数学必修1讲义
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
2、集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
3、元素与集合的关系：
（1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于A，记作：
（2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于A，记作:
4、集合的表示：
*用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
*常用数集及其记法：
非负整数集(即自然数集)记作：N
正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}
（2）图示法：Venn图
（3）描述法(数学式子描述和语言描述）：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一
般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}
5、集合的分类：
（1）有限集含有有限个元素的集合
（2）无限集含有无限个元素的集合
(3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝
二、集合间的基本关系
1、包含关系
（1）子集：真子集或相等
（2）真子集
2、相等关系：元素相同
两个结论：任何一个集合是它本身的子集,即A A
对于集合A,B,C,如果 A B, B C ,那么 A C
3、空集
结论：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的
真子集
*集合子集公式：含n个元素的集合子集有2?个，真子集有2?-1个
三、集合的基本运算
1、并集
2、交集
*性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∩B=A, A ∩B=B
AUA=A, AUΦ=A,AUB=BUA ,AUB包含A, AUB 包含B
3、全集和补集
*性质：CU(CUA)=A，(CUA)∩A=Φ，(CUA)∪A=U，(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB)，(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B)选择补充：集合中元素的个数：
四、函数有关概念
1、函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．
（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3、函数的表示方法：
（1）解析法：明确函数的定义域
（2）图像法：确定函数图像是否连续，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征
4、函数图象知识归纳：
(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，
y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法： A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。
（3）函数图像变换的特点：
1）函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x) 2）函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x)
3）函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)
五、求函数解析式、定义域、值域
1、函数解析式子的求法：
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1）待定系数法：用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些
特征求其解析式的题目。
2）换元法：用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
3）配凑法：已知复合函数的表达式，要求解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。
配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。所以求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
4) 消元法：题给条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。
消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f(1/x)；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。