湖北省武汉市武昌区2021届高三数学1月质量检测试题

湖北省武汉市武昌区2021届高三数学1月质量检测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x2-3x-4≤0},B={x|2x>8},那么集合A∩B=

A.(3,+ ∞)

B.[-1,+ ∞)

C.[3,4]

D.(3,4]

2.已知i是虚数单位，复数

2

1

i

z

i

-

=

+

,则复数z在复平面内对应的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.已知tan a=2,则1cos2 sin2

α

α+

A.2

B. 1

2

C.-2

D.-

1

2

4.甲、乙、丙、丁四位同学组成的数学学习小组进行了一次小组竞赛，共测试了5道题，每位同学各题得分情况如下表：

下列说法正确的是

A.甲的平均得分比丙的平均得分高

B.乙的得分极差比丁的得分极差大

C.对于这4位同学，因为第4题的平均得分比第2题的平均得分高，所以第4题相关知识一定

比第2题相关知识掌握好

D.对于这4位同学，第3题得分的方差比第5题得分的方差小

5.物理学规定音量大小的单位是分贝（dB),对于一个强度为1的声波，其音量的大小7可由如 下公式计算：0

10lg

I

I η=（其中I.是人耳能听到声音的最低声波强度）。我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB 与60dB 之间，飞机起飞时的音量约为120dB,则120dB 声音的声波强度I 1是40dB 声音的声波强度I 2的

A.3倍

B.103倍

C.106倍

D.10倍 6.已知4

32a =,2

54b =1

325c =,则

A.b

B.c

C.a

D.b

7.学校举行羽毛球混合双打比赛，每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生A 1,A 2, A 3和A 4名女生B 1,B 2,B 3,B 4中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A 1和B 1两人组成一队参加比赛的概率为 A.

118 B. 29 C. 16 D. 49

8.已知三棱锥P-ABC 的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC,AB ⊥AC,AB=6,AC=8, D 是线段AB 上一点，且AD=2DB.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最 小值之差为25π,则球O 的表面积为 A.128π B.132π C.144π D.156π

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.右图是函数y=cos(ωx+φ)的部分图象，则cos(ωx+φ)= A.sin(2x+

6π

) B.cos(-2x+

3

π)

C.cos(2x+

6

π) D.sin(2x+

23

π) 10.已知a>0,b>0,且a+b=1,则 A.

149a b +≥ B.a 2+b 2≥21

39

b + C. 2222a b +≥ D.log 2a+log 2b ≤ -2 11.已知曲线C 的方程为221()91

x y k R k k +=∈--,则

A.当k=5时，曲线C 是半径为2的圆

B.当k=0时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y=13

x ± C.存在实数k,使得曲线C 是离心率为2的双曲线

D.“k>1”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件

12.如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC,AD 的延长线交于点E,对边AB,DC 的延长 线交于点F,若,,3(,0)BC CE ED DA AB BF λμλμ===>,,则 A. 3144EB EF EA =

+ B.λμ=14

C.

1

1

λ

μ

+

的最大值为1 D.

4

9

≥-

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.二项式6

(2)x x

-

的展开式中，常数项为 。（用数字作答） 14.已知过抛物线y 2

=-2x 的焦点F,且斜率为3的直线与抛物线交于A,B 两点，则

||||

||

AF BF AB ?= .

15.《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉。《九章算术》卷五记载：“今有刍甍（音：),下广三

丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？”译文：

今有如图所示的屋脊状楔体PQ-ABCD,下底面ABCD 是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ 中点R

在底面ABCD 上的投影为矩形ABCD 的中心点O,PQ//AB,AB=4,AD=3,PQ=2,OR=1(长度单位：丈）.则楔体PQ-ABCD 的体积为 （体积单位：立方丈）

16.设函数f(x)= x

e x

－t(x+2lnx+3x )恰有两个极值点，则实数t 的取值范围

为 .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分）

在①2a-b=2ccosB,②3a 2+b 2-c 2),32sin 2C 这三个条件中任选一个，补

充在下面的横线处，然后解答问题。

在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c,设ΔABC 的面积为S,已知 . （1)求角C 的值；

（2)若b=4,点D 在边AB 上，CD 为LACB 的平分线，ΔCDB 23

,求a 的值。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 18.(12分）

已知｛a n }是等差列，a 1=2,a 3=6. （1)求｛a n }的通项公式；

（2)设|(2)100|n a

n b =-,求数列｛b n }的前10项和T 10. 19.(12分）

在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD,底面ABCD 为直角梯形，BC//AD, ∠ADC=90°,BC=CD=

1

2

AD=1,PA=PD,E,F 分别为AD,PC 的中点． （1)求证：PA//平面BEF;

（2)若PC 与AB 所成角为45°,求二面角F-BE-A 的余弦值．

20.(12分）

设P是椭圆C:

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>＝1(a>b>0)上异于长轴顶点A1, A2的任意一点，过P作

C的切线与分别过A1,A2的切线交于B1,B2两点，已知|A1A2|=4,椭圆C的离心率为1

2

.

（1)求椭圆C的方程；

（2)以B1B2为直径的圆是否过x轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由。

21.(12分）

公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（De mere)向另一位著名的数学家帕斯卡（B.Pascal)提请了一一个问题，帕斯卡和费马（Fermat)讨论了这个问题，后来惠更斯

（C.Huygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答。该问题如下：

设两名赌徒约定谁先赢k(k>1,k∈N*)局，谁便赢得全部赌注a元．每局甲赢的概率为

p(0

局时，赌博意外终止。赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比P甲:P乙分配赌注。

（1)规定如果出现无人先赢k局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各

自赢得全部赌注的概率之比P甲:P乙分配赌注．若a=243,k=4,m=2,n=1,p=2

3

,则甲应分得多少

赌注？

（2)记事件A为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当k=4,m=2,n=1时赌博继续进行

下去甲赢得全部赌注的概率f(p),并判断当p≥3

4

时，事件A是否为小概率事件，并说明理

由。

规定：若随机事件发生的概率小于0.05,则称该随机事件为小概率事件．22.(12分）

已知函数f(x)=xlnx-

12

x 2

+(a-1)x(a ∈R). （1)讨论函数f(x)的极值点的个数；

（2)若函数f(x)有两个极值点x 1,x 2,证明：f(x 1)+f(x 2)>2a-3.

武昌区2021届高三年级1月质量检测

数学参考答案及评分细则

一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A

B

D

D

D

C

B

题号 9 10 11 12 答案 CD

ABCD ABD ABD

13. 60 14. 21 15. 5 16. )4

e

()4e 31(∞+ , 四、解答题： 17．（10分）

解：（1）若选①：a b B c -=22cos ，则由正弦定理得

，即2sin cos sin 0B C B -=，

∵sin 0B ≠，∴1cos 2

C =

，则π

3C =． …………………（4分）

若选②：()

222

43S b a c =+-，则14sin 32cos 2

ba C ba C ?=?，

化简得tan 3C =，∴π3

C =． …………………（4

分）

()2

32sin

12

C

A B +=+31cos 1C C =-+， 化简得π2sin 26C ??+= ??

?，所以ππ62C +=，故π3C =. …………………（4分） （2）在ABC ?中，BCD ACD ABC S S S ???+=， 所以，

???=???+???60sin 2

1

30sin 2130sin 21CB CA CD CA CD CB ?a CD CD a 34

1=+?. ①

又3

3

241=?=

?CD a S CDB . ② 由①②，

23242=?=+a a a 或3

4

-（舍）. 2=∴a . …………………（10分）

18．（12分）

解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件得131226a a a d =??=+=?，解得12

2

a d =??=?.

故2n a n =. …………………（4分）

(2)由(1)可知1002,16

|2100|2100,710n n

n n n b n ?-≤≤=-=?-≤≤?

，其中*n N ∈

故}{n b 的前10项和）（）（）（）（）（1002100221002100210010762110-++-+-++-+-= T

）（）（10

8

7

6

2

1

222222200+++++++-= 19942

1212212122004761＝－）

－（－）－（+-=.…（12分）

19．（12分）

解：（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接EC ，FO ，

1

//,2

BC AD BC AD =

，E 为AD 中点，∴AE //BC ，且AE =BC . ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点，

又F 为AD 中点，//OF PA ∴，

,OF BEF PA BEF ??平面平面，

PA ∴//平面BEF . …………………（4分）

（2）方法一：（综合法）

由BCDE 为正方形可得22EC BC ==. 由ABCE 为平行四边形可得EC //AB . PCE ∴∠为PC AB 与所成角，即 45=∠PCE .

PA PD E AD PE AD 为中点=∴⊥.

侧面PAD ⊥底面,ABCD 侧面PAD ?底面,ABCD AD PE =?平面PAD ，

PE ABCD ∴⊥平面，PE EC ∴⊥，2PE EC ∴==. …………………（8分）

取PD 中点M ，连,ME MA .

PAD ABCD ⊥面面，AD BE PAD ABCD AD ?=⊥且面面，，

BE ∴⊥平面PAD ，MEA F BE A ∴∠--为的平面角.

又

311,1,EM AE AM =

==

，3

cos MEA ∴∠=-. 所以二面角F BE A --的余弦值为3

-

． …………………（8分）

方法二：（空间向量法）建议给分标准：

①建系正确，设（求）点的坐标正确，2分；②利用线面角求出线段长正确，2分； ③求法向量正确，2分； ④求余弦并给出结论正确，2分 20．（12分）

解：（1）由题可知12||241

2A A a c e a ==??

?==??，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143

x y +=. …………………（4分） （2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.

设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程2214

3y kx b

x y =+??

?+=??，

得2

2

2

(34)84120k x kbx b +++-=，2

2

2

(8)4(34)(412)0kb k b ?=-+-=，

结合00220014

3y kx b

x y =+??

?+

=?? ，解得过P 点的切线方程为000334x x y y y =-+.

由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=， 解得12,B B 的坐标为00

1200

6363(2,

),(2,)22x x B B y y +--. 在x 轴上取点）（0,t M ，则）（0012362y x t MB +--=

,，）（0

22362y x t MB -+-=,， 所以14936422

2

2

21-=-+-=?t y x t MB MB . 当1±=t 时，0

21=?MB MB .

所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -. …………………（12分）

21．（12分）

解：（1）设赌博再继续进行X 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢. 由题意知，最多再进行4局，甲乙必然有人赢得全部赌注. 当2=X 时，甲以4﹕1赢，所以()9

4

3222===）（X p ；

当3=X 时，甲以4﹕2赢，所以()27

8

323213231

2

=

?-?==）（C X p ； 当4=X 时，甲以4﹕3赢，所以()27

43231132421

13

=?-==）（）（C X p . 所以，甲赢的概率为

9

8

272427427894==++. 所以，甲应分得的赌注为2169

8

243=?

元. …………………（6分） （2）设赌博继续进行X 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢. 当3=X 时，乙以以4﹕2赢，()()3

13p X p -==；

当4=X 时，乙以以4﹕3赢，()()()3

3

1

3

1313p p P p C X p -=-==； 所以，乙赢得全部赌注的概率为()()3

3

3

131131））（（p p p p P A P -+=-+-=)(.

于是甲赢得全部赌注的概率3

1311））（（）（p p p f -+-=. 求导，2

231121133113）（）（－）（）（）（）（p p p p p p f -=-?+---='.

因为

143

<≤p ，所以0>'）（

p f ，所以()f p 在3[,1)4

p ∈上单调递增， 于是256

24343min ==）

（）（f p f .

故乙赢的概率为0500508025613

2562431..>≈=-，故事件A 不是小概率事件. …（12分）

22．（12分）

解：（1）a x x x f +='-ln )(，11()1x

f x x x

-''=

-=

. 当(0,1)x ∈时，()0f x ''>，()f x '单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ''<，()f x '单调递减.

∴当1x =时，()f x '有极大值，(1)1f a '=-.

当1a ≤时，01<')(f ，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，此时()f x 无极值； 当1a >时，(1)10f a '=->.

1111

1111ln 10a a a a f a a a e e e e ++++?????????

?'=-+=---+< ? ? ? ? ? ???????????

， 易证，1x >时，2x e x >，所以，1a >，()

20a a f e a e '=-<，

故存在12,x x ，满足1

12101a a x x e e +??<<<<< ?

??

， 12()()0f x f x ''==.

当()10,x x ∈时，()f x 单调递减，当()12,x x x ∈时，()f x 单调递增， 当()2,x x ∈+∞时，()f x 单调递减.

()f x ∴在1x x =处有极小值，在2x x =处有极大值．

综上所述，当1a ≤时，()f x 没有极值点；当1a >时，()f x 有2个极值点．………（6分）

（2）由（1）可知当且仅当1a >时()f x 有极小值1x 和极大值2x ，2110x x <<<.

先证：221>+x x .

由1122ln 0ln 0

x x a x x a -+=??-+=?，得1122ln ln x x x x -=-，即1ln ln 1212=--x x x x .

下证

2ln ln 121212x x x x x x +<--，即证1)1(

2ln 1

2

1

2

1

2+->

x x x x x x

（以下略）

所以2121211ln ln 2

x x x x

x x -+=

<-，所以122x x +>.

因为1201x x <<<，122x x +>，所以1122x x x >->. 因为()12,x x x ∈时，)(x f 单调递增，所以()()212f f x x >-，

所以()()1211)(2()f x f x f x x f +>-+. 再证：12()()23f x f x a +>-.

设()()()2,,1(0)g f x x f x x -+∈=，因为()ln f x x x a '=-+， 所以x x x x f x f x g 2-2)-ln(2-ln )2()()(+=-'+'='，

所以()()()

2

2111

2022x g x x x x x -''=+

-=>--，故()g x '在()0,1上单调递增. 又()10g '=，所以()0,1x ∈时，()0g x '<，()()()2g x f x x f =+-在()0,1上单调递减. 所以()0,1x ∈时，()()12(1)23g x g f a >==-.

所以()()()12111()()232f x f x f x x a f g x ++>-=->. ……………（12分） 另法：

(1) 证明：()()212f x f x >-.

当1a >时, ()f x 有2个极值点12,x x ，且满足1201x x <<<. 因为1201x x <<<，所以121x ->.

因为当()21,x x ∈时，()f x 单调递增，当()2,x x ∈+∞时，()f x 单调递减， 所以()2f x 为()1+∞，内的最大值，即()()212f x f x >- （2）证明122x x +>，只需证2121x x >->.

因为()ln f x x x a '=-+单调递减，只需证()()212f x x f '-'<.

又因为12()()0f x f x ''==，只需证()()112f x x f '-'<，即证()()1120f f x x ''--<. 令()()()2h x f x x f '-'=-，(0,1)x ∈.

因为1()1f x x ''=

-，()()()1111()1122202h x f x x x x x x x f ??'''=----?+> ?-'''-==-??

-， 所以()()()2h x f x x f '-'=-在(0,1)上单调递增，()(1)0h x h <=.

所以()()1110()2h x f x x f '=-'-<，因此，122x x +>.