组合数学练习题_带答案

组合数学练习题

第一章排列组合

1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？

本题分为四种情况:

1位整数有4个: 2, 4, 6, 8

2位整数有4*4种方案, 有16个

3位整数有4*4*3种方案, 有48个

4位整数有4*4*3*2种方案, 有96个

总共有4+16+48+96=164个这样的整数.

2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。

(1)本问中, 第一排和第二排各有5名和4名同学被确定, 那么14名同学中还有5名同学

没有固定在哪一排, 所以可以根据这5名同学的不同排列来计算, 分5种情况考虑; 1)

从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另

外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3

名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名

同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加

起来就是结果.

C(5,4)*P(9,9)*P(9,5)+C(5,3)*P(9,8)*P(9,6)+C(5,2)*P(9,7)*P(9,7)+

C(5,1)*P(9,6)*P(9,8)+P(9,5)*P(9,9)

(2)本问中, 第一排和第二排所坐的同学的数量被确定, 分别是5名和4名, 那么要从14

名同学中把省下的5名同学选出来, 然后再按照坐在不同排的情况进行计算, 同样分5

种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学

进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5

名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名

同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐

法安排数全部加起来再乘以从14名同学中任选出5名同学方法的数就是结果.

C(14,5)*[P(9,9)*P(9,5)+P(9,8)*P(9,6)+P(9,7)*P(9,7)+P(9,6)*P(9,8)+ P(9,5)*P(9,9)] 3, n对夫妇,要求排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，

又有多少种不同的方案？围一圆桌而坐且要求每对夫妇坐在一起,又有多少种方案?

(1)本问中, 男女各有n名, 分别进行全排列各有n!种方案, 将他们交叉排列就有(n!)2种

方案, 同时男在女前或女在男前又是不同的方案, 所以要乘以2, 所以

方案数为--- 2 (n!)2

(2)本问较第一问要去掉变为圆周排列后的重复度, 总的人数为2n, 用第一问的方案数

除以2n, 所以

方案数为--- (n!)2/n

(3)本问中, 每对夫妇交换位置坐的方案数为2n, 再把每对夫妇看成单个元素进行圆周

全排列, 方案为n!/n, 最后把两种方案数相乘, 所以

方案数为--- 2n n!/n

4, 有16名选手，其中6名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？

根据2名既能打前锋也能打后卫选手的不同情况来计算方案

(1) 方法一, 分成6种情况: 1) 这2名选手全部打前锋; 2) 这2名选手全部打后卫; 3) 从

2名选手中选出1名打前锋, 另一名不上场; 4) 从2名选手中选出1名打后卫, 另一名不上场; 5) 2名选手全部上场, 分别打前锋和后卫; 6) 2名选手全部不上场; 把这些方案加起来就是全部选法.

C(8,5)*C(6,4)+C(8,7)*C(6,2)+2C(8,6)*C(6,4)+2C(8,7)*C(6,3)

+C(8,6)*C(6,3)+C(8,7)*C(6,4) = 2800

(2) 方法二, 分成3种情况: 1) 把这2名选手全部加入前锋后选组进行组合; 2) 把这2名

选手合部加入后卫后选组进行组合; 但这两种方案中这2名选手全部不上场的方案是重复的, 所以要减掉一个2名选全部不上场的方案数; 3) 上面的方案中也包括了2名选手中只有1名上场的情况, 所以省下只考虑2名选手都上场, 但分别打前锋和后位的方案; 把这些方案加起来就是全部选法.

C(6,4)*C(10,7)+C(8,4)*C(8,7) -C(8,7)*C(6,4)+ C(6,3) *C(8,6) = 2800

5, 从1到10这10个正整数中每次取出一个并登记，然后放回，连续取5次，得到一个由5个数字组成的数列。按这种方式能够得到多少个严格递减数列？能够得到多少个不减数列？

(1) C(10,5) = 10!/((10-5)!5!) = 252

(2) C(10+5-1,5) = 14!/((14-5)!5!) = 2002

6,证明 ()∑=n

k k n kC 1

,＝12-n n 。 证明:

将等式左边展开为:

C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+…+kC(n,k)+…+ (n-1)C(n,n-1)+nC(n,n)

设这个多项式等于Q

设等式1为Q = Q

将等式1左右两边分别加上下面的等式P:

nC(n,0)+(n-1)C(n,1)+…+C(n,n-1)

得到等式2, 等式右边合并项为: nC(n,0)+nC(n,1)+…+nC(n,n -1)+nC(n,n)

提取公因子n, 等于n[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n -1)+C(n,n)]

根据定理, 等式右边等于n2n

由定理C(n,r) = C(n,n-r) 可将P 变型为P’:

nC(n,n)+(n-1)C(n,n-1)+…+2C(n, 2)+C(n,1)

P’就等于Q

等式2左边是Q+P, 等于2Q

等式2左右两边同时除以2, 得到等式3: Q = n2n /2 = n2n-1

多项式Q 就是题目中等式的左项, 所以证明题目中等式左右相等

第二章 母函数与递推关系

1, 设平面内有n 条直线两两相交，且无三线共点。问这样的n 条直线把平面分割成多少个不重叠的区域？

解：设集合{a 0,a 1,…,a n }为本题的解，当有0条线的时候，平面只有一个区域，所以a 0=1，

当有1条直线的时候，平面被分为2个区域，当有2条线的时候，平面被分为4个区域，也就是说每增加一条直线，这条直线都会穿过上次每条线所构成的相邻的区域，被穿过区域的个数为(n-1)+1个，即n 个，所以有下面的递推关系：

a n = a n-1 + n 初始条件为：a 0=1 a 1=2

先求一般解

设特征方程：X - 1 = 0 r = 1

a’n = A ×1n = A

再求特解, 因为1是特征方程的根, 所以

设特解a*n = k 0n + k 1n 2, 代入原特征多项式

a n – a n-1 = k 0n + k 1n 2 - k 0(n-1) - k 1(n-1)2 = k 0 + 2 k 1n – k 1 = n

可得出k 0 = k 1 = 1/2

特解为: a*n = n/2 + n 2/2

一般解为: a n = A + n/2 + n 2/2

当n=0时，有A = 1

a n = 1 + n(n+1)/2

2, 求下列递推关系的一般解：

（1）11425,2.

n n n a a a -?-=??=?；

解: 先求一般解

设特征方程：X - 4 = 0 r = 4

a ’n = A ×4n

再求特解, 因为3是特征方程的根, 所以

设特解a*n = p5n , 代入原特征多项式

a n – 4a n-1 = p5n – 4p5n-1 = 2×5n

当n=1 时, 有

5p – 4p = 10 所以p = 10

特解为: a*n = 10×5n ,

一般解为: a n = A ×4n + 10×5n

当n=1时，有2 = 4A + 50，所以A = -12

a n = (-12) ×4n + 10×5n

（2） 1201693,1, 3.

n n n n a a a a a --?-+=?==?。

解: 先求一般解

设特征方程：X 2 - 6X + 9 = 0 (X - 3)2 = 0 r 1 = r 2 = 3

通解为: a ’n = (A + B*n)3n = 3n

再求特解, 因为3是特征方程的重根, 所以

设特解a*n = pn 23n , 代入原特征多项式

a n – 6a n-1 + 9a n-2 = pn 23n - 6p(n-1) 23n-1 + 9p(n-2) 23n-2 = 3n

当n=2时, 有

36p – 18p = 9 所以p = 1/2

特解为: a*n = n23n/2,

一般解为: a n = (A + B*n +n2/2)3n

根据a0和a1的值，可列出方程组：

A = 1

3(A + B + 1/2) = 3 可求出B = -1/2

一般解为: a n = (1 –n/2 +n2/2)3n

3, 求解下列递推关系: (n-1)a n-(n-2)a n-1-2a n-2=0(n 2), a0=0,a1=1.

4, 设有2个红球，1个黑球，2个白球，问(1)有多少种不同的选取方法，试加以枚举？(2),从中任取3个，有多少种不同的取法？

解: 设红球多项式为1+t+t2, 黑球多项式为1+t, 红球多项式为1+t+t2

所以的取球方法可以用多项式(1+t+t2)( 1+t)( 1+t+t2)表示

多项式展开=1+3t+5t2+5t3+3t4+t5

一共有1+3+5+5+3+1=18种选取方式

从中任取3个球的方式有5种

5, 用{1, 3,6,8}组成的3和6出现偶数次的4位数的个数是多少?

解：根据题目可设指数型母函数为：

G e(x) = (1 + x + x2/2! + x3/3! +x4/4!)2×( 1 + x2/2! +x4/4!)2

将等式右侧展开，其中x4项为：80×x4/4!

即可以组成80个不同的4位数

6, 求由直线x+2y=n与坐标轴围成的三角形内(含边界)整点的个数S n

第三章 容斥原理与鸽巢原理

1,求由1、2、3、4组成的10位数中，1、3、4都至少出现一次的数的个数。

解: 设A1为1不出现的集合, A2为3不出现的集合, A3为4不出现的集合，可求出: 全集个数为|U| = 410

每个数字分别不出现的个数为|A1| = |A2| = |A3| = 310

分别有2个数字不出现的个数为|A1|∩|A2| = |A1|∩|A3| = |A 2|∩|A 3| = 210

分别有3个数字不出现的个数为|A1|∩|A2|∩|A3| = 110

题目所求为:

|A1|∩|A2|∩|A3|

= |A1|U|A2|U|A3|

= |U| - C(3,1)×|A1| + C(3,2)×|A1|∩|A2| - |A1|∩|A2|∩|A3|

= 410 - 3×310 + 3×210 - 1

2,求从10到9999的正整数中是n 2是但不是n 3,n 4形式的数的个数

解: 从10到9999中一共有9990个正整数, 其中为n 2的数有99-3=96个,n 为4到99,设这个集合为全集,这其中又为n 2的数有9-1=8个,n 为2到9,设这个集合为A1,全集中为n 3的数有4-1=3个,n 为2,3,4,设这个集合为A2, A1中的82=64，A2中的43=64，所以|A1|∩|A2|=1，题目所求为:

|U| - |A1|U|A2| = |U| - |A1| - |A2| + |A1|∩|A2| = 96 – 8 – 3 + 1 = 86 (个)

3, 设n 为大于1的奇数，证明：在1221,21,,21n --- 中必有一个数能被n 整除.

4, 某学者每周上班工作35小时，每天工作的小时数是整数，每天工作时间不少于5小时也不多于8小时。今要编排一周的工作时间表，问有多少种不同的编排方法？

解: 设每周工作5天,分别为X1到X5,有等式如下:

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 35

因为X1到X5均≥5小时,可分另设Y1+5=X1到Y5+5=X5,有等式:

Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 = 10

因为X1到X5均≤8小时,又可分另设Y1=3-Z1到Y5=3-Z5,有等式:

Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = 5

求此方程的非负整数解的个数即为题解,

解为: C(5+5-1,5) = C(9,4)=(9×8×7×6)/(4×3×2) = 126(种)

5, 从1到200这200个自然数中，至少要取出多少个数，才能保证一定存在两个数是互素的。并证明你的结论。（两个正整数互素，是指它们没有除1以外的正公因数。）

解: 1到200可分为素数和合数, 因为17×17 = 285 > 200, 所以其中的合数必然是2,3,5,7,11,13的倍数, 其中有最多公因子的合数是以2为公因子的偶数, 为100个, 当取101个数时, 至少有一个数

6, n个人参加一晚会，每人寄存一顶帽子和一把雨伞，会后各人也是任取一顶帽子和一把雨伞，问(1)有多少种可能的取法使得没有人能拿回他原来的任一件物品？

(2)有多少种可能取法使得没有人能同时拿回他原来的两件物品？

解:

问题1: 设数列1,2,3,……,2n-1,2n为n个人所对应的物品,没人能取回原来的任何一件物品就是把帽子和雨伞分别进行错排,再把方案数相乘，根据错排公式,所求解为:

(n!(1/2!+1/3!-...+(-1)n/n!))2

问题2:

解法一:

设A1为全部不能取回自己帽子的方案集合, A2为全部不能取回自己雨伞的方案集合,有: |A1| = |A2| = n!×n!(1/2!+1/3!-...+(-1)n/n!)

全部同时不能取回帽子和雨伞的方案数为: |A1|∩|A2| = (n!(1/2!+1/3!-...+(-1)n/n!))2

题目所求为|A1|U|A2|, 根据公式:

|A1|U|A2| = |A1| + |A2| - |A1|∩|A2|

= (2(n!) - n!(1/2!+1/3!-...+(-1)n/n!))×n!(1/2!+1/3!-...+(-1)n/n!)

解法二:

没有人能同时拿回他原来的两件物品, 分为四种情况: 1)帽子拿错但雨伞没错; 2) 雨伞拿错但帽子没错; 3)有k个人拿错帽子,n-k个人拿错雨伞, k=2,…,n-2; 4)所有人两样东西全部拿错(此情况就是第一问),根据错排公式以及加法原理, 所求解为:

2(n!(1/2+1/3-...+(-1)n/n!)) + (n!(1/2!+1/3!-...+(-1)n/n!))2 +

∑C(n,k)×k!(1/2+...+(-1)k/k!)×(n-k)! (1/2+...+(-1)n-k/(n-k)!

{k=2,……,n-2}