2016年江苏高考卷 文科数学 (原题+解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学

本卷满分200分,考试时间150分钟.

参考公式:

样本数据x1,x2,…,x n的方差s2=1

n

∑

i=1

n

(x i-x)2,其中x=1

n

∑

i=1

n

x i.

棱柱的体积V=Sh,其中S是棱柱的底面积,h是高.

棱锥的体积V=1

3

Sh,其中S是棱锥的底面积,h是高.

数学Ⅰ(共160分)

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.

1.已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2

2.复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.

3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x 2

7-y

2

3

=1的焦距是.

4.已知一组数据4.7,4.8,

5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.

5.函数y=√3-2x-x2的定义域是.

6.下图是一个算法的流程图,则输出的a的值是.

7.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2

次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .

8.已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22

=-3,S 5=10,则a 9的值是 .

9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x 的图象与y=cos x 的图象的交点个数是 . 10.如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b

2与椭圆交于

B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .

11.设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={x +a,-1≤x <0,|25-x|,0≤x <1,其中a ∈R .

若f (-5

2)=f (9

2),则f(5a)的值是 .

12.已知实数x,y 满足{x -2y +4≥0,

2x +y -2≥0,3x -y -3≤0,

则x 2+y 2的取值范围是 .

13.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E,F 是AD 上的两个三等分点,BA ????? ·CA ????? =4,BF ????? ·CF ????? =-1,则BE ????? ·CE

????? 的值是 .

14.在锐角三角形ABC 中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C 的最小值是 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)

在△ABC 中,AC=6,cos B=4

5,C=π

4. (1)求AB 的长; (2)求cos (A -π

6)的值.

16.(本小题满分14分)

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.

求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

17.(本小题满分14分)

现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.

(1)若AB=6 m,PO 1=2 m,则仓库的容积是多少?

(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO 1为多少时,仓库的容积最大?

18.(本小题满分16分)

如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).

(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程; (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程; (3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA

????? +TP ????? =TQ ????? ,求实数t 的取值范围.

19.(本小题满分16分)

已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).

(1)设a=2,b=1

2

.

①求方程f(x)=2的根;

②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;

(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.

20.(本小题满分16分)

记U={1,2,…,100}.对数列{a n}(n∈N*)和U的子集T,若T=?,定义S T=0;若T={t1,t2,…,t k},定义

S T=a t

1+a t

2

+…+a t

k

.例如:T={1,3,66}时,S T=a1+a3+a66.现设{a n}(n∈N*)是公比为3的等比数列,

且当T={2,4}时,S T=30.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T?{1,2,…,k},求证:S T

(3)设C?U,D?U,S C≥S D,求证:S C+S C∩D≥2S D.

数学Ⅱ(附加题,共40分)

21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)

如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD ⊥AC,D 为垂足,E 是BC 的中点. 求证:∠EDC=∠ABD.

B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵A =[1 20-2],矩阵B 的逆矩阵B -1=[1 -1

2

0 2],求矩阵AB .

C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =1+1

2

t,

y =√3

2

t

(t 为参数),椭圆C 的参数方程为{x =cosθ,y =2sinθ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,求线段AB 的长.

D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分) 设a>0,|x-1|

3,|y-2|

3,求证:|2x+y-4|

【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

22.(本小题满分10分)

如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y 2=2px(p>0). (1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程; (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证:线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p); ②求p 的取值范围.

23.(本小题满分10分)

(1)求7C 63-4C 74

的值;

(2)设m,n ∈N *,n ≥m,求证:

(m+1)C m m +(m+2)C m+1m +(m+3)C m+2m +…+n C n -1m +(n+1)C n m =(m+1)C n+2m+2.

2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

一、填空题

1.答案{-1,2}

解析∵A={-1,2,3,6},B={x|-2

∴A∩B={-1,2}.

2.答案5

解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i 2=5+5i,所以z的实部为5.

3.答案2√10

解析由x2

7-y2

3

=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c=√10,所以2c=2√10.

4.答案0.1

解析x=4.7+4.8+5.1+5.4+5.5

5

=5.1,

则该组数据的方差

s2=(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2

5

=0.1.

5.答案[-3,1]

解析若函数有意义,则3-2x-x 2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.

6.答案9

解析代值计算,第一次运行后,a=5,b=7,第二次运行后,a=9,b=5,a>b,从而输出的a值为9.

7.答案5

6

解析先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

……

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个.

其中点数之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个.从而点数之和小于10

的数对共有30个,故所求概率P=30

36=5 6 .

8.答案20

解析设等差数列{a n}的公差为d,则由题设可得{a1+(a1+d)2=-3,

5a1+5×4

2

d=10,解得{

d=3,

a1=-4,

从而a9=a1+8d=20.

9.答案7

解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=cos x在区间[0,3π]上的图象(如图).由图象可知,共有7个交点.

10.答案√6

3

解析由已知条件易得B(-√3

2a,b

2

),C(√3

2

a,b

2

),

F(c,0),∴BF

????? =(c +√3

2a,-b

2),CF ????? =(c -√32a,-b 2

), 由∠BFC=90°,可得BF ????? ·CF ????? =0, 所以(c -√3

2

a)(c +

√3

2

a)+(-b 2)2

=0,

c 2-34

a 2+14

b 2=0, 即4

c 2-3a 2+(a 2-c 2)=0, 亦即3c 2=2a 2, 所以c 2

a

2=2

3

,则e=c

a

=√6

3

.

11.答案 -2

5

解析 ∵f(x)是周期为2的函数,∴f (-5

2)=f (-2-1

2)=f (-1

2),f (9

2)=f (4+1

2)=f (1

2),又∵f (-5

2)=f (9

2),所以f (-1

2)=f (1

2),即-1

2+a=1

10,解得a=3

5,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+3

5=-2

5

.

12.答案 [45,13]

解析 画出不等式组{x -2y +4≥0,

2x +y -2≥0,3x -y -3≤0

表示的可行域如图:

由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x 2+y 2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x 2+y 2)max =22+32=13,(x 2+y 2)min =d 2=(

√5

)2=4

5,其中d 表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,

所以x 2+y 2的取值范围为[4

5,13].

13.答案 7

8

解析 由已知可得BE ????? =BD ?????? +DE ????? =12

BC ????? +23

DA ????? =12

BC ????? -23

AD ????? =1

2

(AC

????? -AB ????? )-13

(AB ????? +AC ????? )=16

AC ????? -56

AB ????? , CE ????? =CD ????? +DE ????? =12

CB ????? +23

DA ????? =12

CB ????? -23

AD ????? =1

2

(AB ????? -AC ????? )-13

(AB ????? +AC ????? )=16

AB

????? -56

AC ????? , BF ????? =BD ?????? +DF ????? =12BC ????? +13DA ????? =1

2(AC ????? -AB ????? )-16

(AB ????? +AC ????? ) =13AC ????? -2

3

AB ????? , CF ????? =CD ????? +DF ????? =12CB ????? +13DA ????? =1

2(AB ????? -AC ????? )-16(AB ????? +AC ????? )=13AB ????? -23

AC ????? , 因为BA ????? ·CA ????? =4,所以AB ????? ·AC

????? =4, 则BF ????? ·CF ????? =(13AC ????? -23AB ????? )·(1

3AB ????? -23AC ????? ) =1

9

AB ????? ·AC ????? -29

AB ????? 2-29

AC ????? 2+49

AB ????? ·AC ????? =5

9

AB ????? ·AC ????? -29

(AB ????? 2+AC ????? 2)=59

×4-29

(AB ????? 2+AC ????? 2)=-1, 所以AB ????? 2+AC ????? 2=292

, 从而BE ????? ·CE ????? =(16AC ????? -56AB ????? )·(1

6AB ????? -56

AC ????? ) =-536AB ????? 2-536AC ????? 2+26

36

AB ????? ·AC ????? =-5

36(AB ????? 2+AC ????? 2)+2636

AB ????? ·AC ????? =-5

36×292+26

36×4 =6372=7

8.

14.答案8

解析∵sin A=2sin Bsin C,

∴sin(B+C)=2sin Bsin C,

即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,亦即tan B+tan C=2tan Btan C,

∵tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)

=-tanB+tanC 1-tanBtanC =tanB+tanC 1-tanBtanC

,

又△ABC为锐角三角形,

∴tan A=tanB+tanC

tanBtanC-1

>0,tan B+tan C>0,∴tan Btan C>1,

∴tan Atan Btan C=tanB+tanC

tanBtanC-1

·tan B·tan C

=2(tanBtanC)2

tanBtanC-1

,

令tan Btan C-1=t,则t>0,∴tan Atan Btan C=2(t+1)2

t =2(t+1

t

+2)≥2×(2+2)=8,当且仅当t=1

t

,即

tan Btan C=2时,取“=”.

∴tan Atan Btan C的最小值为8.

二、解答题

15.解析(1)因为cos B=4

5,0

5

)

2

=3

5

.

由正弦定理知AC

sinB =AB

sinC

,所以AB=AC·sinC

sinB

=6×

√2

2

3

5

=5√2.

(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),

于是cos A=-cos(B+C)=-cos(B+π

4)=-cos Bcosπ

4

+sin B·sinπ

4

,

又cos B=4

5,sin B=3

5

,故cos A=-4

5

×√2

2

+3

5

×√2

2

=-√2

10

.

因为0

10

.

因此,cos(A-π

6)=cos Acosπ

6

+sin Asinπ

6

=-√2

10

×√3

2

+7√2

10

×1

2

=7√2-√6

20

.

16.证明(1)在直三棱柱ABC-A 1B1C1中,A1C1∥AC.

在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,

所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.

又因为DE?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,

所以直线DE∥平面A1C1F.

(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.

因为A1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.

又因为A1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.

因为B1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.

又因为B1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,

所以B1D⊥平面A1C1F.

因为直线B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

17.解析(1)由PO 1=2知O1O=4PO1=8.

因为A 1B 1=AB=6,

所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积

V 锥=1

3

·A 1B 12

·PO 1=1

3

×62×2=24(m 3);

正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱=AB 2·O 1O=62×8=288(m 3).

所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312(m 3).

(2)设A 1B 1=a(m),PO 1=h(m),则0

因为在Rt △PO 1B 1中,O 1B 12+P O 12=P B 12,

所以(√2a

2

)2

+h 2=36,

即a 2=2(36-h 2). 于是仓库的容积

V=V 柱+V 锥=a 2·4h+1

3a 2·h=13

3a 2h=26

3(36h-h 3),0

3(36-3h 2)=26(12-h 2).

令V'=0,得h=2√3或h=-2√3(舍). 当00,V 是单调增函数; 当2√3

18.解析 圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5. (1)由圆心N 在直线x=6上,可设N(6,y 0). 因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以0

因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. (2)因为直线l ∥OA,所以直线l 的斜率为4-0

2-0=2.

设直线l 的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0, 则圆心M 到直线l 的距离 d=

√5

=

√5

.

因为BC=OA=√22+42=2√5, 而MC 2=d 2+(BC 2)2

, 所以25=

(m+5)2

5+5,解得m=5或m=-15.

故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

(3)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 因为A(2,4),T(t,0),TA ????? +TP ????? =TQ ????? ,

所以{x 2=x 1+2-t,y 2=y 1+4.

①

因为点Q 在圆M 上,所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.② 将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.

于是点P(x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤√[(t +4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-2√21≤t ≤2+2√21.

因此,实数t 的取值范围是[2-2√21,2+2√21]. 19.解析 (1)因为a=2,b=1

2, 所以f(x)=2x +2-x .

①方程f(x)=2,即2x +2-x =2,亦即(2x )2-2×2x +1=0, 所以(2x -1)2=0,于是2x =1,解得x=0.

②由条件知f(2x)=22x +2-2x =(2x +2-x )2-2=(f(x))2-2. 因为f(2x)≥mf(x)-6对于x ∈R 恒成立,且f(x)>0, 所以m ≤(f(x))2+4f(x)

对于x ∈R 恒成立.

而

(f(x))2+4f(x)

=f(x)+4

f(x)≥2√f(x)·4

f(x)=4,且

(f(0))2+4f(0)

=4,

所以m ≤4,故实数m 的最大值为4.

(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a 0+b 0-2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点.

因为g'(x)=a x ln a+b x ln b,又由01知ln a<0,ln b>0, 所以g'(x)=0有唯一解x 0=lo g b a

(-lna

lnb ).

令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a x ln a+b x ln b)'=a x (ln a)2+b x (ln b)2,

从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)g'(x0)=0.因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.下证x0=0.

若x0<0,则x0

2<0,于是g(x0

2

)a log a2-2=0,且函数g(x)在

以x0

2和log a2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在x0

2

和log a2之间存在g(x)的零点,记为x1.

因为0

又x0

2

<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.

若x0>0,同理可得,在x0

2

和log b2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.

于是-lna

lnb

=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.

20.解析(1)由已知得a n=a1·3n-1,n∈N*.

于是当T={2,4}时,S T=a2+a4=3a1+27a1=30a1.

又S T=30,故30a1=30,即a1=1.

所以数列{a n}的通项公式为a n=3n-1,n∈N*.

(2)因为T?{1,2,…,k},a n=3n-1>0,n∈N*,

所以S T≤a1+a2+…+a k=1+3+…+3k-1=1

2

(3k-1)<3k.

因此,S T

(3)下面分三种情况证明.

①若D是C的子集,则S C+S C∩D=S C+S D≥S D+S D=2S D.

②若C是D的子集,则S C+S C∩D=S C+S C=2S C≥2S D.

③若D不是C的子集,且C不是D的子集.

令E=C ∩?U D,F=D ∩?U C,则E ≠?,F ≠?,E ∩F=?.

于是S C =S E +S C ∩D ,S D =S F +S C ∩D ,进而由S C ≥S D 得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数,l 为F 中的最大数,则k ≥1,l ≥1,k ≠l.

由(2)知,S E

S F ≤a 1+a 2+…+a l =1+3+…+3l-1=

3l -12

≤

3k -1-12

=

a k -12

≤

S E -12

,

故S E ≥2S F +1,所以S C -S C ∩D ≥2(S D -S C ∩D )+1, 即S C +S C ∩D ≥2S D +1. 综合①②③得,S C +S C ∩D ≥2S D .

21.A.证明 在△ADB 和△ABC 中, 因为∠ABC=90°,BD ⊥AC,∠A 为公共角, 所以△ADB ∽△ABC,于是∠ABD=∠C. 在Rt △BDC 中,因为E 是BC 的中点, 所以ED=EC,从而∠EDC=∠C. 所以∠EDC=∠ABD.

B.解析 设B =[a

c

b d

],

则B -1B =[1 -1

20 2][a

c

b

d

]=[1

0 01

],

即[a -12

c 2c b -12

d

2d

]=[10

01

],

故{ a -1

2c =1,b -12d =0,2c =0,2d =1,解得{ a =1,

b =14,

c =0,

d =12

,

所以B =[1 1

4

12]. 因此,AB =[10 2-2][1 1

40 12]=[

1 5

4

0 -1

]. C.解析 椭圆C 的普通方程为x 2+y 2

4

=1.

将直线l 的参数方程{x =1+1

2t,y =√32t 代入x 2+y 2

4

=1,得 (1+1

2t)2+

(√3

2t )

2

4

=1,即7t 2+16t=0,解得t 1=0,t 2=-16

7.

所以AB=|t 1-t 2|=167

.

D.证明 因为|x-1|

3,|y-2|

3,

所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×a 3+a

3=a.

22.解析 (1)抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为(p

2,0), 由点(p

2,0)在直线l:x-y-2=0上,得p

2-0-2=0,即p=4. 所以抛物线C 的方程为y 2=8x.

(2)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),线段PQ 的中点M(x 0,y 0).

因为点P 和Q 关于直线l 对称,所以直线l 垂直平分线段PQ, 于是直线PQ 的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b. ①由{y 2=2px,y =-x +b 消去x 得y 2+2py-2pb=0.(*)

因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点,所以y 1≠y 2, 从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0. 方程(*)的两根为y 1,2=-p±√p 2+2pb ,从而y 0=y 1+y 22

=-p.

因为M(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=2-p. 因此,线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p).