小升初数学典型例题

典型应用题

【平均数问题】

例1 小强骑自行车从甲地到乙地，去时以每小时15千米的速度前进，回时以每小时30千米的速度返回。小强往返过程中的平均速度是每小时多少千米

（江西省第二届“八一杯”小学数学竞赛试题）

讲析：我们不能用（15+30）÷2来计算平均速度，因为往返的时间不相等。只能用“总路程除以往返总时间”的方法求平均速度。

所以，往返的平均速度是每小时

例2 动物园的饲养员给三群猴子分花生。如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒。那么平均分给三群猴子，每只猴子可得____粒。

（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

讲析：设花生总粒数为单位“ 1”，由题意可知，第一、二、三群猴子

于是可知,把所有花生分给这三群猴子，平均每只可得花生

例3 某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩是分和81分。问：这个班男、女生人数的比是多少

（全国第三届“华杯赛”决赛第二试试题）

讲析：因男生平均比全班平均少分，而女生平均比全班平均的多3分，故可知

×男生数=3×女生数。

∶3=女生数：男生数

即男生数：女生数=6:5。

例4 某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样，得二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分。那么，原来一等奖平均分比二等奖平均分多____分。

（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：设原来一等奖每人平均是a分。二等奖每人平均是b分。则有：

10a+20b=6×（a+3）+24×（b+1）

即：a-b=10. 5。

也就是一等奖平均分比二等奖平均分多分。

【行程问题】

例1 甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相柜______米。

（ 1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）

讲析：如图，当乙丙在D点相遇时，甲已行至C点。可先求出乙、两相遇的时间，也就是乙行距离AD的时间。

乙每分钟比甲多走 10米，多少分钟就多走了CD呢而CD的距离，就是甲、丙2分钟共行的距离：（70+50）×2=240(米）。

于是可知，乙行AD的时间是240÷10=24（分钟）。

所以，AB两地相距米数是（70+60）×24=3120（米）

例2 在一条公路上，甲、乙两个地点相距600米，张明每小时行走4千米，李强每小时行走5千米。8点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都调头反向而行，再过3分钟，他们又调头相向而行，依次按照1、3、5、7……（连续奇数）分钟数调头行走。那么，张、李两个人相遇时是8点_____分。

（1992年全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试题）

（千米）=150（米）

他俩相向走（1+5）分钟，反向走（3+7）分钟后两人相距：600+150×〔（3+7）-（1+5）〕=1200（米）

所以，只要再相向行走1200÷150=8（分钟），就可以相遇了。从而可知，相遇所需要的时间共是

1+3+5+7+7+8=24（分钟）

也就是相遇时是8点24分。

例3 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟，10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米

（全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题）

讲析：如图所示，A点是三车的出发点，三车出发时骑车人在B点，A1、A2、A3分别为三车追上骑车人的地点。

快车走完2.4千米追上了他。由此可见三辆车出发时，骑车人已走的路程是

AB=（千米）。

所以，慢车的速度是：

例4 一辆车从甲地开往乙地。如果把车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％。则可提前40分钟到达。那么，甲、乙两地相距______千米。

（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：首先必须考虑车速与时间的关系。

因为车速与时间成反比，当车速提高20％时，所用时间缩短为原来的

例5 游船顺流而下每小时行8千米，逆流而上每小时行7千米，两船同时从同地出发，甲船顺流而下，然后返回。乙船逆流而上，然后返回，经过2小时同时回到出发点，在这2小时中，有______小时甲、乙两船的航行方向相同。

（上海市第五届小学数学竞赛初赛试题）

讲析：关键是要理解上行与下行时间各占全部上下行总时间的百分之几。

因为两船2小时同时返回，则两船航程相等。又上行船速是每小时行7

例6 甲、乙两车分别从A、B两城同时相向而行，第一次在离A城30千米处相遇。相遇后两车又继续前行，分别到达对方城市后，又立即返回，在离A城42千米处第二次相遇。求A、B两城的距离。

（《小学生科普报》小学数学竞赛预选赛试题）

讲析：如图所示。两车第一次在C地相遇，第二次在D地相遇。

甲、乙两车从开始到第一次C点相遇时，合起来行了一个全程。此时甲行了30千米，从第一次相遇到第二次D点相遇时，两车合起来行了两个全程。在这两个全程中，乙共行（30+42）千米，所以在合行一个全程中，乙行（30＋42）÷2=36（千米），即A、B两城的距离是30＋36=66（千米）。

例8 甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、

乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点叫相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米。那么A、B两地的距离等于____千米。

（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：根据甲、乙两车的速度比为3∶7，我们可将A、B两地平均分成10份（如图）。

因为甲、乙两车速度之比为3∶7，所以甲每走3份，乙就走了7份。于是它们第一次在a3处相遇。甲再走份，乙走份，在a7与a8之中点处甲被乙追上，这是第二次相遇；甲再又走份，乙走份，在a9点第三次两车相遇；甲走6份，乙走14份在a5点第四次两车相遇。

（千米）。

例9 在400米环形跑道上， A、B两点相距100米（如图）。甲、乙两人分别从A、B两点同时按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟，那么，甲追上乙需要____秒钟。

（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：各跑100米，甲比乙少用的时间是100÷4-100÷5=5（秒钟），现在甲要比乙多跑100米，需20秒钟。由20÷5=4（个百米），可知，乙跑400米以后，甲就比乙多跑100米。这样便刚好追上乙。

甲跑完（400+100）米时，中途停了4次，共停40秒钟。故20×5+40=140（秒）。

当乙跑完400米以后，停了10秒，甲刚好到达同一地点。所以，甲追上乙需要140秒钟。

例10 甲、乙二人在同一条环形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二

第一次相遇点190米，问这条环形跑道长多少米

（全国第四届“华杯赛”复赛试题）

讲析：图为甲、乙两人每跑到原出发点时，就返回头跑。于是，从出发点切开，然后将环形跑道拉直，这样，他俩就可以看作在AB线段上的往返跑步（如图）。跑第一圈时，乙的速度与甲的速度的比是3∶2。当甲从

原速跑到A点。

（个）全程，即刚好到达D点。

所以，在AD段中，甲、乙两人都是按各自的加速度相向而行。不难求得

例11 图，大圈是400米跑道，由A到B的跑道长是200米，直线距离是50米。父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B点便沿直线跑，父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇

（全国第二届“华杯赛”复赛试题）

讲析：容易计算出，父亲经过150秒刚好跑完3小圈到达A点，儿子经过152秒刚好跑完2圈到达A点，儿子比父亲慢2秒钟，所以儿子将沿跑道追赶父亲。

因为A到B弯道长200米，儿子每跑100米比父亲快一秒，可知恰好在B点追上父亲。

即，儿子在跑第三圈时，会第一次与父亲相遇。

例12 甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园。甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆大客车，它的速度是每小时48千米。这辆车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是____。

（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：要使两个班在最短时间内到达，只有让两个班都同时运行且同时到达。

设甲班先步行后乘车。甲班、乙班和客车的行进路线如图所示。AB、CD分别表示甲班和乙班步行距离。

当甲班从A地行至B地时，汽车共行了：AB+2·BC。

又汽车速度是甲班的12倍，所以

同理，当乙班从C地行至D地时，汽车共行了CD+2·BC。

又，汽车速度是乙班的16倍，所以

AB∶CD=15∶11。

即甲班与乙班需要步行的距离之比为15∶11。

例13 王经理总是上午8点钟乘公司的汽车去上班。有一天，他6点40分就步行上班，而汽车仍按以前的时间从公司出发，去接经理，结果在路途中接到了他。因此，王经理这天比平时提前16分钟到达公司。那么汽车的速度是王经理步行速度的____倍。

（《小学生科普报》小学数学奥林匹克通讯赛试题）

讲析：如图，A点表示王经理家，B点表示公司，C点表示汽车接王经理之处。

王经理比平时提前16分钟到达公司，而这16分钟实际上是汽车少走了2·AC而剩下的时间，则汽车行AC路程需要8分钟，所以汽车到达C 点接到王经理的时间是7点52分钟。

王经理步行时间是从6点40分到7点52分，共行72分钟。

因此，汽车速度是王经理步行速度的72÷8=9（倍）。

【倍数问题】

例1 仓库里有两个货位，第一货位上有78箱货物，第二货位上有42箱货物，两个货位上各运走了相同的箱数之后，第一货位上的箱数还比第二货位上的箱数多2倍。两个货位上各运走了多少箱货物

（1994年天津市小学数学竞赛试题）

讲析：因为两堆货物各运走相同数量的货物之后，第一堆比第二堆货物多2倍。即此时第一堆货物是第二堆货物的3倍。

所以，42的3倍的积与78的差，就是两堆中各运走货物的箱数的2倍。故两个货位各运走的货物箱数是（42×3-78）÷2=24（箱）。

例2 一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖奖金是每个三等奖奖金的2倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元；如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元

（全国第二届“华杯赛”复赛试题）

讲析：我们可将二等奖和三等奖都换成一等奖。

如果评1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖时，每个一等奖的奖金为：0

例3 甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒。如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的2倍。如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的3倍。那么，甲、乙两个小朋友共有糖____粒。

（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）。

讲析：甲给乙一定数量的糖之后，甲是乙的2倍。这说明甲乙两个糖数之和是3的倍数；同理，乙给甲一定数量的糖后，甲是乙的3倍，这说明甲乙两个糖数之和又是4的倍数。

所以，甲、乙两人糖粒总数一定是12的倍数。

又，每袋糖都不到20粒，所以甲乙两个糖数之和应为12、24、36

中的一个数。

经检验，当总糖数是24时，即甲为17粒、乙为7粒时，符合要求。即两个小明友共有糖24粒。

例4 一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送往考场。一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个人参赛，这样两校需

要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛

（全国第一届“华杯赛”决赛试题）

讲析：原来二小比一小多一辆车，各增加一人后，两校所需车一样多。由此可见，一小增一人就要增加一辆车，所以原来汽车恰好全部坐满，即原来一小人数是15的倍数。

后来又增加1人，这时二小又要多派一辆车，所以在第二次增加人数之前，二小的车也恰好坐满。即人数是13的倍数。

因此，原来每校参加的人数都是15的倍数。而加1之后，是13的倍数。

即求15的某个倍数恰等于13的倍数减1。

因为15×6=90，13×7=91，所以，两校各有92人参加竞赛。

从而可知，两校共有184人参加竞赛。

【年龄问题】

例1 小明今年5岁，爸爸的年龄是小明的7倍，再过多少年爸爸的年龄是小明年龄的3倍

（1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）

讲析：可先求出当爸爸年龄是小明年龄的3倍时，小明的年龄是多少岁：

（5×7-5）÷（3-1）=15（岁）。

故，再过10年，爸爸的年龄是小明年龄的3倍。

例2 今年祖父的年龄是小明年龄的6倍。几年后，祖父年龄是小明年龄的5倍。又过几年后，祖父年龄是小明年龄的4倍。问：祖父今年多少岁

（全国第二届“华杯赛”少年数学竞赛试题）

讲析：因为今年祖父年龄是小明年龄的6倍。所以，年龄差是小明年龄的5倍，即一定是5的倍数。

同理，又过几年后，祖父的年龄分别是小明年龄的5倍和4倍，可知年龄差也是4和3的倍数。而年龄差是不变的。

由3、4、5的公倍数是60、120、……可知，60是比较合理的。所以，

小明今年的年龄是60÷（6-1）=12（岁）；

祖父今年的年龄是12×6=72（岁）。

例3 1994年姐妹两人年龄之和是55岁。若干年前，当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半。姐姐是哪一年出生的

（长沙地区数学竞赛预选赛试题）

讲析：设若干年前，妹妹的年龄为x岁，则现在妹妹为2x岁；姐姐在“若干年前”那一年的年龄也为2x岁，则姐姐现在的年龄为3x岁。

由2x+3x=55，可知，x=11。

所以，今年姐姐的年龄是3×11=33（岁）。

故姐姐是1960年出生的。

【时钟问题】

例1 把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈。开始时三针重合。问：在时针旋转一周的过程中，三针重合了几次（不计起始和终止的位置）

（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）

讲析：如图，设时针和分针第一次在B点重合。从开始到重合，时针走了AB，而分针走了一圈后再又走AB。

例2 7点____分的时候，分针落后于时针100°。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）

讲析：7点整时，分针落后于时针210°，时针每分钟走°，分针每分钟走6°，依照追及问题有：

（210-100）÷（）=20（分钟）。

故，在7点20分钟的时候，分针落后时针100°。

【其他问题】

例1如图是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满。

问：这堆棋子原有多少枚

（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）

讲析：把这堆棋子摆成正方形实心方阵，还多余12枚，若把这个正方阵每边各加一枚棋子时，其贴边加上的棋子为12+9=21（枚）。

所以，新方阵每边棋子数为（21+1）÷2=11（枚）。从而可知，原来这堆棋子共有11×11-9=112（枚）。

例2 小玲从家去学校，如果每分钟走80米，结果比上课时间提前6分钟到校；如果每分钟走50米，则要迟到3分钟，小玲的家到学校的路程有多远

（西南地区小学数学竞赛试题）

讲析：本题属于盈亏问题，提前6分钟和迟到3分钟，所相差的距离，是由于每分钟相差30米而造成的。

∴（80×6+50×3）÷（80-50）=21（分钟）；

80×（21-6）=1200（米）

即小玲家到学校有1200米。