2+16≥0 ?x 2≤1或x 2≥16 ?-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4 注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式 ［变题2］解不等式（1）| x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜?f 2(x)〈g 2(x) 两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有： | x －1|2<|x +a |2 即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2 a 当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x > 1 2 (1－ a )； 当2 a +2=0即a =－1时，不等式无解； 当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <1 (1)2 a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5?-2x>6?x<-3. 当-3 ［请你试试4—2］ 1 解关于 x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1) 解析：易知－1 lg(1)lg(1)||||lg lg x x a a -+> ∴ 22 |lg(1)||lg(1)| x x ->+ 于是2 2 lg (1)lg (1)0x x --+> ∴ [lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+> ∴ 2 1lg(1)lg 01x x x -->+ ∵－1< x <1 ∴0<1－2x <1 ∴ lg (1－2x )<0 ∴ 1lg 1x x -+<0 ∴1011x x -< <+ 解得0< x <1 2．不等式|x+3|-|2x-1|< 2x +1的解集为 。 解： |x+3|-|2x-1|=??? ? ? ? ??? -≤-<<-+≥-)3(4) 213(24)21(4x x x x x x ∴当 21 ≥x 时124+<-x x ∴x>2 当-3 21时4x+2<2x +1 ∴7 2 3-<<-x 当3-≤x 时12 4+<-x x ∴3-≤x 综上7 2 - ),2()7 2 ,(+∞?--∞。 3．求不等式13 3 1 log log 13x x +≥-的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组 103x x >???>?-?，解得03x << 又原不等式可化为 ()33log log 31x x +-≥ (1)当 01x <≤时，不等式化为()33log log 31x x -+-≥即 ()33log 3log 3x x -≥ ∴ 33x x -≥ ∴ 34x ≤ 综合前提得：304 x <≤。 (2)当1 ∴ 2 330x x -+≤ x ∴∈?。 (1) 当23x <<时，()333log log 3log 3x x --≥ (2) ∴()33x x ≥- ∴94x ≥，结合前提得：934 x ≤<。 综合得原不等式的解集为390,,344???? ??????? 第3变 解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成 3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3 m +的正负进行讨论。 ［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x 当 3>+m 即 3 ->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或 当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当 03<+m 即3- ［请你试试4—3］ 1．解关于x 的不等式： ()09 22 >≤-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a 进 行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当 ()? ??≤--≥???≤-≥≥0299292 22a ax x a x a a x x a x a x 即时，不等式可转化为 a b x a 17 3+≤≤∴ ? ??≥+- 22a ax x a x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]? ?????+?-∞<≤≤∴a a a a x a a x 6173,323 , (323故不等式的解集为或。 2．关于 x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k 值的不确定，要以k 的不同取值分类处理。 解：原不等式可化为－4≤ kx ≤6 当k >0时，进一步化为46x k k -≤≤，依题意有4 4336 32k k k k ?-=-??=?? ?????==???，此时无解。 当 k =0时，显然不满足题意。 当k <0时，64x k k ≤≤-，依题意有42263k k k ?-=???=-??=-?? 综上， k =－2。 第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 ［变题4］若不等式| x －4|+|3－x | ［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |， 便把问题简化。 ［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。 (2)当a >0时，先求不等式| x －4|+|3－x | 令 x －4=0得x =4，令3－x =0得x =3 ① 当 x ≥4时，原不等式化为x －4+x －3 解不等式组474272x a x x a ≥?+?≤ - a >1 ② 当3 x + x －31 ③ 当x ≤3时，原不等式化为4－x +3－x 解不等式377337222x a a x x a ≤?--?<≤?1 综合①②③可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0 空集。 由(1)(2)知所求 a 取值围是a ≤1 解法二由|x－4|+|3－x|的最小值为1得当a>1时，|x－4|+|3－x| 从而当a≤1时，原不等式解集为空集。 解法三：∵a>| x－4|+|3－x|≥|x－4+3－x|=1 ∴当a>1时，|x－4|+|3－x| 从而当a≤1时，原不等式解集为空集。 ［请你试试4—4］ 1．对任意实数x，若不等式|x+1|－|x－2|> k恒成立，求k的取值围。思维点拨：要使|x+1|－| x－2|>k对任意实数x恒成立，只要|x+1|－|x－2|的最小值大于k。因| x+1|的几何意义为数轴上点x到－1的距离，|x－ 2|的几何意义为数轴上点x到2的距离，|x+1|－|x－2|的几何意义为数轴上点x 到－1与2的距离的差，其最小值可求。 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察 k的取值围。 解法一根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|>k成立 ∵|AB|=3，即|x+1|－|x－2|≥－3 故当k<－3时，原不等式恒成立 解法二令y=|x+1|－|x－2|，则 3,1 21,12 3,2 x y x x x -≤- ? ? =--<< ? ?≥ ? 要使|x+1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可。 温馨提示： 高考题库为Word 版，请按住Ctrl ，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 【考点35】绝对值不等式 2009年考题 1、（2009全国Ⅰ）不等式 1 1 X X +-＜1的解集为（ ）（A ）｛x }}01{1x x x ??? (B){ }01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){ }0x x ? 【解析】选 D.0040)1()1(|1||1|11 1 22 或③12 (21)(2)0 x x x ? ≤? ??--+-解得 又 0,x x <∴不存在; 当1 02 x ≤< 时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又11 0,0;22 x x ≤<∴<< 当1 11 ,211,222 22 x x x x x x ≥-<+<≥∴≤<原不等式可化为解得又 综上,原不等式的解集为|0 2.x x << 7、（2009海南宁夏高考）如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和. （1）将y 表示成x 的函数； （2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值 高中绝对值不等式(精华版)适合高三复 习用可直接打印 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 绝对值不等式 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2 x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜ 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 一．课题：含绝对值的不等式的解法 二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法． 三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次） 不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间 的交、并等各种运算． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． （三）例题分析： 例1．解下列不等式： （1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->． 解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,) (,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x > ，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤- 时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122 x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53 x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞． 例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞； （2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞． 解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <； （2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >． 例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥． 解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或2()2a b x x a b +≤?≤ +②， 典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤ 当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 第三十一讲 含绝对值的不等式 回归课本 1.绝对值不等式的性质：(a ∈R ) (1)|a |≥0(当且仅当a ＝0时取“＝”)； (2)|a |≥±a ； (3)－|a |≤a ≤|a |； (4)|a 2|＝|a |2＝a 2； (5)|ab |＝|a ||b |，|a b |＝|a ||b | . 2．两数和差的绝对值的性质： |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 特别注意此式，它是和差的绝对值与绝对值的和差性质．应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件． |a ＋b |＝|a |＋|b |?ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |?ab ≤0； |a |－|b |＝|a ＋b |?(a ＋b )b ≤0； |a |－|b |＝|a －b |?(a －b )b ≥0. 3．解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下： (1)|f (x )|＜a (a >0)?－a ＜f (x )＜a ； (2)|f (x )|＞a (a ＞0)?f (x )＜－a 或f (x )＞a ； (3)|f (x )|＜g (x )?－g (x )＜f (x )＜g (x )； (4)|f (x )|＞g (x )?f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )； (5)|f (x )|＜|g (x )|?[f (x )]2＜[g (x )]2. (6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 考点陪练 1.设ab >0，下面四个不等式中，正确的是( ) ①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |； ④|a ＋b |>|a |－|b |. 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ???<<-∈2 1x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 高中数学解题思路大全—绝对值不等式解法指 导 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 绝对值不等式解法指导 带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。解绝对值不等式的关键是去绝对值符 号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。 一. 注意绝对值的定义，用公式法 即若a x a ><0，||，则-<>0，||，则x a >或x a <-。 例1. 解不等式||2331x x -<+ 解：由题意知310x +>，原不等式转化为-+<-<+()312331x x x 二. 注意绝对值的非负性，用平方法 题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到 ||x x 22=。 例2. 解不等式||||x x +<+123 两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。 解：原不等式?+<+?+<+?+-+>||||()()()()x x x x x x 1231232310222222 解得x x <->-243 或 故原不等式的解集为{|}x x x <->-243 或 三. 注意分类讨论，用零点分段法 不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。 例3. 解不等式||||x x ++->213 解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x -=10和x +=20得分界点x x ==-12、 于是，可分区间(),[][,)-∞--+∞，，，2211讨论原不等式? 解得x x ><-12或 综上不等式的解为x ∈-∞-?+∞()()，，21 四. 平方法+定义法 有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。 例4. 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+ 解：化为|log ||log |122+<+a a x x 后，通常分log log a a x x <--≤<1212 0，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++。 再由定义去绝对值号，有： （1）log ,(log )log a a a x x x ≥1时，解为a x a -<<3；当01<0，且a ≠1，解不等式|log ()||log ()|a a x x 11->+。 2. 解不等式||||||x x x +--<+112 1 3. 解不等式||||31932x x -+-> 答案：1. 01< 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 第1节绝对值不等式 最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 知识梳理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x| 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.() (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.() (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.() (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.() (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.() 答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√ 2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是() A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5) 解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1 不等式的性质与绝对值不等式 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点：掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法； 教学难点： 理解绝对值不等式的解法 1、基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． 2、几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3、算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为 2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4、利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． 5、若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=” ） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 6、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） () ()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 7、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 不等式的性质及绝对值不等式 1．求不等式|x＋1|＋|2x－1|>4的解集． 2．已知a，b∈R＋，且a3－b3＝a2－b2，求a＋b的取值范围．3．[2013·邯郸一模] 已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x＋2|－a)． (1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域； (2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求a的取值范围． 4．[2013·辽宁卷] 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值； (2)若??? ?f （x ）－2f ????x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 不等式的性质及绝对值不等式 1．[2013·浙大附中月考] 解不等式|log 2x －3|＋|2x －8|≥9. 2．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝????1a －1????1b －1????1c －1，求M 的取值范围． 3．[2013·长春调研] 已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |. 4．[2013·课程标准卷] 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围． 1．(1)x ≤－1时，原不等式可化为－x －1－2x ＋1>4，解得x <－43，此时解为x <－43 ；(2)－1 绝对值不等式 绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b | 基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b| y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5,没有最大值 |y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y| < 5 得-5 < y < 5 即函数的最小值是-5 ,最大值是5 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5 ［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转 化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x) 1 1 解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^} ⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X 即 『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二* [x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 6 2< X<6 所以原不等式的解集是{ X|2< X<6} 2 2I 3x I 1 .解不等式(1 )1 x-x 2- 2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 < 1 解：(1)分析一可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3X-4① 或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)② 解①得：1- - 2 v X<1+ 2 解②得：x>-3 故原不等式解集为{ x | x>-3 } 分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 | 绝对值不等式 1．(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4) D ．(1,5) 解析 当x ≤1时，不等式可化为(1－x )－(5－x )<2，即－4<2，满足题意； 当1 解析 ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |) ≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3， 当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3。 答案 C 4．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________。 解析 当a ≤－1时， f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |＝????? －3x ＋2a －1，x －1， 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝－a －1， 由－a －1＝5得a ＝－6，符合a ≤－1； 当a >－1时， f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a | ＝????? －3x ＋2a －1，x <－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x ≤a ， 3x －2a ＋1，x >a 。 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取最小值f (a )＝a ＋1， 由a ＋1＝5，得a ＝4，符合a >－1。 综上，实数a 的值为－6或4。 答案 －6或4绝对值不等式,高考历年真题
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