数学的产生与发展

第三章 数学的产生与发展

数学是人类最古老的科学知识领域之一，它是研究现实世界中空间形式与数量关系的一门科学，是探索自然、改造自然的有力工具。数学的发展大体上经历了萌芽时期(公元前6世纪前)、常量数学时期（公元前6世纪至16世纪）、变量数学时期（17至18世纪）和现代数学时期（19世纪至今）四个发展阶段。了解数学发展的历程，对于理解数学的研究对象、数学的性质、数学的特点、数学中的哲学思想，了解数学在社会发展中的地位及作用及其整个人类文明史都有积极的意义。

数学分支学科众多，内容浩如烟海，想用三、四万字的篇幅和通俗的语言，比较全面地介绍几千年来的数学发展与成就是非常困难的。本章试图以数学历史上的具有重大作用和意义的理论发现为主线，本着厚今薄古的原则，来阐述数学发展、演变的过程。

3.1 数学的产生与早期发展

数学和其他学科一样，也是人类在认识自然、改造自然、与自然斗争的过程中，由于社会实践的需要而产生，随着科学技术自身的进步而逐步发展起来的。

3.1.1 数学的萌芽阶段

从远古时代起，人类就从长期的生产实践中，逐渐形成了数的概念，从“手指记数”、“石子记数”、“结绳记事”、“刻痕记数”到使用“算筹”进行一些简单运算，产生了关于数的运算方法。由于大地测量和天文观测的需要，引起了几何

学的初步发展。但是，直到公元前6世纪，这些知识还是片断的、零碎的，没有形成具有逻辑关系的理论体系，因而它只是数学的萌芽。这一时期的杰出代表是巴比伦数学、埃及数学、中国数学和印度数学。巴比伦数学及埃及数学在年代上则更为久远。

（一）巴比伦数学

巴比伦文化可以追溯公元前2000年左右的苏美尔文化。在这一时期，人们基于对量的认识，建立了数的概念。从大约公元前1800年开始，巴比伦人已经使用较为系统的以60为基数楔形文字记数体系。在当时，幼发拉底河和低格斯河两河流域地区的人们在湿泥板上刻写楔形文字，后靠太阳将其晒干或烘干。迄今已有50多万块泥板文书出土，大约有300块是数学文献。

巴比伦人擅长计算，创造了许多比较成熟的算法。在出土的泥版中，刻有乘法表、平方根表、倒数表等。巴比伦人已具备较高的解题技巧，能解一些一元二次、多元一次和少数三、四次方程。几何上能求一些面积和体积，并已知半圆内接三角形是直角三角形。在天文学方面，已经有了一系列长期进行研究的记录。

（二）埃及数学

古代数学的另一源头是古埃及文化。在公元2500年以前，古埃及人就用一种所谓的僧侣文在纸莎草（Papyrus ）压制成的草片上来做日常书写。现存的草片有两批，一批保存在莫斯科普希金艺术博物馆，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，因而称戈列尼雪夫草纸书。另一批存于伦敦大英博物馆，1858年因苏格兰收藏家莱因特（H.Rhind ）购得，称之为莱因特草纸书。这两部分草纸书记录的大都是数学问题，莱因特草纸书由85个问题组成，戈列尼雪夫草纸书由25个问题组成。从莱因特草纸书记载的数学问题知道，埃及人很早就发明了象形文字记号。如用 | 表示1，| | 表示2，依次类推；数字10用表示，表示20，I I I 表示40，如此直到90；100又用新的记号表示,200用表示，等等。为了表示

大的数，必须用相应的多个符号。这种符号表示缺乏位置上的意义，也非常麻烦。古埃及人采用以10进制为基础的记数法，但不是10位制。

埃及人的算术主要是加减法，乘除化加减法做。算术最具特色的是分数算法，所有的分数先拆成单位分数（分子为1的分数）再进行加减运算。为了方便运算，他们设计了一个形如

k 2数表（k 为从5到101的奇数），从表中可以很方便地查出拆分方法。例如，52写成151,31，因为那时还没有加法符号；将112写成66

1,61；

将1012写成606

1,3031,2021,1011。例如利用该表可以将297表示成单位分数之和的形式：

2321,871,581,241,61297=。这种繁琐的运算方式在一定程度上阻碍了埃及算术的发展。

古埃及人在几何方面也相当突出，古埃及数学家提出了计算矩形、三角形、梯形面积和立方体、柱体、锥体体积的规则。古埃及人还知道圆面积的计算方法，即直径减去它的九分之一的平方，这相当于取29

28(

×=π，近似为3.1605 ,但他们并没有圆周率的概念。

古埃及人对数学的贡献，归纳起来主要体现在以下几个方面：建立了基本的四则运算法则，并将其推广到分数上；具备了算术级数和几何级数的知识；能处理包括一次方程和某些类型的二次方程的问题；掌握了关于平面图形和立体图形的求积方法。

埃及数学重实用，缺少命题证明的思想，一些计算方法也比较笨拙繁杂，这在一定程度上阻碍了埃及数学的发展。

（三）中国和印度数学

巴比伦和埃及文明建立的过程中，中亚和东方也创造了灿烂的数学文化。自公元前8世纪，印度已经有了丰富的数学知识，如成书于公元前800年左右的《绳法经》，就是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记录。

原始公社末期，中国古人依据数与形的特征，为满足交换的需要，便有了数方面的记载。中国古代文献《周易·系辞下》就有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”之说。出土的甲骨文表明，中国商代就出现了用十进制数字表示大数的方法，秦汉之际，即有了十进位制。与此同时，我国先人已开始以干支记年，即用十个天干，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸与十二个地支，子、丑、壬、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥组成60个不同序号。所有这些都已经说明在数学文化的萌芽时期，中国的数学水平已达到相当高的程度。

萌芽时期的数学是一种多元化的，还只是一些简单思维和初步运用，或者说只是一些就某一件事的死板做法，还没有抽象思维，没有证明、推理、归纳，没有方法论，即还没有具备构成数学科学的框架结构，谈不上一门科学。

3.1.2 常量数学阶段

公元6世纪至16世纪，通常认为是数学形成的时期，数学科学完成了以常量为主要内容的框架体系。这一时期，古希腊数学家、中国数学家作出了突出贡献。

(一)古希腊数学的先驱

在古希腊论证数学发展史上，泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前624～前547年）被称为第一个几何学家，他确立和证实了为人们公认的第一批几何定理：

1、圆为它的任一直径所平分；

2、半圆的圆周角是直角；

3、等腰三角形两底角相等；

4、相似三角形的各对应边成比例；

5、若两三角形两角和一边对应相等则三角形全等。

古希腊论证数学的另一位先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前584～前497年）及其学派。在毕达哥拉斯之前，人们并没有清楚认识到几何的证明是要有假设的，几何学所取得的一些结构，大都靠经验得出。至于它们之间的关系，包括相互之间、规律与规律的交互作用等，都未有过说明。是毕达哥拉斯在发展几何的过程中率先制定“公设”或“公理”，然后再经过严格的推导、演绎来进行，把证明引入数学是毕达哥拉斯伟大功绩之一。

毕达哥拉斯的第二个贡献是提出抽象。他把抽象运用到数学上，认为数学上的数、图形都是思维的抽象，已不是实际生活中的数与形。如几何物体，正是舍弃了诸如密度、颜色、重量，唯一所考虑的只是它的空间分布形式。抽象引发了几何的思辨，从实物的数与形，抽象到数学上的数与形。

毕达哥拉斯学派特别重视数学。他们认为“万物皆数”，数是世界的本原，由数依此产生点、线、面、体和水、土、火、气四元素，最后形成世界。他们所指的数仅指整数，分数被看作是两个整数之比，数1生成所有的数。认为自然界中的一切都服从于一定的比例数，天体的运动受数学关系的支配，形成天体的和谐。这种数学审美观念为近代精确科学的产生奠定了基础。

后来无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条。这是数学史上出现的第一次危机，这次危机引发了数学上的思想解放，为此作出努力的是柏拉图的学生天文学家欧多克索斯（Eudoxus,约公元前400年～前347年）。他为解释无理数的问题，采用了“比例理论”，这其中就隐含了极限的思想。对后来的欧几里得几何学的产生起到了积极作用。

古希腊的智者（Sophist）学派试图用圆规和直尺解决三大几何作图难题，在很长的时间内吸引了许多数学家。对这三大难题的研究虽然都得不到实际结果，但对当时数学理论的发展起到很大的推动作用。

柏拉图（Plato，约公元前427～前347年）学派认为数学是认识“理念世界”的工具，因此他们特别重视数学的证明方法，竭力主张学习和研究数学。在柏拉图的哲学著作中包含着许多数学内容，将数学理性化的数学哲学思想是其重要方面。柏拉图学派对数学演绎方法的建立和完善作出了重要贡献。公元前4世纪时，希腊几乎所有重要的数学研究都是柏拉图学派作出的。

柏拉图在毕达哥拉斯学派提出的数学概念抽象化的观点基础上，从哲学的角度去探讨数学概念的涵义。他严格地把普遍的、抽象的数学概念同个别的、具体的事物区别开来，这在一定程度上反映了数学及其研究对象的特征，为人们深入到感性直观无法达到的领域，发挥数学抽象思维的能动作用创造了条件，推动了数学的科学化。

柏拉图强调数学研究的演绎证明。他认为数学应追求真理性的知识，而归纳以及根据经验作出的一般结论只能给出可能正确的知识，演绎法在前提正确的条件下则能得到绝对正确的结果。柏拉图的这一思想，成为后来公理化方法的发端，对欧几里得几何的公理化演绎体系和推进古希腊数学的发展具有重要意义。

(二)古希腊数学的标志

古希腊数学的黄金时代是亚历山大学派开创的。欧几里得、阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，大约公元前262～前190年）和阿基米德为古希腊数学作出了重大贡献。

欧几里得在古代丰富的数学知识和数学思想方法的基础上，对客观世界的空间关系进行了高度的抽象，形成不朽的数学著作《原本》（Elements）。

“原本”的希腊文意指一学科中具有广泛应用的最重要定理。全书共13卷，包括5条公理、5条公119个定义和465个命题。在书中，欧几里得首先严格定义了点、线、面、圆等23个基本概念。然后在这个基础上给出了几何学理论上不证自明的5条公理和5条公设。它们是：

定义

（1）点是没有部分的那种东西。

（2）线是没有宽度的长度。

（3）一线的两端是点。

（4）直线是同其中各点看齐的线。

（5）面是只有长度和宽度的那种东西。

（6）面的边缘是线。

（7）平面是与其上直线看齐的那种面。

（15）圆是包含在一(曲)线里的那种平面图形，使从其内某一点连到该线的

所有直线都彼此相等。

（16）于是那个点便叫圆的中心(简称圆心)。

（17）圆的一直径是通过圆心且两端终于圆周[没有明确定义]的任一直线，而且这样的直线也把圆平分。

（23）平行直线是这样的一些直线，它们在同一平面内，而且往两个方向无限延长后在两个方向上都不会相交。

公设

（1）从任一点到任一点作直线(是可能的)。

（2）把有限直线不断循直线延长(是可能的)。

（3）以任一点为中心和任一距离(为半径)作一圆(是可能的)。

（4）所有直角彼此相等。

（5）若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

公理

（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。

（2）等量加等量，总量仍相等。

（3）等量减等量，余量仍相等。

（4）彼此重合的东西是相等的。

（5）整体大于部分。

欧几里得从这些基本定义、公理和公设出发，循序渐进、有条不紊地推演出465个命题，构成了一个较为完整的逻辑演绎体系。这种建立知识体系的公理化逻辑方法，对于整个科学和哲学都具有极为重要的方法论意义。

欧几里得《原本》是古希腊数学的集大成者，它充分发挥了希腊哲学的优势，借助演绎推理，展现给人们一个完整的典范的学科体系，奠定了几何学的基础并成为后来数学领域2000年间的经典教科书。对后世数学的发展起到了极大的推动作用。

古希腊另一数学家——阿波罗尼奥斯也为古希腊数学的贡献在几何学和天文学。他最重要的数学成就是创立了圆锥曲线理论。他的《圆锥曲线论》是一部集大成的书。阿波罗尼奥斯在前人的基础上做了大量去粗取精，批判继承的工作，同时又提出许多创新的独到见解，从框架结构、内容上都给人以耳目一新。他证明了三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并由此给出了抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。在书中，创造性地以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂点作为纵标，明显看出了坐标制思想的端倪。

古希腊另一位被人们誉为与牛顿、高斯并列的三个有史以来最伟大的数学家是阿基米德。阿基米德的发明涉及范围非常广泛，他所有的著作都以精确和严谨著称，成为数学论文的里程碑。

在数学方面，阿基米德的主要贡献是关于面积和体积计算的工作。阿基米德着重研究了一些形状比较复杂的面积和体积的计算方法，如球体面积、体积与其外切圆柱的面积、体积之比；求抛物线所围面积和弓型面积的方法；求螺线所围面积的方法等。他应用穷竭法解决了许多求面积和体积的难题。在计算螺线所围面积时所用的方法已非常接近微积分的方法了，可惜他缺乏关于极限的的概念。 在研究方法上阿基米德既继承和发扬了古希腊研究抽象数学的科学方法，又使数学的研究与实际应用联系起来，把计算技巧与严格的逻辑证明相结合。这对后世数学的发展具有深远的影响。

大约在10个世纪的时间里，希腊人不仅发展了初等几何，并把它逐渐形成一个完整的体系。在这期间他们又研究了圆锥曲线，证明了一些属影射几何的定理。在几何方面已接近“高等数学”，在计算面积时已接近微积分，圆锥曲线的研究也接近解析几何。在算术方面奠定了数论的基础，发现了无理数。

希腊人借助猜想，以严格的演绎推理，创造了我们今天看来仍不失其现实意义的数学。他们重视抽象，不太考虑具体实际。比如选择一些富有想象力且又易为人们所接受的定义、公设、公理，通过典型证明推广到一般，大大推进了数学科学的结构完善和学科发展。

希腊人的数学追求源于他们对自然的探索和追求，他们深深懂得数学是了解宇宙的钥匙，数学规律是宇宙布局的精髓。所以，对数学的接受实际上也是对世俗、对神话的抛弃。

但“万物皆数”的观念也困扰希腊数学的进一步发展。他们无法理解掌握无理数。恰恰是由于对无理数的遗憾，自然也就无法领略到无穷的内容和奥妙，使得希腊人与极限的发现失之交臂。

（三）中世纪的中国数学

希腊数学随着希腊文明的衰微而在整个中世纪的欧洲日渐湮灭。与此同时，中国、印度、阿拉伯的数学取得了重要发展。与希腊数学相比，整个东方数学明显特点是重视算法的概括，并创造了许多较实用的算法。

大约公元前4世纪，中国筹算已得到普遍应用。《墨经》中有许多记载。《墨经》中还讨论了某些形式逻辑的法则，提出了一系列数学概念的抽象定义。公元4世纪的《孙子算经》中对筹算作了较详细的介绍，其中记录的筹算记数法则说到“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵。千十相望，万百相当”。公元前

335年，中国的筹算计数已经采用严格的十进位制，从现存的公元前3世纪的刀币上可看到这种算法。

大约成书于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》（作者不详），是中国流传至今最早的算学著作。主要数学成就是分数运算、勾股定理、勾股测量等数学问题及其在天文、生产中的应用。书中所涉及到的知识，有的可以追溯到西周时代（公元前11世纪至前8世纪）。其中关于勾股定理的论述最为突出。

成书于公元l 世纪的《九章算术》可以说是我国自战国、秦、汉以来数学文化的集大成，也可以说是东方的《几何原本》。《九章算术》采用问题集的形式，全书选录了246个数学问题，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个部分，涉及到算术、初等代数、初等几何等多方面内容，其中关于多元一次方程组的解法，关于正负数以及某些体积的计算在世界上都是最早的。它对我国数学发展的影响，就好象欧几里得《原本》对西方数学的影响那样深远。

公元3 世纪魏晋时期，作为中国数学史上最早对数学定理和公式证明的赵爽和刘徽等人都作出了重要贡献。赵爽最先给出了勾股定理及其许多推论的证明。刘徽（公元3世纪）数学成就中最为突出的是“割圆术”和面积、体积理论。公元3世纪，刘徽作《九章算术注》，不仅从理论上论证了《九章算术》的大部分算法，而且还创立了“割圆术”，指出圆周长等于边数无限增加的圆内多边形边长之和。刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径为1，一直计算到192边形，得出了圆周率的近似值14.3≈π，化成分数为50

157，即为有名的“徽率”。 刘徽还倾力于面积与体积公式的推证，并取得了很大成就。刘徽的面积、体积理论建立在“出入相补”的原理之上：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。在平面情形，刘徽利用这条原理成功地证明了《九章算术》中许多面积公式。在推证一些体积公式时，刘徽灵活地使用了极限方法和不可分量方法，表现出惊人的智慧。

公元5世纪南北朝时期，祖冲之（公元429～500年）父子大大推进了刘徽的数学思想和方法。应用割圆术继续推进，得圆周率为 3.1415926＜π＜

3.1415927，这在当时是世界上最准确的π值，在世界上领先了一千多年。他还给出了两个分数形式的近似值：一个是密率113355，一个是约率7

22。实际上，这个约率和密率已涉及到用有理数去最佳逼近实数的问题。祖冲之的代表性数学著作是《辍术》，但未能流传于世。

公元656年，唐朝的李淳风（约公元604～672）受唐高宗之命负责注疏整理十部数学著作，编撰出版了“十部算经”，成为当时国学的标准数学教科书。这十部算经分别是《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《张邱建算经》，《夏侯阳算经》，《五曹算经》，《五经算术》，《辍术》，《辑古算经》。尔后几百年间，一批重要数学书籍相继出版，在许多领域都达到很高水准。

我国宋元时期，经济的繁荣、手工业的兴盛，推动了技术的进步，数学也得到较大的发展。这一时期涌现出的数学上“宋元四大家”（杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰），为数学发展作出了重要贡献。宋元数学的最高成就是宋元算术。

北宋贾宪的“增乘开平方法”、“增乘开立方法”，已经发现了二项式系数，创造了增乘开方法，这一方法与现代通用的“霍纳算法”（1819年）基本一致，这一成果比“巴斯卡三角形”（1654年）早了600年。刘益把贾宪的增乘开方法又推广到高次方程。后来秦九韶（大约公元1202～1261）在《数书九章》中，将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形，总结发展出高次方程数值解法。秦九韶《数书九章》包含的次数最高的是10 次方程。这一贡献在世界数学史上占有重要地位。

沈括（1031～1095）在《梦溪笔谈》中提出的高次等差级数求和，李冶（1192～1279）在《测圆海镜》和《益古演段》两部著作中提出的“天元术”解高次方程法，朱世杰（公元1300年前后）在《四元玉鉴》中提出的高次内插法和多元高次联立方程组与消元法，杨辉的纵横图，以及小数的运用等，都构成了中国古代数学的丰富内容。

元末以后，朱世杰“四元术”、李冶“天元术”等宋元数学的精粹失传，无人通晓，中国传统数学走向衰落，这与腐朽的封建制度和中国传统数学自身的弱点有很大关系。

（四）印度数学

数学形成时期的中亚和东方同样积累了灿烂的文明成果。在古印度，大约在公元前3世纪，已经出现了数的记载。

印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典《吠陀》之中。吠陀即梵文veda，原意为知识、光明。《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等。目前流传下来的有7种，关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》，即《绳法经》，大约完成于公元前8世纪至2世纪。《绳法经》中所含的法则规定了祭坛形状和尺寸所应满足的条件。《绳法经》里使用了圆周率的近似值π=3.0883，此外还用到π=3.004和

π=2)98

(4=3.16049。给出了34

4314313112××?×++==1.414215686。由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程的问题，印度人用算术方法给出了求解公式。

印度人发明了现代记数法。对无理数，印度人没有像希腊人那样谨慎，他们不太顾及或者甚至就没看出无理数概念上所涉及的逻辑问题，忽视了哲学上的区别，把有理数的运算步骤也运用到无理数上。

到公元3世纪前后，出现了十进制数学符号。开始用圆点表示0，后来演变为用圆圈表示0，是印度数学的一大发明。我们通常使用的0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这些数字，是印度人最先使用的符号和记数法。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，而后有通过阿拉伯人传至欧洲。其次，印度人还有了分数的表述法，把分子分母上下放置，但中间没有横线，后来是阿拉伯人加入了一条线，成为今天分数的一般表示方法。

此外，古印度数学家阿利雅巴达(Aryabhata Ⅰ约476～550年)在他的天文数学著作《阿利雅巴达历数书》中提出了求解一次不定方程的方法，并且对希腊三角学进行了改进，把圆周率定为3.1416。古印度另一位富有成就的数学家和天文学家是跋斯迦罗(Bhaskara Ⅱ,约1114～1118年)，两本著作《莉拉沃蒂》（以他女儿的名字命名）和《算法本源》被公认为代表了印度古代数学的最高成就。《莉拉沃蒂》的内容主要叙述了整数、分数运算的法则技巧；数列的计算；平面图形和立体的度量计算。《算法本源》则主要是算术和代数著作，其中有0的运算法则的完整论述，特别是提出一数除0等于一个无穷量，他还讨论了无理数的运算规则和开平方的问题，认为负数没有平方根。然而，从整体来说，印度的数学基本上是运算，演绎证明则不充分。

（五）阿拉伯数学

阿拉伯数学是指8至15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学。在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播古希腊、印度和中国文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。

阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面。花拉子密（Mohammed ibn M-ūs ā al-Khw ār izm ī约783～850年）是对欧洲数学影响最大的数学家。花拉子密原名伊本·穆萨，出生于波斯北部的花拉子密城（今乌兹别克斯坦境内），后来人们为纪念他在数学和天文学上的成就，就用他的出生地称呼他。花拉子密先是从事天文学观测工作，后来整理印度数学。花拉子密在《还原与对消计算概要》一书中记述了800多个代数学问题，首次提出了“al-jabr ”（阿拉伯语意为还原），传入欧洲后，到14世纪演变为拉丁语“algebra ”，就成了现在英文“Algebra ”(代

数)的名称。书中论述了一次和二次方程的求解法，认识到二次方程式有两个根。这部著作在十二世纪被译成拉丁文传入欧洲，直到十六世纪是欧洲各大学的主要数学教科书。阿拉伯数学家还在10—11世纪发明了求四次根、五次根的方法。

由于天文计算的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，三角学在阿拉伯人的研究和努力而成发展为独立学科。对三角学加以系统化的工作是由9世纪的天文学家阿尔-巴塔尼(Al-Batt ān ī，约858～929年)作出的。其天文著作《星的科学》被翻译成拉丁文后，在欧洲广为流传。哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了他的研究成果。在他的著作中巴塔尼创立了系统的三角术语，如正弦、余弦、正切、余切等。他发现了一系列三角函数关系式。他还研究了球面三角，得出了球面三角的余弦定理，即：

A c b c b a cos sin sin cos cos cos += 天文学家艾卜勒外法（abu-al-Waf ā, 940～977年）最早引入正割函数和余割函数，并得出三角学的一些重要公式：

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± αα

cos 12sin 22?= 2cos 2sin 2sin α

α

α=

阿拉伯人在几何学方面的工作主要是对希腊几何学的翻译与保存，并传给了欧洲。

由上可见，从经验知识到理论知识，从感性知识到理性知识，由零散材料到系统的知识加工等，是这一时期的数学区别于萌芽时期数学的主要特征。大约到16世纪，除解析几何外，包括初等几何、算术、初等代数、三角学等为内容的初等数学(即常量数学)就已大体上完备了。

3.2 近代数学的发展

17～18世纪，在经历了科学革命的高潮之后，生产力的提高，推动了科学技术的进步，各门学科都取得了不同程度的发展。由于实践的需要，人们开始研究运动着的物体和变化着的现象，这就迫切需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。这是数学发展史上的一个重要转折。

3.2.1 近代数学的建立

近代数学建立的主要标志是笛卡尔(R.Descartes, 1596～1650年)和费尔马（P.de Fermat ，1601～1665年）创立了解析几何，牛顿和莱布尼茨(G.W.Leibniz, 1646～1716年)发明了微积分，耐普尔（J.Napier ，1550～1617年）制定了对数，以及概率论的创立。

(一)解析几何的创立

解析几何是数学中的最基本的学科之一，也是科学技术中的最基本的数学工具。解析几何的产生和发展，曾在数学的发展过程中起着非常重要的作用。

在解析几何诞生以前，几何学和代数学是作为两种不同的数学分别加以研究的。几何学研究物体的形状，代数学则着重研究事物的数量关系。这两个数学分支各有特点：几何学比较形象直观，但要求有较高的技巧，即每解一道难题，差不多都有其巧妙的方法，不容易掌握；代数学运用严格的逻辑推理，有一定之规，但其表达形式不大直观。

17世纪初，生产力的发展和科学技术的进步，给数学不断提出新的问题，要求数学从运动、变化的观点去研究和解决一些实践与理论问题。比如，在变速运动中，应如何解决速度、路程和时间的变化问题，如何用数学语言描述和研究物体运动变化的过程，怎样用数学语言阐述抛射体的运动规律，等等。所有这些只用初等数学的方法显然是无能为力的，因此，研究和解决这些新的对象和实际问题，必须突破以往研究常量数学的范围和方法，用代数的方法加以求解就可以化繁为简。

解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对之间建立一一对应的关系。每一对实数都对应于平面上的一个点；反之，每一个点都对应于它的坐标。以此方式可以将一个代数方程),(y x ),(y x ),(y x 0),(=y x f 与平面上一条曲线对应起来，几何问题便归结为代数问题。

解析几何的发明归功于法国两位伟大的数学家笛卡尔和费尔马，他们工作的出发点不同，但却殊途同归。

笛卡尔在1637年出版的哲学著作《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》一书的附录《几何学》中，比较全面地叙述了解析几何的基本思想和主要观点，并创造了一种新的方法，即引进坐标，首先建立了点与数组的一一对应关系，任何曲线均可看成是动点的轨迹，可以用代数方程来描述，这就开创了从运动中来考察曲线图形的道路，使运动和变化进入了数学，从而扩大了数学的领域。笛

卡尔的《几何学》奠定了解析几何的基础。恩格斯曾指出：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分立刻成为必要......”（恩格斯《自然辩证法》，人民出版社，1971年版，第236页）。

在这之前，费尔马已发现了解析几何的基本原理，并写了《平面和立体的轨迹引论》（1629年）一书，但这本书在他去世后很久才公开出版。费尔马在书中阐述了解析几何的基本原理，提出，凡是含有两个未知数的方程，就总能确定一个轨迹，而且根据方程，便能描绘出曲线。费尔马在书中还提出并使用坐标的概念。

笛卡尔和费尔马之间在优先权问题上发生过摩擦。其实，他们是各自独立地创立了解析几何，他们的出发点和方法也不相同。

费尔马着眼于继承古希腊传统，认为他自己的工作只是把阿波罗尼奥斯的结果直接翻译成代数的形式，笛卡尔则批判了古希腊传统，他知道他是在革新古代的方法，他看出代数方法高出古希腊人的几何方法。费尔马强调轨迹的方程，笛卡尔则强调几何作图。

解析几何的出现，生动地体现了自然事物的形状和数量是相互联系的。这种把一个科学分支引进另一个科学分支的“科学杂交法”，对后来自然科学的发展有很大影响，现代许多边缘科学的出现，就是广泛地运用了这种方法的结果。

从解析几何的产生到现在，经历了一个漫长的过程。我们一般提及的解析几何仍然是经典解析几何的范畴，所用的方法除了坐标法外，还引入了向量法，通过向量的运算来讨论曲线或曲面的一些几何性质，这对问题的讨论带来极大方便。但受研究方法的限制，对所研究的内容还是有很大的局限性，一般仅限于二维空间的曲线，或作为两曲面相交的交线(曲线)。而对二次曲线以及三维空间里的曲线或曲面的研究多局限于一些简单的性质。

(二)微积分的创立

解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量以近了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立奠定了基础。微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念及其应用，建立在实数、函数和极限基础之上的数学分支，由微分学和积分学组成。

欧洲文艺复兴运动以后，资本主义经济开始发展，到了16世纪，由于生产、贸易和军事上的需要，尤其是天文学、力学及某些技术科学向数学提出了以下基本问题：（1）对非匀速直线运动的物体，求任意时刻的速度、加速度、移动距离等。（2）求已知曲线的切线。（3）求已知函数的极大值、极小值。（4）求曲线的

长度。由此，人们开始在数学中研究各种变化过程、变化过程中变化着的量(变量)与其他量之间的依赖关系，这为数学从常量数学走向变量数学提供了重要的应用背景，人们也正是在力图解决这些问题的努力中创立了微积分学。法国数学家笛卡尔、费尔马、英国数学家巴罗（I.Barrow ，1630～1677年）、罗伯佛尔（G.P.de.Roberbal ,1602～1675年）、意大利数学家卡瓦列利（B.Cavalieri ，1598～1647年）等都为建立微积分作出了自己的贡献。如在求曲线的切线问题上，笛卡尔和费尔马都把切线当作割线与曲线相交的两点无限接近的极限情况；罗伯佛尔把切线方向看作描写此曲线运动的点在该处的运动方向；巴罗在解决上述问题时，使用了微分三角形方法，并提出无限小量的概念；卡瓦列利提出以无限多个“不可分量”（点、线、面）的求和，实现线、面、体的计算。这些都为微积分的发明奠定了基础。

为微积分的建立作出突出贡献的是英国科学家牛顿和德国数学家、哲学家莱布尼茨（G.W.Leibniz ，1646～1716年）。

牛顿在17世纪60年代就开始研究微积分问题，当他阅读笛卡尔《几何学》时，对笛卡尔求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。1965年夏至1667年春，牛顿在乡下躲避瘟疫期间，继续探讨微积分问题并取得了突破性进展。1666年10月写成手稿《流数简论》，当时没发表而是在同事中传阅。《流数简论》在许多方面还不成熟，牛顿对其进行完善、改进，先后写成了三篇有关微积分方面的论文，它们分别是（1）《运用无限多项方程的分析》（简称《分析学》，完成于1669年）；（2）《流数法与无穷级数》（简称《流数法》，完成于1671年）；（3）《曲线求积术》（简称《求积术》，完成于1691年）。其《曲线求积术》在1704年出版的《光学》一书的附录中披露，《分析学》发表于1771年，而《流数法》于牛顿去世后的1736年正式发表。牛顿积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学著作《自然哲学的数学原理》之中。牛顿称他的方法为“流数术”，基本思想是把数学中量的变化比喻成连续运动发生的，是流动的，生长中的量叫流量（y x ,），生

长率叫流数（）。如果两个流量按特定相互制约的关系发生变化，那么，它们

在一瞬间的生长率之比（）是可以求解的。如这时表示距离，x 表示时间，则（）在物理学上的意义就是瞬时速度。求解流数之比的方法就叫微分。反过来，知道包含流数间的关系的方程，也可以求流量的关系，叫积分。

y x &&,x y

&&/y x y

&&/莱布尼茨主要是通过研究曲线的切线和面积问题建立微积分的。与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考。他的第一篇关于微分学的论文《一种求极大极小值和求切线的新方法》（简称《新方法》）于1684年在德国《博物学报》上发表。这是数学史上最早的有关微积分的文章，

比牛顿的《自然哲学的数学原理》早3年。他在《新方法》中提出了关于微分、积分、函数等概念和运算规则，得出了函数和、差、积、商、乘幂的微分公式。1686年，他又在相同的杂志上发表了更详细的积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，进一步论述积分与微分问题的互逆关系。在这篇论文中莱布尼茨首次提出了微分、积分符号、、dx dy ∫ydx ，并获得普遍接受一直沿用至今。

莱布尼茨论文的发表引起了关于微积分发明权的议论。起初双方当事人并不在意，他们都承认各自独立发明了微积分。牛顿称自己发明时间是1665～1666年，莱布尼茨称自己的发明时间为1674年。但后来，在局外人的挑动下，英国人越来越激动，他们指责莱布尼茨剽窃。莱布尼茨只好于1714年写了《微分学的历史和起源》一文，陈述他发明微积分的历史背景。争论在双方的追随者之间越演越烈，直到牛顿和莱布尼茨都去世后，才逐渐平息并得到解决。经过对莱布尼茨手稿的分析，证实两人各自独立完成了微积分的发明。就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨则先于牛顿。这场争论的后果使18世纪的英国与欧洲大陆之间的数学交流中断，也使英国数学的发展受到严重影响。他们固守牛顿的流数法，拒不接受莱布尼茨先进的符号体系，英国数学自牛顿以来明显落后。

其实，牛顿和莱布尼茨各自用不同的体系和方法独立完成了微积分的建立工作。牛顿是把、的无穷小增量作为求流数或导数的手段，当增量越来越大时，流数实际上就是增量的比的极限。而莱布尼茨则是直接运用了和的无穷小增量求出它们之间的关系。牛顿作为物理学家，很自然地从物理的方面来作为问题的切入点，从运动学的观点出发，速度是中心概念；而莱布尼茨作为哲学家，很自然地要着眼于哲学的方向，着眼于物质的最终微粒的命运，因此，更易于从几何与形的方面去考虑。牛顿更易于从变化率出发，去解决面积或体积的问题；而莱布尼茨首先想到的是和。牛顿自由地用级数表示函数，而莱布尼茨宁愿用有限的形式。牛顿的工作是经验的、具体且谨慎的，莱布尼茨是富于想象的、大胆的。但无论是牛顿还是莱布尼茨，在他们的工作中，还有许多需要完善的地方。如牛顿在他的微积分中使用了无穷小增量的概念，但是在理论上却未给予明确的固定和严格的数学证明，因此理所当然地引起了各种怀疑和非难，导致100多年关于微积分基础的争论。

x y x y 直到19世纪，经过法国数学家柯西（A.L.Cauchy, 1789～1857年）和德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierstrass, 1815～1897年）等人的工作，才通过极限理论给微积分奠定了严格的基础。

(三)对数的制定

制定对数的直接目的，是为了简化天文和航海提出的大量繁杂的计算。它的价值在于化乘除为加减，化乘方开方为简便的乘法，使计算大为简化。对数的发明走过一段漫长的道路。

早在1544年，德国数学家施蒂费尔(M.Stifel ，约1487～1567年)在他的《整数算术》中指出，几何数列和算术数列之间存在着某种对应关系，如：

几何数列：1， ......

4

32,,,r r r r 算术数列：0，1，2，3，4 ......

几何数列中两项相乘或相除，其指数等于算术数列中对应的两项相加或相减。这种联系启示了对数的产生。

英国数学家耐普尔(J.Napier, 1550～1617年)从求解平面三角和球面三角问题时得到启发而发明了对数方法。1614年，耐普尔发表了《关于对数的奇异规则的说明》一书，阐述了对数方法。这项工作他研究了20年才获得成功。

耐普尔解释对数是依赖于运动学的方式(如图3-17)。他考察一个点P 沿着一条有限长直线AB 运动，另一点Q 假设沿着一条无限长直线CD 运动，两个质点开始时的速度相同，Q 点并保持这一速度不变，而P 点速度在每一点P 1上正比于剩余距离P 1B 。如果P 位于P 1点，Q 位于Q 1点，则CQ 1便是P 1B 的对数。

在没有任何今天的对数级数的情况下，耐普尔不得不这样来求得每个对数的近似值。

耐普尔对数概念 与耐普尔同时独立制定对数的还有瑞士钟表技师和力学家布尔格（J.B ürgi, 1552～1632年），花了8年工夫搞成了一个反对数表，1620年他发表了著作《算术与几何级数》。他制定的对数表，接近于现在的自然对数表，而不是常用对数表，这是因为以10作底直接制定对数表是很困难的。从历史上看，是先有自然对数表，而后用换底公式制定出了常用对数表。

后来，英国人布里格斯（H.Briggs ，1561～1631年）与耐普尔合作，把对数发展为以10为底的常用对数，并且给出了1～2000和90000～1000000的14位常用对数表。荷兰数学家佛拉奇（A.Vlag ）在1628年对之作了增补，把2000～90000之间的14位对数补齐。由于对数在计算方面的简便，很快得到推广应用。

(四)概率论的诞生

概率是随机事件出现可能性的量度，它是概率论最基本的概念，概率论则是研究随机现象数量规律的数学分支。产生于17世纪中叶。

概率论所研究的随机现象是指这样的客观现象，当人们观察它时，所得的结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种。在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。比如，掷一枚硬币，正面或反面都可能出现；测量某一物体的长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果都可能存在差异；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命也是参差不齐、长短不一，等等。这些就是概率论所讨论的随机现象。研究随机过程的统计特性、计算与过程有关的某些事件的概率等，是概率论主要的研究课题。

古典概率论起源于赌博中的一些问题。16世纪，意大利的一些学者开始研究赌博中的一些简单概率问题。17世纪中叶，法国数学家帕斯卡、费尔马以及荷兰数学家惠更斯等人基于排列组合的方法，探讨了一些组合概率方面的问题。1654年惠更斯发表了《论赌博中的计算》是最早的概率论著作。一般认为，概率论作为一门独立数学的分支，其真正的奠基人是雅各布·伯努利，他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A 发生的概率为常数且等于p ，那么对0>?ε以及充分大的试验次数，有n ηε?>

m P （η为任意小正数），其中为次试验中事件A 出现的次数。伯努利定理刻画了大量经验观测中呈现的稳定性。

m n 在伯努利之后，棣莫弗(A.de Moivre ，1667～1754年)、拉普拉斯、高斯和泊松对概率论作出了进一步的贡献。其中棣莫弗和高斯各自独立引进了正态分布；泊松提出了泊松大数定理。1812年，拉普拉斯出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零碎的结果系统化。拉普拉斯的著作实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。

19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫（1821～1894年）在1866年建立了关于随机变量序列的大数定理，还将棣莫弗—拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理。切比雪夫的研究成果后被他的学生马尔可夫（A.A.Mарков，1856～1922年）等发扬光大，影响了20

世纪概率论发展的进程。

概率论作为数理统计学的理论基础，在进入其它科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济稳定增长等问题上有着广阔的应用前景。在高能物理学、化学(分子动力学)、生物数学以及微电子技术等学科领域都存在有概率及概率论的应用。概率论进入科学领域的趋势还在不断发展，正如拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”

3.2.2近代数学的进一步发展

在18世纪，微积分及其与天文学、力学、几何学等结合，获得了长足发展，形成了微分方程、变分法、微分几何、解析力学等一些新的分支。

(一)微积分的发展

从17世纪到18世纪，瑞士数学家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654～1705年）和约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667～1748年）兄弟为微积分的推广做了许多工作。这两位兄弟来自历史上最伟大的数学家族——瑞士巴塞尔的伯努利家族。伯努利家族在17、18世纪先后产生了十多位著名的数学家，雅各布和约翰是其中最有影响的两位。他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。

为18世纪微积分发展作出突出贡献的是瑞士数学家欧拉（L.Euler，1707～1783年）。

欧拉诞生在瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，他13岁进入巴塞尔大学学习数学，成绩优秀。17岁时成为这所大学有时以来最年轻的硕士。18岁开始发表论文，19岁时写的论船桅的论文获巴黎科学院奖金。由于劳累过度，生活条件不良，欧拉28岁时右眼失明。56岁左眼也失明。之后的17年，他通过与助手们的讨论、口授等方式，完成了大量科学论文和著作，直至生命最后一息。

欧拉不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域。他又是一个无与伦比的多产作者，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本。其中，《无穷小分析引论》、《微分原理》、《积分学原理》成为数学中的经典著作。除了教科书外，他几乎以每年800页的速度写出创造性论文，他的全集有74卷之多。欧拉的最大功绩是扩展了微积分的领域，为分析学的一些重要分支(如无穷级数、微分方程)与微分几何的产生和发展奠定了基础。18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程这门学科。

除了伯努利兄弟和欧拉，法国学派也为18世纪微积分的发展及应用作出了卓越贡献。其中较著名的是拉格朗日（https://www.360docs.net/doc/8b542912.html,grange，1736～1813年），他在方程

论方面作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他在关于方程求解条件的研究中已蕴含群论的萌芽，成为伽罗华建立群论的先导。

在数论方面，拉格朗日也显示出超人的非凡才能。他对费尔马提出的许多问题作出了解答。其研究成果大大丰富了数论的内容。

他的《解析函数论》，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试。他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量。他用幂级数表示函数的处理方法，对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。百余年来，数学领域的许多新成就都可直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。

(二)微积分的应用与新分支的形成

1.常微分方程

常微分方程是伴随微积分一起发展起来的，牛顿和莱布尼茨的著作中都涉及到与常微分方程有关的问题。从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程。如1690年由雅各布·伯努利提出的悬链线问题：求一根柔软但不能伸长的绳子自由悬挂于两定点而形成的曲线。一年后，莱布尼茨、惠更斯和约翰·伯努利分别发表了自己的解答。其中约翰·伯努利通过建立悬链线方程c s dx dy =，解出了曲线c y =cosh c

x 。 莱布尼茨在1691年已用分离变量法解出了形如)()(y g x f dy

dx y =的方程。1696年，他又用变量替换将雅各布·伯努利方程n y z ?=1n y x q y x p dx

dy )()(+=，化成了关于z 和z ′的线性方程。伯努利兄弟也推进了分离变量和变量代换法。之后，欧拉和克莱特（A.C.Clairaut,1713～1765）分别独立提出了求解一阶常微分方程的所谓“积分因子法”。

0=+Ndy Mdx 到1740年左右，经过数学家的努力，几乎所有求解一阶方程的初等方法都已经知道。

高阶常微分方程的求解的重要突破，是瑞士数学家欧拉1734年阶常系数线性齐次方程的完整解法。对阶常系数方程

n n 0...3322=+++++n n dx y d L dx y d D dx

y d C dx dy B Ay 欧拉利用指数代数代换（q 为常数）得到特征方程

qx e y =

0...2=++++n Lq Cq Bq A 当是该方程的一个实单根时，则是原微分方程的一个特解。当是特征方程的重根时，欧拉用求得

q qx ae q k )(x u e y qx =

)...(12321?++++=k k qx x x x e y αααα为包含k 个任意常数的解。欧拉指出：n 阶方程的通解是其个特解的线性组合。

n 18世纪，常微分方程求解的最高成是法国数学家拉格朗日在1774年至1775年间用参数变易法解出了一般阶变系数非齐次常微分方程。拉格朗日研究一般方程

n ，

X Vy y R y Q Py n =++′′+′+)(...此处P、Q、R …V、X 都为的函数。已知相应齐次方程的通解为

x )()(x bq x ap y +=

此处，a 、为积分常数，、是齐次方程的特解。拉格朗日将、看作的函数并利用b p q a b x y 的各阶微商表达式及原方程求出、，从而得到非齐次方程解。

a b 2.偏微分方程

偏微分方程的诞生起源于微积分在弦振动等力学问题的应用。

1747年，法国数学家达朗贝尔（J.L.R.d’Alembert ,1717～1783年）发表的《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》被看作是偏微分方程论的发端。在上述论文中，达朗贝尔明确推导出了弦振动所满足的偏微分方程： 22222x

u c t u ??=?? 并给出了形如)()(),(t x t x x t u ?++=??的通解。

达朗贝尔是法国启蒙运动的领头人物之一，曾与哲学家狄德罗

（D.Diderot ,1713～1784年）共同主编了《百科全书》。达朗贝尔是一私生子，出生后被遗弃，被一对穷苦玻璃匠夫妇收养并接受教育，后成长为巴黎科学院院士。

1749年，欧拉也发表了《论弦的振动》的论文。1753年，约翰·伯努利之子丹尼尔·伯努利也发表了《弦振动问题的新思考》的论文。

18世纪，人们在研究力学问题——计算两个物体之间的引力过程中，获得了另一类偏微分方程——位势方程。1785年，拉普拉斯发表了《球状物体的引力理