人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题(含答案) (48)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形

练习题（含答案)

已知,如图△ABC中,∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F. 求证：BF=AC；

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可.

【详解】

证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，

∴∠A+∠ABE=90°,∠ABE+∠DFB=90°，

∴∠A=∠DFB，

∵∠ABC=45°,∠BDC=90°，

∴∠DCB=90°?45°=45°=∠DBC，

∴BD=DC，

在△BDF和△CDA中

∵

BDF CDA

A DFB

BD DC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BDF≌△CDA(AAS)，

∴BF=AC；

【点睛】

此题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.

72．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．求证：△ABE≌△CBD；

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证.

【详解】

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，

在△ABE和△CBD中，

AB CB ABE CBD BE BD =??∠=∠??=?

， ∴△ABE ≌△CBD(SAS)；

【点睛】

此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.

73．如图，已知点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AC ∥DE ，BE=FC ，

∠A=∠D ，

(1) 求证：AB=DF ；(2)求证：AB ∥DF ；(3)若BC=9,EC=5，求BF 的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）13.

【解析】

【分析】

（1）由条件证明△ABC ≌△DFE 即可求得AB=DF ；

（2）由(1)可知，∠ABC=∠DFE ，即可判定平行.

（3）由全等三角形的性质可得BC=FE ，再利用线段的长和差可求得BF ．

【详解】

证明：(1)∵AC ∥DE

∴∠ACB=∠DEF

∵BE=FC

∴BE+EC=FC+EC

∴

BC=FE

在△ABC 和△DFE 中，

A D AC

B DEF B

C FE ∠=∠??∠=∠??=?

∴△ABC ≌△DFE （AAS ）

∴AB DF =AB=DF

(2)由(1)可知，△ABC ≌△DFE

∴∠ABC=∠DFE

∴AB ∥DF

(3) 由(1)可知，△ABC ≌△DFE

∴BC=FE

又∵BC=9，EC=5

∴CF=EF-EC=4

∴BF=BC+CF=9+4=13.

答：BF 的长为13.

【点睛】

此题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理.

74．如图，在四边形ABCD 中，AD =DC ，DF 是∠ADC 的平分线，AF ∥BC ，连接AC ，CF ．求证：CA 是∠BCF 的平分线．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据SAS 证明△ADF ≌△CDF ，再根据全等三角形的性质证明即可．

【详解】

证明：∵DF 是∠ADC 的平分线，

∴∠CDF ＝∠ADF ．

又∵AD ＝DC ，DF ＝DF ，

在△ADF 与△CDF 中，

AD DC CDF ADF DF DF =??∠=∠??=?

， ∴△ADF ≌△CDF ，

∴AF ＝CF ，

∴∠ACF ＝∠CAF ．

∵AF ∥CB ，

∴∠CAF ＝∠ACB ，

∴∠ACF ＝∠ACB ，即CA 平分∠BCF

【点睛】

本题考查三角形全等的证明以及平行线的性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键.

75．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BC ＝12厘米，点D 为AB 上一点且BD ＝8厘米，点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向

C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

（1）用含t的式子表示PC的长为；

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

【答案】（1）（12﹣2t）cm；（2）全等，理由详见解析；（3）点Q的运动厘米/秒时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等．

速度是8

3

【解析】

【分析】

（1）先表示出BP，然后利用PC＝BC﹣BP即可得到答案；

（2）利用速度时间与路程的关系，分别求出两个三角形中的边的长度，再利用SAS判定两个三角形全等；

（3）根据全等三角形应满足的条件探究边之间的关系，再根据路程公式，先求得P点的运动时间，再求Q得运动速度.

【详解】

解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝12﹣2t；

故答案为（12﹣2t）cm．

（2）当t＝2时，BP＝CQ＝2×2＝4厘米，∵BD＝8厘米．

又∵PC＝BC﹣BP，BC＝12厘米，

∴PC＝12﹣4＝8厘米，

∴PC＝BD，

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BPD和△CQP中，

BD PC

B C BP CQ

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BPD≌△CQP（SAS）；

③∵v P≠v Q，

∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，∴BP＝PC＝6cm，CQ＝BD＝8cm，

∴点P，点Q运动的时间t＝PB

2

＝6

2

＝3秒，

∴V Q＝CQ

t ＝8

3

厘米/秒．

即点Q的运动速度是8

3

厘米/秒时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等．【点睛】

本题考查全等三角形的的判定，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键.

76．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1:3，△FBQ的面积等于3，求△AQE的面积；

（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1:3，△FEQ的面积等于3，求△AQE的面积．【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）9；（3）3

.

4

【解析】

【分析】

（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EA=BD，再证明△AEQ≌△BDQ，所以AE=BD，CE=BF，又因为CE：AE＝1:3，从而得BF:BD=1:3,即△FBQ的面积：△DBQ的面积=1:3，计算△DBQ的面积=9,从而求解；(3)方法同（2）证出Rt△AEC≌Rt△CFB，连接CQ, 由AE：CE＝1:3，得CF：CE＝

1:3，再根据高相等的三角形面积比等于底的比得出△CFQ 的面积与△EFQ 的面积面积比，从而求出△CFQ 的面积，然后根据SAS 证明 △QAE ≌△QCF ，从而求解.

【详解】

解：（1）当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是AE ∥BF ，QE 与QF 的数量关系是AE=BF ，

理由是：∵Q 为AB 的中点，

∴AQ=BQ ，

∵AE ⊥CQ ，BF ⊥CQ ，

∴AE ∥BF ，∠AEQ=∠BFQ=90°，

在△AEQ 和△BFQ 中，

AQE BQF AEQ BFQ

AQ BQ ∠∠??∠∠???

＝＝，＝

∴△AEQ ≌△BFQ ，

∴QE=QF ， 故答案为：AE ∥BF ，QE=QF ；

(2) 延长EQ 交BF 于D ，如图2：

∵由（1）知：AE ∥BF ，

∴∠AEQ=∠BDQ ，

在△AEQ 和△BDQ 中，

AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠∠??∠∠???

＝＝＝ ∴△AEQ ≌△BDQ ，

∴AE=BD,

∵∠ACE+∠FCB=∠FCB+∠CBF=90°

∴∠ACE =∠CBF

又∵∠AEC=∠CFB=90°，AC=CB,

∴△AEQ ≌△BDQ

∴AE=BD ，CE=BF

又∵CE ：AE ＝1:3，∴BF:BD=1:3,即△FBQ 的面积：△DBQ 的面积=1:3 又∵△FBQ 的面积等于3，∴△DBQ 的面积=9,

∵△AEQ ≌△BDQ ，

∴△AEQ 的面积=9；

（3）图形如下：连接CQ,

方法同（2）可得：Rt △AEC ≌Rt △CFB(一线三等角)，

∴AE=CF，EC=FB，∠EAC=∠FCB,

∵AE：CE＝1:3，

∴CF：CE＝1:3，

∴△CFQ的面积：△ECQ的面积=1:3，△CFQ的面积：△EFQ的面积=1:4，△FEQ的面积等于3，

即：△CFQ的面积=3

4

，

∵Q为斜边AB的中点，AC=BC,

∴CQ=AQ，∠QAC=∠QCB=45°，

∴∠EAC+∠QAC =∠FCB+∠QCB，

即∠QAE=∠QCF

∴△QAE≌△QCF (SAS)

∴△AQE的面积=△CFQ的面积=3

4，

【点睛】

本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

77．如图，在△ABC中，AB=CB，∠BAC＝∠BCA＝45°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BF．∠CAE=30°，求∠ACF的度数．

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】

由∠BAC=∠BCA=45°，可得△ABC 为等腰直角三角形，则可得到

∠BAE=15°，再根据Rt △ABE ≌Rt △CBF 得到∠BCF=∠BAE=15°，然后根据∠ACF=∠BCF+∠BCA 进行计算．

【详解】

解：∵∠BAC ＝∠BCA ＝45°，

∴∠ABC=∠FBC=90°，

∴在Rt △ABE 和Rt △CBF 中

90AB CB EBA FBC BE BF ??∠=∠=?

???

＝，＝

∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，

∵∠CAE=30°，

∴∠BAE=45°-30°=15°，

∵Rt △ABE ≌Rt △CBF ，

∴∠BCF=∠BAE=15°， ∴∠ACF=∠BCF+∠BCA=15°+45°=60°．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、

“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．

78．在ABC ?中，AB AC =，60A ∠=，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上

（点D 、点E 不与所在线段端点重合），BD CE =，连接BE ，

CD .射线CF AB ∥，延长BE 交射线CF 于点M ，点N 在直线CD 上，且MN CN =.

（1）如图1所示，点N 在DC 的延长线上，求BMN ∠的度数.

（2）若()090A αα∠=<≤，其它条件不变，当点N 在DC 的延长线上时，BMN ∠=______；当点N 在CD 的延长线上时，BMN ∠=______.（用含α的代数式表示）

【答案】(1)120o ;(2)180o -α,α

【解析】

【分析】

(1)先证明△ABE ≌△ACD 得到∠AEB ＝∠ADC ，再由平行线的性质得到∠A=∠ECM,∠ADC+∠ACD+∠ECM=180o ，∠ADC ＝∠MCN ，综合可得∠EMN ＝∠ACD+∠ADC ，再根据三角形内角和即可求得;

(2) 当点N 在DC 的延长线上时，求解方法与（1）相同；当点N 在CD 的延长线上时，与（1）方法相同先证明∠ACD ＝∠EMC ，再由MN CN =可得∠ACD+∠ECM ＝∠NME+∠EMC ，再代相等的量代入即可得到∠NME ＝∠A ，

即可求得.

【详解】

（1）∵BD CE =，AB AC =，

∴AD ＝AE ，

在△ABE 和△ACD 中

AB AC A A AE AD =??∠=∠??=?

， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），

∴∠AEB ＝∠ADC ，

又∵∠AEB ＝∠MEC(对顶角相等),

∴∠ADC ＝∠MEC,

∵CF//AB,∠ADC ＝∠MCN ，

∴∠A=∠ECM,∠ADC+∠ACD+∠ECM=180o , ∠ADC ＝∠MCN ， 又∵∠EMC+∠ECM+∠MEC ＝180o （三角形内角和为180o ）, ∴∠ADC+∠ACD ＝∠EMC+∠MEC ，

又∵∠ADC ＝∠MEC （已证）,

∴∠ACD ＝∠EMC ，

又∵MN ＝CN ，

∴∠NCM ＝∠NMC ，

又∵∠ADC ＝∠MCN （已证），

∴∠ADC ＝∠NMC ，

又∵∠ACD ＝∠EMC ，∠EMN ＝∠ECM+∠NMC ，

∴∠EMN＝∠ACD+∠ADC，

在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠A＝180o,

∴∠EMN＝∠ACD+∠ADC=180o-∠A,

又∵∠A＝60o,

∴∠EMN＝180o-60o=120o.即∠BMN＝120o;

(2) 当点N在DC的延长线上时，如图1所示：由（1）得∠EMN＝180o-∠A，又∵()

Aαα

∠=<≤，

090

∴∠EMN＝180o-α,即∠BMN＝180o-α；

当点N在CD的延长线上时，如图所示：

由（1）可得∠ACD＝∠EMC，

∵CF//AB,

∴∠A=∠ECM,

∵NC＝MN，

∴∠NCM＝∠NMC，

又∵∠NCM＝∠ACD+∠ECM，∠NMC＝∠NME+∠EMC，

∴∠ACD+∠ECM ＝∠NME+∠EMC ，

∴∠ECM ＝∠NME ，

又∵∠A=∠ECM,

∴∠NME ＝∠A ，

又∵∠A ＝a ,

∴∠NME ＝a,即∠BMN ＝a.

【点睛】

考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用相关性质求证到∠ACD ＝∠EMC ．

79．如图所示，在Rt ABC ?中，AC BC <，90ACB ∠=，点D 在BC 上，CD CA =，点E 在AB 上，连接CE ，DE ，过点C 作CF CE ⊥交BA 的延长线于点F .若180CAB CDE ∠+∠=，DE 与AF 相等吗？请说明理由.

【答案】DE=AF,理由见解析

【解析】

【分析】

先证明∠DCE ＝∠ACF 、∠CDE ＝∠CAF ，再根据AAS 证明△CDE ≌△CAF ，

从而得到DE ＝AF.

【详解】

∵90ACB ∠=，CF CE ⊥,

∴∠DCE+∠ECA=90o ,∠ACF+∠ECA=90o ,

∴∠DCE=∠ACF,

∵180CAB CDE ∠+∠=,∠CAE+∠CAF=180o ,

∴∠CAF=∠CDE,

在△CDE 和△CAF 中，

CAF CDE DCE ACF CD CA ∠=∠??∠=∠??=?

， ∴△CDE ≌△CAF （AAS ），

∴DE ＝AF.

【点睛】

考查了全等三角形的判定和性质，解题关键利用同角的补角相等和同角的余角相等证明∠DCE=∠ACF 、∠CAF=∠CDE.

三、填空题

80．如图，已知BD=DC,∠1=∠2，则，

AB=___________,∠B=________________。

【答案】AC ∠C

【解析】

【分析】

本题证明△ADB ≌△ADC ，对应边相等，对应角相等.

【详解】

解：∵∠1=∠2 ∴∠ADB=∠ADC, 在△ADB 和△ADC 中 AD AD ADB ADC BD CD =??∠=∠??=?

∴△ADB ≌△ADC （SAS ） ∴AB=AC,∠B=∠C.

【点睛】

证明△ADB ≌△ADC 是解此题的关键.