证明三角形全等总复习(经典题目)(含答案)
三角形专题训练
【知识精读】
1. 三角形的内角和定理与外角和定理；
2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；
3. 全等三角形的性质与判定；
4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；
5. 直角三角形的性质与判定。 【分类解析】
1. 三角形内角和定理的应用
例1. 如图1，已知?ABC 中，∠=?⊥BAC AD BC 90，于D ，E 是AD 上一点。 求证：∠>∠BED C
2. 三角形三边关系的应用
例2. 已知：如图2，在?ABC 中，AB AC >，AM 是BC 边的中线。 求证：()AM AB AC >
-1
2
3. 角平分线定理的应用
例3. 如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。
求证：AM平分DAB。
4. 全等三角形的应用
（1）构造全等三角形解决问题
例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为
120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证： AMN的周长等于2。
（2）“全等三角形”在综合题中的应用
例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。
上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。
点B在AE的延长线上，点D在AF
例6. 如图，在?ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD ＋CE ＝9，则线段DE 的长为（ ） A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
6、题型展示
例7. 已知：如图6，?ABC 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =
1
2
。 求证：BD 平分∠ABC
例8. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC 花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD 为多少度时，才能达到上述要求？
【实战模拟】
1. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形
底边的长为____________。
2. 在锐角?ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。
3. 如图所示，D是?ABC的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC与
∠B的大小关系。
4. 如图所示，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，M 是AC 中点，AE ⊥BM 。 求证：∠AMB ＝∠CMD
5. 设三个正数a 、b 、c 满足(
)()a b c
a b c 22
22
4442++>++，求证：a 、b 、c 一定是
某个三角形三边的长。
【试题答案】
1. 5cm
2. 45°
3. 分析：如图所示，∠BAC 是?ACD 的外角，所以∠>∠BAC 1 因为∠1＝∠2，所以∠BAC ＞∠2
又因为∠2是?BCD 的外角，所以∠2＞∠B ，问题得证。 答：∠BAC ＞∠B
∵∠CD 平分∠ACE ，∴∠1＝∠2 ∵∠BAC ＞∠1，∴∠BAC ＞∠2 ∵∠2＞∠B ，∴∠BAC ＞∠B
4. 证明一：过点C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线于F
∠∠∠∠∠∠129012
+=+=?∴=BAE BAE
又∠BAC ＝∠ACF ＝90°