下勾股定理典型例题归类总结
勾股定理典型例题归类总结
题型一:直接考查勾股定理
例1.在ABC ?中,90C ∠=?.
⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长
跟踪练习:
1.在ABC ?中,90C ∠=?.
(1)若a=5,b=12,则c= ;
(2)若a:b=3:4,c=15,则a= ,b= .
(3)若∠A=30°,BC=2,则AB= ,AC= .
2. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 分别对的边为a ,b ,c ,则下列结论正确的是( )
A 、
B 、
C 、
D 、
3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为( )
A 、2、4、6
B 、4、6、8
C 、6、8、10
D 、3、4、5
4.等腰直角三角形的直角边为2,则斜边的长为( )
A 、
B 、
C 、1
D 、2
5.已知等边三角形的边长为2cm ,则等边三角形的面积为( )
A 、
B 、
C 、1
D 、
6.已知直角三角形的两边为2和3,则第三边的长为___________.
7.如图,∠ACB=∠ABD=90°,AC=2,BC=1,,则BD=___________.
8.已知△ABC 中,AB=AC=10,BD 是AC 边上的高线,CD=2,那么BD 等于( )
A 、4
B 、6
C 、8
D 、
9.已知Rt △ABC 的周长为,其中斜边,求这个三角形的面积。
10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积,那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广.
(1)如图,以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形,则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系?并说明理由。
(2)如图,以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆,则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系?
(3)如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系,并说明理由。(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”)
例1. 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?
跟踪练习:
1.如图(8),水池中离岸边D 点米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC.
2.一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端5米,消防车的云梯最大升长为13米,则云梯可以达该建筑物的最大高度是( )
A 、12米
B 、13米
C 、14米
D 、15米
3.如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,问小鸟至少飞行( )
A 、8米
B 、10米
C 、12米
D 、14米
题型三:勾股定理和逆定理并用——
例3. 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4
1 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么?
注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。
跟踪练习:
1. 如图,正方形ABCD 中,E 为BC 边的中点,F 点CD 边上一点,且DF=3CF ,求证:∠A EF=90°
题型四:利用勾股定理求线段长度——
例1. 如图4,已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ,将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ,求CE 的长.
跟踪练习:
1.如图,将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点B在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,求三角板的最大边AB的长.
2.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D为AC的中点,DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,(1)求证:BE=CF;(2)若AE=3,CF=1,求EF的长.
3.如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上的一点.若AD=1,BD=3,求CD的长.
题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直——
例1. 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?
跟踪练习:
1.如图,每个小正方形的边长都是1,△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上,试判断△ABC的形状,并说明理由.(1)求证:∠ABD=90°;(2)求的值
2.下列各组数中,以它们边的三角形不是直角三角形的是()
A、9,12,15
B、7,24,25
C、
D、,,
3.在△ABC中,下列说法①∠B=∠C-∠A;②;③∠A:∠B:∠C=3:4:5;④a:b:c=5:4:3;⑤::=1:2:3,其中能判断△ABC为直角三角形的条件有()
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
是直角?
(1)a=26,b=10,c=24;(2)a=5,b=7,c=9;(3)a=2,,
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
5.已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ,且满足,则此时三角形一定是( )
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、等腰直角三角形
D 、锐角三角形
6.在△ABC 中,若a=12-n ,b=2n ,c=12
+n ,则△ABC 是( )
A 、锐角三角形
B 、钝角三角形
C 、等腰三角形
D 、直角三角形
7.如图,正方形网格中的△ABC 是( )
A 、直角三角形
B 、锐角三角形
C 、钝角三角形
D 、锐角三角形或钝角三角形
8.已知在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,下列说法中,错误的是( )
A 、如果∠C-∠B=∠A,那么∠C=90°
B 、如果∠C=90°,那么
C 、如果(a+b )(a-b )=,那么∠A=90°
D 、如果∠A=30°,那么AC=2BC
9.已知△ABC 的三边分别为a ,b ,c ,且a+b=3,ab=1,,求的值,试判断△ABC 的形状,并说明理由
10.观察下列各式:,,,……,根据其中规律,写出下一个式子为_____________
11.已知,m >n ,m 、n 为正整数,以,2mn ,为边的三角形是___三角形.
12.一个直角三角形的三边分别为n+1,n-1,8,其中n+1是最大边,当n 为多少时,三角形为直角三角形?
题型六:旋转问题:
例题6. 如图,P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2,PB=求△ABC 的边长.
跟踪练习
1.如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E 、F 是BC 上的点,且∠EAF=45°,试探究222BE CF EF 、、间的关系,并说明理由.
例题7.如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.
跟踪练习
1.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿直线AD翻折,点C落在点C’的位置,BC=4,求BC’的长.
(一)折叠直角三角形
1.如图,在△ABC中,∠A = 90°,点D为AB上一点,沿CD折叠△ABC,点A恰好落在BC边上的'A处,AB=4,AC=3,求BD的长。
2. 如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5.将△ABC折叠使C与A重合,折痕为DE,求BE的长.
(二)折叠长方形
1.如图,长方形ABCD中,AB=4,BC=5,F为CD上一点,将长方形沿折痕AF折叠,点D恰好落在BC上的点E处,求CF的长。
2. 如图,长方形ABCD中,AD=8cm,AB=4cm,沿EF折叠,使点D与点B重合,点C与C'重合. (1)求
3. (2013?常德)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使边CD落在对角线AC上,折痕为CE,且D点落在对角线D′处.若AB=3,AD=4,则ED的长为()
4. 如图,长方形ABCD中,AB=6,AD=8,沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于F点. (1)求证:FB=FE (2)求证:CA′∥BD
(3)求△DBF的面积
7. 如图,正方形ABCD中,点E在边CD上,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,G为BC 的中点,连结AG、CF. (1)求证:AG∥CF;(2)求的值.
题型八:关于勾股定理在实际中的应用:
例1、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?
例2.一辆装满货物高为米,宽米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道,它能顺利通过吗?
跟踪练习:
1.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处,以每小时26km的速度向北偏东60°方向
移动,距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响?如果受影响,请求出遭受风暴影响的时间;如果没有受影响,请说明理由。
2.一辆装满货物的卡车,其外形高米,宽米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
3.有一个边长为50dm 的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少多长?(结果保留整数)
4.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?
题型九:关于最短性问题
例1、如右图1-19,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美
例2.
跟踪练习:
1.如图为一棱长为3cm 的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm ,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点,最少要花几秒钟?
2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ,3cm 和1cm ,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A 点出发,沿着台阶面爬到B 点,最短线路是多少?
3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为
8cm ,6cm ,12cm,一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗?蚂蚁要爬行的最短路程是多少?
4.如图将一根厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中,能全部放进去吗?
A 5
3
1 B
A A
3 ?
? A
(一) 直接运用30°或45°的直角三角形
1.如图,在△ABC 中,∠C = 90°,∠B = 30°,AD 是△ABC 的角平分线,若
AC=AD 的长。
2.如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,AD 是△ABC 的角平分线,CD ⊥AB 于D ,∠A= 30°,CD=2,求AB 的长。
3.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,∠B= 60°,∠,C= 45°,AC=2,求BD 的长。
(二) 作垂线构造30°或45°的直角三角形
(1) 将105°转化为45°和60°
1.如图,在△ABC 中,∠B= 45°,∠A=105°,AC=2,求BC 的长。
2.如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠C= 45°,∠ADB=∠ABC=105°,⑴若AD=2,求AB 的长;⑵若
AB+CD=,求AB 的长。
(2)将75°转化为30°和45°
3. 如图,在△ABC 中,∠B= 45°,∠BAC=75°,AB=6 ,求BC 的长。
A B D
C
题型十一:运用勾股定理列方程
(一)直接用勾股定理列方程
1. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AD 平分∠CAB 交CB 于D ,CD=3,BD=5,求AD 的长。
2. 如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,且∠CAD=2∠BAD,若BD=3,CD=8,求AB 的长。
(二)巧用“连环勾”列方程
1. 如图,在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=24,求ABC S .
2. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,CD ⊥AB 于D ,AC=3,BC=4,求AD 的长。
3. 如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,AD=1,BD=4,求AC 的长
4.如图,△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,CD=3,BD=4,求AD 的长
题型十二:勾股定理与分类讨论
(一) 锐角与钝角不明时需分类讨论
1. 在△ABC 中,AB=AC=5,,求BC 的长
2. 在△ABC 中,AB=15,AC=13,AD 为△ABC 的高,且AD=12,求△ABC 的面积。
(二)腰和底不明时需分类讨论
3.如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D为射线AC上一点,且△ABD是等腰三角形,求△ABD 的周长.
(三)直角边和斜边不明时需分类讨论
1.已知直角三角形两边分别为2和3,则第三边的长为_____________
2.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,以AB为边向外作等腰直角三角形ABD,求CD的长
3.如图,D(2,1),以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在x轴上,这样的等腰三角形能画多少个?写
出落在x轴上的顶点坐标.
题型十三:或问题的证明
1.如图1,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,D为AB的中点,M、N分别为AC、BC上一点,且DM⊥DN. (1)求证:CM+CN=BD
(2)如图2,若M、N分别在AC、CB的延长线上,探究CM、CN、BD之间的数量关系式。
2.已知∠BCD=α,∠BAD=β,CB=CD. (1)如图1,若α=β=90°,求证:AB+AD=AC;(2)如图2,若α=β=90°,求证:AB-AD=AC;(3)如图3,若α=120°,β=60°,求证:AB=AD=AC;(4)如图3,若α=β=120°,求证:AB-AD=AC;
题型十四:问题的证明
1.如图,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,M、N分别为AC、BD的中点,连MN、ON.求证:MN=ON.
2.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,AE=CF,连DE、EF. (1)如图1,若E、F分别在AB、AC上,求证:EF=DE;(2)如图2,若E、F分别在BA、AC的延长线上,则(1)中的结论是否仍成立?请说明理由.
3.如图,△ABD中,O为AB的中点,C为DO延长线上一点,∠ACO=135°,∠ODB=45°探究OD、OC、AC 之间相等的数量关系.
4.如图,△ABD是等腰直角△,∠BAD=90°,BC∥AD,BC=2AB,CE平分∠BCD,交AB于E,交BD于H.求证:
(1)DC=DA;(2)BE=DH
题型十五:勾股定理(逆定理)与网格画图
1.如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为.
2.如图,每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形,使它的三边长分别是3,2,,且三角形的三个顶点都在格点上.
3.如图,每个小正方形的边长都是1,在图中画一个边长为的正方形,且正方形的四个顶点在格点上.
4.在图中以格点为顶点画一个等腰三角形,使其内部已标注的格点只有3个.
5.如图,在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中,各有一个格点三角形,那么这4个三角形中,与众不同的是__________中的三角形,图4中最长边上的高为_____________
6.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画图:
(1)画一条线段MN,使MN=;(2)画△ABC,三边长分别为3,,2。
7.如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上.
(1)图1中以AB为腰的等腰三角形有___________个,画出其中的一个,并直接写出其底边长.
(2)图2中,以AB为底边的等腰三角形有___________个,画出其中的一个,并直接写出其底边上的高.
题型十六:利用勾股定理逆定理证垂直
1.如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,且AB=10,BD=6,AD=8,AC=7,其求CD的长.
2.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,,CD=5,AD=4,求.
3.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AB=5,AC=13,AD=6,求BC的长.
4.已知△ABC中,CA=CB, ∠ACB=α,点P为△ABC内一点,将CP绕点C顺时针旋转α得到CD,连AD.
(1)如图1,当α=60°,PA= 10,PB=6,PC=8时,求∠BPC的度数
(2)如图2,当α=90°,PA=3,PB=1,PC=2时,求∠BPC的度数
题型十七:勾股定理综合纯几何问题
1.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,∠EDF= 90°,DE交射线AC于E,DF交射线CB于F.
(1)如图1,当AC=BC时,、、之间的数量关系为__________(直接写出结果);
(2)如图2,当AC≠BC时,试确定、、之间的数量关系,并加以证明;
(3)如图3,当AC≠BC时,(2)中结论是否仍成立?
2.已知△OMN为等腰直角△,∠MON=90°,点B为NM延长线上一点,OC⊥OB,且OC=OB.
(1)如图1,连CN,求证:CN=BM;
(2)如图2,作∠BOC的平分线交MN于A,求证:
(3)如图3,在(2)的条件下,过A作AE⊥ON于E,过B作BF⊥OM于F,EA、BF的延长线交于P,请探究、、之间的数量关系式.
题型十八:勾股定理综合(二)与代数结合
1.已知点A的坐标为(1,-3),∠OAB=90°,OA=OB.
(1)如图1,求点B的坐标;
(2)如图2,AD⊥y轴于D,M为OB的中点,求DM的长;
2.已知点A、B分别在x轴、y轴上,OA=OB,点C为AB的中点,AB=12.
(1)如图1,求点C的坐标
(2)如图2,E、F分别为OA上的动点,且∠ECF=45°,求证:
(3)在图2中,若点E的坐标为(3,0),求CF的长
勾股定理题型归纳
勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 (1) 先确定最大边(如c ) (2) 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 (3) 若2 c =22b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形;若2c ≠2 2b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足2 2 b a +=2 c 的三个正整数,称为勾股数 如(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10;(4)8,15,17 (5)7,24,25 (6)9, 40, 41 勾股定理培优经典题型归纳 题型一:利用勾股定理解决实际问题 训练1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 训练2、如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响 的时间为多少?
题型二、与勾股定理有关的图形问题 训练3.如图,直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ,点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____. 题型三、关于翻折问题 训练4、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG. 训练5、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F.若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积. 训练6、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=, 求BF 的长. G A B F E D C B A
勾股定理经典例题(教师版)
勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点: 1.勾股定理 内容: 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 3.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ?中,90C ∠=?, 则 ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若 ,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若 ,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
勾股定理典型分类练习题
勾股定理典型分类练习题 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ∠=?. C ?中,90 ⑴已知6 BC=.求AB的长 AC=,8 ⑵已知17 AC=,求BC的长 AB=,15 , 变式1:已知,△ABC中,AB=17cm,BC=16cm,BC边上的中线AD=15cm,试说明△ABC 是等腰三角形。 } 变式2:已知△ABC的三边a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13, △ABC是否是直角三角形 你能说明理由吗 题型二:利用勾股定理测量长度 ) 例1如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 例2如图,水池中离岸边D点米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是米,把 芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.
| 题型三:勾股定理和逆定理并用 例3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1 那么 △DEF 是直角三角形吗为什么 ~ 题型四:旋转中的勾股定理的运用: 例4、如图,△ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与 △ACP ′重合,若AP=3,求PP ′的长。 — 变式:如图,P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 分析:利用旋转变换,将△BPA 绕点B 逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中,根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形. * P A P C B
A B D E 10 15 题型五:翻折问题 例5:如图,矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ,BC=6cm ,E 为BC 上一 点,将矩形纸片沿 AE 折叠,点B 恰好落在CD 边上的点G 处,求BE 的长. ! 变式:如图,已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ,将△ADE 折叠使点D 好落在BC 边上的点F ,求CE 的长. ( 题型6:勾股定理在实际中的应用: 例6、如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到 公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉 机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响, 已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少 % 变式:如图,铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄,若DA=10km,CB=15km , * DA ⊥AB 于A ,CB ⊥AB 于B ,现要在AB 上建一个中转站E ,使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处 —
新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已 知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分B C的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图 2. 由题意可知△AC D中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中,只知道CD =1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考): 解:如图2,根据勾股定理,AC 2+CD 2=A D2 设水深AC= x 米,那么AD =A B=AC+CB =x +0.5 x2+1.52=( x +0.5)2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A
最新勾股定理知识点与常见题型总结(1)
《勾股定理分类练习》 题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三 角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2 注意:直角三角形中,最长的边为斜边,较短的两边为直角边 1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是 2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的 边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。 3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______ “知二求一”的题,可以直接利用勾股定理! 4、在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A .25 B .14 C .7 D .7或25 1、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 2、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值. 题型三:勾股定理的逆定理: 1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .2,3,4 B .10,8,4 C .7,25,24 D .7,15,12 2、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、1 3、5 ③ 17、8 、15 ④ 4、11、9其中能构成直角三形的有: ( ) A、4组 B、3组 C、2组 D、1组 3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形 4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题 题型四、与直角三角形面积相关
勾股定理经典例题(含答案)
类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的 长. 解析:作于D,则因, ∴(的两个锐角互余) ∴(在中,如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中,
. ∴. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股定理有 . ∴ 又∵(已知), ∴. 在中,根据勾股定理有 , ∴. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析:延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4, ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三:勾股定理的实际应用(一) 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了 到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。(1)
(完整版)勾股定理典型题总结(较难)(可编辑修改word版)
勾股定理 一.勾股定理证明与拓展模型一 . 图中三个正方形面积关系 思考:如下图,以直角三角形 a 、b 、c 为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积有和关系? 例 1、有一个面积为 1 的正方形,经过一次“生长”后,在他的左右肩上上生出两个小正方形(如图 1),其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了 4 个正方形(如图 2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”;在“生长”了 2017 次后形成的图形中所有正方形的面积和是 . 变式 1:在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图 1 所示).已知斜放置的三个正方形的面积 分别是 1,1. 21,1. 44,正放置的四个正方形的面积依次是S 1 , S 2, S 3, S 4 ,则 S 1 S 4 = .
变式2:如图,四边形ABCD 中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°,且BC=2AD,以AB、BC、DC 为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,若S1=3,S3=9,求S2. (变式2)(变式3) 变式3:如图,Rt△ABC的面积为10cm2,在AB 的同侧,分别以AB,BC,AC 为直径作三个 半圆,则阴影部分的面积为. (难题)如图,是小明为学校举办的数学文化节设计的标志,在△ABC 中,∠ACB=90°, 以△ABC 的各边为边作三个正方形,点G 落在HI 上,若AC+BC=6,空白部分面积为10.5, 则阴影部分面积 模型二 A D H G B C 外弦图 E F 内弦图 例题2.四年一度的国际数学大会于 2002 年8 月20 日在北京召开,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为13 ,每个直角三角形两直角边的和是5 。求中间小正方形的面积为;
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是() A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1)題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2)解題思器;可利用勾脸定理直接求出各边长,再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中,Af=l, AE=2,根据勾股定理,得昇 EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=(鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专:* 1.勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时,要正确分析题目所给的条件,不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实,同样是S6
"不一罡就等于餌,疋不一罡就昱斜辺,KABC不一定就是直角三祐
3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形)到懺 y =沖十沪)的过程,而直角三角形的判定是一 ①从嗦(一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件)到偲个三角形是直角三角形)的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性,遊免漏辭.初 例玉如圏,有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于(、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析,本题着查勾股定理的应用刎 :)解龜思路;車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的,因为貝知遒一条边卫0的长,由题意可知,AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2>黄泱,则在Rt A ABO中,由勾股定 理可得^=^(^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl)2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程。所以,在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量,如果条件中只有一个已知量,必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系,这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想:通过列方程(组)解决问题,如:运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时,经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3:一场罕见的大风过后,学校那棵老杨树折断在地,此刻,张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道:“老师,那棵树看起来挺高的。” “是啊,有10米高呢,现在被风拦腰刮断,可惜呀!” “但站立的一段似乎也不矮,有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动,他说:“刚才我跑过时用脚步量了一下,发现树尖距离树根恰好3米,你们能求出杨树站立的那一段的高度吗?” 占明想了想说:“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角