初中数学函数知识点总结(定义、性质和图像)

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)

平面直角坐标系

1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系

2、各个象限内点的特征:

第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-）

3、坐标轴上点的坐标特征：

x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0 , 0）。 4、点的对称特征：已知点P(m,n),

关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：

平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P （x,y ）的几何意义：

点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。 点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x +

8、两点之间的距离：

X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|

||12y y -=

已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=2

12212)()(y y x x -+-

9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 2

1

2y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，

将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。

函数的基本知识：

基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的

值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断A 是否为B 的函数，只要看B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应 3、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 4、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

5.函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 6、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法

一次函数图象和性质

【知识梳理】

一、一次函数的基础知识

1、定义：一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数

当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式： y=kx+b (k≠0)

说明： ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数

2、解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)

3、图像：一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-k

b

，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,

4、增减性（单调性）： k>0，y 随x 的增大而增大（单调增）；k<0，y 随x 而增大而减小（单调减）

5、必过点：（0，b ）和（-

k

b

，0）：理由如下：y=kx+b 中， ⑴当x=o,时，y=？？ 所以，该函数经过（ ， ）点 ⑵当y=o,时，x=？？所以，该函数经过（ ， ）点 所以，一次函数y kx b =+的图象是必经过（k

b

-

，0）和（0，b ）两点的一条直线.，注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。

6、一次函数图像的画法：两点法

１、计算必过点（0，b ）和（-k

b

，0）２、描点３、连线（从左到右光滑的直线）

7、增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.

8、倾斜度(只与k 相关)：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.

9、与y 轴交点

①当b>0时直线与y 轴交于原点上方（即y 轴的正半轴）；

②当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。（即y 轴的负半轴） 10、图像的上下平移（只与b 相关）：直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.

上加下减

例如：y=2x+3, 将直线 向 平移 个单位；y=5x-6,将直线 的图象向 平移 个单位 11、一次函数

y kx b =+的图象与性质

12、两直线之间的位置关系（平行或相交）：

（）若直线：：3111222l y k x b l y k x b =+=+

①平行：当时，；当时，与交于，点。k k l l b b b l l b 121212120===//() ②相交：将两直线方程联立成一个方程组，11

22{

y k b y k b =+=+ ，解得结果，即为交点。

13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。

反比例函数图象和性质

【知识梳理】

一、反比例函数的基础知识 1、定义：一般地，形如x

k

y =

（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。 x

k

y =

还可以写成kx y =1- 2、解析式：x

k

y =

（k 为常数，） 注：反比例函数解析式的特征：

①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.②比例系数0≠k

b>0 b<0 b=0（正比例函数）

k>0

经过：第一、二、三象限 不经过：第四象限

经过：第一、三、四象限不经过：第二象限

经过：第一、三象限 不经过：第二、四象限

增减性（单调性）：图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大，单调增 k<0

经过第一、二、四象限 不经过：第三象限

经过第二、三、四象限 不经过：第一象限

经过第二、四象限 不经过：第一、三象限

增减性（单调性）：图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小，单调减

必过点：经过（k

b

-

，0）和（0，b ）两点，正比例函数即是经过原点（0，0）

③自变量x 的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母≠0） ④函数y 的取值是一切非零实数。

3、增减性（单调性）： k>0，y 随x 的增大而减小（单调减）；k<0，y 随x 增大而增大（单调增）

4、反比例函数的图象：双曲线

（1）图像的画法：描点法

① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）

（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()y x y x

==-???

??

（3）反比例函数x

k

y =

（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300k y x k y x >

???

（4）比例系数k 的几何含义（右图）：反比例函数y ＝k

x

(k≠0)中比例系数k 的 几何意义，即过双曲线y ＝

k

x

(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分 别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积(阴影面积)为 k . （由y ＝

k

x

变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以k 取绝对值。） 5、反比例函数性质如下表：

k 的符号

k ＞0

k ＜0

图像的大致位置

经过象限

第 象限

第 象限

增减性（单调性：单调区间内讨论）

在每一象限内，从左到右看，y 随x 的增大而减小 ；

（-∞，0）U （0，+∞）区间内，单调减

在每一象限内,从左到右看 y 随x 的增大而增大

（-∞，0）U （0，+∞）区间内，单调增

图像的对称性

中心称图形，对称中心是原点；

同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=-x

o

y

x

y

x

o

二次函数图象和性质

【知识梳理】

一、二次函数的基础知识：

1．定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．

二次函数的定义域（x 的取值范围）：全体实数，R ．

2. 解析式（表达式）：一般式：2y ax bx c =++（0a ≠，a b c ，，是常数）

： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

222

244,-2424b ac b b ac b y ax bx c a a a a

--=+++对于二次函数，经过配方变形为顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）

补充：⑴二次函数解析式的表示方法（三种）

①一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

②顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；[抛物线的顶点P （h ，k ）]

222

244,-2424b ac b b ac b y ax bx c a a a a

--=+++对于二次函数，经过配方变形顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）

③两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

[仅限于与x 轴有两个交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线，即△≥0]

其中221244,22b b ac b b ac

x x a a

-+----== (即一元二次方程求根公式)

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

22212444h=-,2422b ac b b b ac b b ac

x x a a a a

--+----== k=

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

⑵二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =

-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前

者，即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ???

，其中2424b ac b h k a a -=-=

，． 3、二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

4、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：

① 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及

顶点坐标;

② ②然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，

关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

3、二次函数的图像：抛物线

（1）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线2x b

a

对称轴：直线 =-

,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）

（2）抛物线有一个顶点P ，2

4-24b ac b a a

-坐标为P （，）

当-

2b

a

=0时，P 在y 轴上；当Δ= 24b ac -=0时，P 在x 轴上。 4、a.b.c 与抛物线的关系（a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项） （1）a 决定抛物线的开口方向和大小：

开口方向：a 为正(a ＞0)，开口朝上，有最小值；

a 为负(a ＜0)，开口朝下，有最大值；

开口大小：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（2）a 、b 共同决定x 2b a

对称轴：直线 =-

ab 的符号决定对称轴a

b

x 2-

=的位置，分两种情况： ①当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左侧； ②当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右侧。

概括的说就是“左同右异”

（3）常数项c 决定抛物线与y 轴交点。

抛物线与y 轴交于（0，c ），分三种情况：

y=5x 2 y=x 2

x

y

y x

O ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．

总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 6、抛物线与x 轴交点个数

Δ= 24b ac -＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。A （x 1,0）和B （x 2,0） Δ=24b ac -=0时，抛物线与x 轴有1个交点。顶点P )0,2(a

b

- Δ= 24b ac -＜0时，抛物线与x 轴没有交点。

配图：开口向上(开口向下，情况类似)

7、类比一元二次方程的根的情况：

特别地，二次函数（以下称函数）2y ax bx c =++

当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即20ax bx c ++= 此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。

8、二次函数2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ???

的图像和性质

a ＞0

a ＜0

图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标

最 值 当x ＝ 时， y 有最 值，y 当x ＝ 时， y 有最 值，y 增减性

在对称轴左

侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右

侧

y 随x 的增大而

y 随x 的增大而

y

△=0

x △＜0

y x

△＞0 y

x

A

B P