陕西高考理科数学试题及答案详解

陕西高考理科数学试题

及答案详解

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2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)

第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．

1．(2013陕西，理1)设全集为R，函数f(x)＝2

的定义域为M，

则R M为( )．

A．[－1,1] B．(－1,1) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

1)∪(1，＋∞)．

2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输

入x为60时，输出y的值为( )．

A．25

B．30

C．31

D．61

3．(2013陕西，理3)设a，b为向量，则

“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )．

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．

A．11 B．12 C．13 D．14

5．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形

区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他

信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内

随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是

( )．

A ．

π14- B ．π

2- C ．

π22-

D ．π4

6．(2013陕西，理6)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( )．

A ．若|z1－z2|＝0，则12z z =

B ．若12z z =，则12z z =

C ．若|z1|＝|z2|，则1122z z z z ?=?

D ．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22

7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

8．(2013陕西，理8)设函数

f (x )

＝6

100,

x x x x ???

≥?,,则当x ＞0时，

f [f (x )]表达式的展开式中常数项为

A ．－20

B ．20

C ．－15

D ．15 9．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地

中，欲建一个面积不小于300 m 2

的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )．

A ．[15,20]

B ．[12,25]

C ．[10,30]

D ．[20,30]

10．(2013陕西，理10)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )．

A ．[－x]＝－[x]

B ．[2x]＝2[x]

C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]

D ．[x －y]≤[x]－[y]

第二部分(共100分)

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)． 11．(2013陕西，理

11)双曲线22116x y m -=的离心率为

，则m 等于

__________．

12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．

13．(2013陕西，理13)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝

所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．

14．(2013陕西，理14)观察下列等式

12＝1

12－22＝－3

12－22＋32＝6

12－22＋32－42＝－10

……

照此规律，第n个等式可为__________．

15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)

A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn ＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．

B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.

C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直

线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为

__________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．

16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ??

，b ＝

x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .

(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在π0,

2??

????

上的最大值和最小值． 17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比

数列．

(1)推导{a n }的前n 项和公式；

(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．

18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB ＝AA

(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；

(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大

小．

19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．

20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x

，x ∈R .

(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；

(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2

(m ＞0)公共点的个数； (3)设a ＜b ，比较

2f a f b ()+()与f b f a b a

()-()

-的大小，并说明理由．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（理科）

(陕西卷)

第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1．

答案：D

解析：要使函数f (x )＝21x -有意义，则1－x 2

≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．

答案：C

解析：由算法语句可知0.5,50,

250.650,50,

x x y x x ≤?=?

+(-)>?

所以当x ＝60时，y ＝25＋×(60－50)＝25＋6＝31. 3．

答案：C

解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 4．

答案：B

解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋

120

l -≤k ≤37－

.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12

个． 5．答案：A 解析：S

矩形ABCD

＝1×2＝2，S

扇形ADE

＝S

扇形CBF

＝π4

.由几何概型可知该地

点无信号的概率为

P ＝

2π2124

ABCD ADE CB ABCD

S S S S -

--=

=-矩形扇形扇形矩形.

6．

答案：D

解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于

选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2

，

z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ?=?，正确；对于选项D ，如

令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22

＝－2i ，故

不正确． 7．

答案：B

解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2

A =，故△ABC 为直角三角形． 8．

答案：A

解析：当x ＞0时，f (x )＝

＜0，则

f [f (x )]＝6

?= ?

6322

1666C (1)C (1)C r

r r

r r r r r r r r T x x x ----+?=?=-?=- ?

.令3－r ＝0，得r ＝

3，此时T 4＝(－1)3

36C ＝－20. 9．

答案：C

解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.

404040

x y -=，则

x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，

解得10≤x ≤30，故选C ．

10．答案：D

解析：对于选项A ，取x ＝－，则[－x ]＝[]＝1，而－[x ]＝－[－]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B ，令x ＝，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[]＝2，故不正确；对于选项C ，令x ＝－，y ＝－，则[x ＋y ]＝[－4]＝－4，[x ]＝－2，[y ]＝－3，[x ]＋[y ]＝－5，故不正确；对于选项D ，由题意可设x ＝[x ]＋β1,0≤β1＜1，y ＝[y ]＋β2,0≤β2＜1，则x －y ＝[x ]－[y ]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[x ]－[y ]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋

β1－β2＜1，[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[[x ]－[y ]－1＋1＋β1－β2]＝[x ]－[y ]－1＜[x ]－[y ]，故选项D 正确．

第二部分(共100分)

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．

11．答案：9

解析：由双曲线方程知a ＝4.又54

c e a

==，解得c ＝5，故

16＋m ＝25，m ＝9. 12．答案：π

解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r ＝1，高SO ＝2，则V 几何体

＝1

π2

π323

??=. 13．答案：－4 解析：由y ＝|x －1|＝1,1,

1,1x x x x -≥??

及

y ＝2画出

可行域如图阴影部分所示．

令2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，画直线l 0：y ＝2x 并平移到过点A (－1,2)的直线l ，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4. 14．

答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)

＋1

n n (+)

解析：第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12

n n (+)

，故有12－22＋32－42

＋…＋(－1)

n ＋1n 2

＝(－

n ＋1

n n (+)

. 15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ．答案：2

解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2

)＋

2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2

)＝

2(a ＋b )2

＝2(当且仅当m ＝n

时等号成立)．

B ．

解析：∠C 与∠A 在同一个O 中，所对的弧都是BD ，则∠C ＝∠

A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△

PED ∽△PAE ，则PE PD PA

=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝

PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE

C ．

答案：2cos ,

sin cos x y θθθ

?=?=?(θ

为参数)

解析：由三角函数定义知y x

＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2

＋y 2

－x ＝0得，x 2

＋x 2

tan 2

θ－x ＝0，x ＝

1tan θ

+＝cos 2θ，则y ＝x tan

θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2

θ=时，x ＝0，y ＝0也适合

题意，故参数方程为2cos ,

sin cos x y θθθ

?=?=?(θ为参数)．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)． 16．

解：f (x )＝1

cos ,2x ??

?x ，cos 2x )

cos x sin x －1

cos 2x

sin 2x －1

2cos 2x ＝ππ

cos sin 2sin cos 266

x x -

＝πsin 26x ??- ??

?. (1)f (x )的最小正周期为2π2π

π2

T ω===，

即函数f (x )的最小正周期为π.

(2)∵0≤x ≤π

，

∴ππ5π

2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，

当ππ262x -=，即π

3x =时，f (x )取得最大值

当ππ266

x -=-，即x ＝0时，f (0)＝1

2-，

当π52π66x -=，即π

2x =时，π122

f ??= ???，

∴f (x )的最小值为12

因此，f (x )在π0,

2??

????

上最大值是1，最小值是12

17．

(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，

当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；

当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1

，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②

①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n

，

∴111n

n a q S q (-)=-，∴11,1,

1, 1.1n n na q S a q q q

=??=(-)

?≠?-?

(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，

(a k ＋1＋1)2

＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，

21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，

a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，

∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1

∵q ≠0，∴q 2

－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，

∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 18．

(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图． ∵AB ＝AA 1

， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，

∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)． ∵1

AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，

1BB ＝(－1,0,1)， ∴1AC ·BD ＝0，1AC ·1BB ＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．

证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．

又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．

又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C

，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 12

＋

A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又B

B 1∥AA 1，∴A 1

C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1

D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，

∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，

∴10,0,

OC x OB x y z ??=-=???=-++=??n n ∴0,.x y z =??=-?

取n ＝(0,1，－1)，

由(1)知，1AC ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|

=. 又∵0≤θ≤π

，∴π3

θ=.

19．

解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则

P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝24

35C 3C 5

∵事件A 与B 相互独立，

∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝

P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515?=.13

2335C C 4.C C 15P AB ???()== ????

或

(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝24

35C 3C 5

=，

∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为

P (X ＝0)＝1224

()35575

P ABC =??=

，

P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝22213212320

35535535575

??+??+??=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A

C )＋P (

BC )＝

23222313333

35535535575

??+??+??=

， P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575

??=，

∴X 的分布列为

∴X 的数学期望280123757575757515

EX ?

+?+?+?==＝.

20．

(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，

当O 1不在y 轴上时，

过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，

∴1||O M =

1||O A =

=，

化简得y 2

＝8x (x ≠0)．

又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2

＝8x ，

∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2

＝8x .

(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

将y ＝kx ＋b 代入y 2

＝8x 中，

得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2

＝0，其中Δ＝－32kb ＋64＞0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝

82bk k -，①

x 1x 2＝2

b k

，②

因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以

121211

y y

x x =-++，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，

(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③

将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2

b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ＞0，

∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 21．

解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .

设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝0

1x ，

解得x 0＝e 2

，2

1e k =

(2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2

的公共点个数等于曲线2

e x

y x

=与y ＝m 的公共

点个数．

令()2

e x

x x

?=，则3

e 2()x x x x

?(-)

'=， ∴φ′(2)＝0.

当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上

单调递减；

当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，

∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2

e (2)4

?=.

当0＜m ＜2e 4时，曲线2e x

y x =与y ＝m 无公共点；

当2e 4m =时，曲线2e x

y x =与y ＝m 恰有一个公共点；

当2e

4m >时，在区间(0,2)内存在1x =，使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋

∞)内存在x 2＝m e 2

，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线

e x

y x

=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．

综上所述，当x ＞0时，

若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2

没有公共点；

若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2

有一个公共点；

若2e 4

m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2

有两个公共点．

(3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a

()+()()-()

-. 事实上，2f a f b f b f a b a

()+()()-()

>-?e e e e 2a b b a b a +->-? e e 2e e b a b a b a -->+?2e 12e e a b a b a ->-+?2

12e 1

b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2

()12e 1x x x ψ=+-+(x ≥0)，

则22

222

12e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ψ(+)-(-)'=-=

=≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，

∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.

令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．

解法二：

e e e e 22b a b a

f a f b f b f a b a b a

()+()()-()+--=---

＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)

＝e 2a

b a (-)

[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2]，设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x

＋2(x ≥0)，

则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x

，

令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x

≥0(仅当x ＝0时等号成立)，

∴u ′(x )单调递增，

∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0， ∴u (x )单调递增．

当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.

令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a

＋2＞0，

∴e e e e >02b a b a

b a

+---，因此，2f a f b f b f a b a

()+()()-()