16广义似然比检验

广义似然比检验

上一节处理问题很圆满，但所讨论的情况太特殊，对总体的概率分布有很强的限制，许多常见的检验问题就对付不了。本节介绍一种检验法，它适用的范围极广 ，当样本量n 较大时，否定域往往相当好（即第二类错误的概率比较小），虽然它不一定是一致的最大功效的。

设X 的分布密度是(,)f x θ，1(,,)m m R θθθ=∈ΘL ?0（对离散型分布可进行类似的讨论）。

设是Θ 的非空真子集，研究检验问题：

0Θ00,:H H αθθ∈Θ?∈Θ?Θ

设1(,,)n x x x =K 是样本1(,,)n x X X =L 的值。似然函数1(,)(,)n

i L x f x θθ=∏，

令

?()sup (,)L L θx θ∈ΘΘ

?()sup (,)L L θx θ∈Θ

Θ

定义4.1 称

?()()?()L x L λΘΘ 为样本值1(,,)n x x x =L 的广义似然比。

显然()1x λ≥，直观上看，若是真的，则0H θg 的最大似然估计应该很大可

能属于，从而0Θ()x λ应该接近于1；反之，若()x λ的值太大就应该否定，这样应取否定域

0H {}00:()W x x λλ=>

其中0λ满足

0sup ()P X W θθα∈Θ∈=% 这里α是预先给定的检验水平（01α<<）。

这样的检验法叫做广义似然比检验法，简称似然比检验法。这个方法在许多

情形下常可导出有实用价值的具体否定域。在使用广义似然比检验法时，关键在于能否找出0λ满足（4.2）

我们指出，广义似然比λ是充分统计量的函数，从而否定域（4.1）常常是

由充分统计量来确定。实际上，若()X ?%

是充分统计量（可以是向量），则有(,)[(),]()L x g x h x θ?θ=?%%%

，从而 0

sup [(),]()[()]sup[(),]g x x l x x θθ?θλ??θ∈Θ∈Θ==%%%% 所以否定域

{}{}00:():()W x x x x B λλ?=>=∈%%%

这里B 是适当的集合。

由于正态总体在实际工作中最常见，数学处理上也比较成熟，下面讨论正态总体的各种检验问题。