中考数学复习专题 二次函数的应用

专题15 二次函数的应用

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?2年中考

【20XX 年题组】

1．（2015六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（ ）

A ．60m2

B ．63m2

C ．64m2

D ．66m2

【答案】C ．

考点：1．二次函数的应用；2．应用题；3．二次函数的最值；4．二次函数的最值．

2．（2015铜仁）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角

坐标系，其函数的关系式为

2125y x =-

，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面

宽度AB 为（ ）

A ．﹣20m

B ．10m

C ．20m

D ．﹣10m

【答案】C．

考点：二次函数的应用．

3．（2015潍坊）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）

A

cm2 B

C

D

cm2

【答案】C．

【解析】

试题分析：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形，∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，∵AO=AO，OD=OK，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL），∴∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以

求出

AD=，∴

DE=6-，∴纸盒侧面积

=3(6)

x-

==

2

x

-

，∴当

选C．

考点：1．二次函数的应用；2．展开图折叠成几何体；3．等边三角形的性质；4．最值问题；

5．二次函数的最值；6．综合题．

4．（2015金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线16)80(40012+--=x y ，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）

A ．40916

米 B ．417米 C ．40716米 D ．415米

【答案】B ．

考点：二次函数的应用．

5．（2015温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m ，则能建成的饲养室面积最大为 m2．

【答案】75．

考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．

6．（2015营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．

【答案】22．

【解析】

试题分析：设定价为x 元，根据题意得：y=（x ﹣15）[8+2（25﹣x ）]=

22(22)98x --+，∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x=22时，y 最大值=98．故答案为：22． 考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题．

7．（2015朝阳）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）与足球被踢出后经过的时间t （s ）之间具有函数关系2

19.6h at t =+，已知足球被踢出后经过4s 落地，则足球距地面的最大高度是 m ．

【答案】19.6．

【解析】

试题分析：由题意得：t=4时，h=0，因此0=16a+19.6×4，解得：a=﹣4.9，∴函数关系为

24.919.6h t t =-+=24.9(2)19.6t --+，所以足球距地面的最大高度是：19.6（m ），故答案为：19.6．

考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题．

8．（2015玉林防城港）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y （千克）与销售价x （元/千克）存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；

（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）260y x =-+；（2）当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．

考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．

9．（2015南通）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y 元．

（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

【答案】（1）y=2100 (010)3130 (1030)x x x x x x x ≤≤???-+<≤??，且为整数，且为整数；（2）22．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；

（2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可．

试题解析：（1）y=2300200100 (010)[3003(10)200]3130 (1030)x x x x x x x x x x x -=≤≤???---=-+<≤??，且为整数，且为整数，

（2）在0≤x≤10时，y=100x ，当x=10时，y 有最大值1000；在10＜x≤30时，

23130y x x =-+，当221

3x =时，y 取得最大值，∵x 为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y 有最大值1408，∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．

考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．分段函数；5．综合题．

10．（2015南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本1y （单位：元）、销售价2y （单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．

（1）请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义；

（2）求线段AB 所表示的1y 与x 之间的函数表达式；

（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250．

考点：1．二次函数的应用；2．分段函数；3．最值问题；4．压轴题．

11．（2015达州）阅读与应用：阅读1：a 、b 为实数，且a ＞0，b ＞0，

因为

20≥，

所以0a b -+≥

从而a b +≥（当a=b 时取等号）．

阅读2：若函数m y x x =+

；（m ＞0，x ＞0，m 为常数），由阅读1

结论可知：m x x +≥，所以当m x x =

，即x =m y x x =+

的最小值为．

阅读理解上述内容，解答下列问题：

问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x ，则另一边长为4x ，周长为2（4x x +），

求当x= 时，周长的最小值为 ；

问题2：已知函数11y x =+（1x >-）与函数22210y x x =++（1x >-），

当x= 时，

2

1

y

y

的最小值为；

问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）

【答案】（1）2，8；（2）2，6；（3）700，24．

考点：1．二次函数的应用；2．阅读型；3．最值问题；4．压轴题．

12．（2015十堰）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15亩时，每亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如下表（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）．

（1）设小王家种植x 亩樱桃所获得的利润为P 元，直接写出P 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x （亩）满足0＜x ＜20时，求小王家总共获得的利润w （元）的最大值．

【答案】（1）1800 (015)202100 (15)x x P x x <≤?=?-+>?；（2）61500元．

考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．分段函数；5．综合题．

13．（2015荆门）甲经销商库存有1200套A 品牌服装，每套进价400元，每套售价500元，一年内可卖完，现市场流行B 品牌服装，每套进价300元，每套售价600元，但一年内只允许经销商一次性订购B 品牌服装，一年内B 品牌服装销售无积压，因甲经销商无流动资金可用，只有低价转让A 品牌服装，用转让来的资金购进B 品牌服装，并销售，经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y （元/套）与转让数量x （套）之间的函数关系式为136010y x =-+（1001200x ≤≤），若甲经销商转让x 套A 品牌服装，一年内所获总利润为W （元）．

（1）求转让后剩余的A 品牌服装的销售款1Q （元）与x （套）之间的函数关系式；

（2）求B 品牌服装的销售款2Q （元）与x （套）之间的函数关系式；

（3）求W （元）与x （套）之间的函数关系式，并求W 的最大值．

【答案】（1）1500600000Q x =-+（1001200x ≤≤）；（2）

2217205Q x x =-+（1001200x ≤≤）；（3）W=21(550)1805005x --+，W 最大值=180500．

考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．综合题；4．压轴题．

14．（2015玉林防城港）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y （千克）与销售价x （元/千克）存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；

（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）

260

y x

=-+；（2）当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．

考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．

【20XX年题组】

1．（20XX年福建龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）

A B C．1D．0

【答案】A．

【解析】

试题分析：由定义先求出其解析式，再利用单调性即可求出其最大值：

设

2

12

y x1,y x

=-+=-，作二者的图象如答图，

由﹣x2+1=﹣x解得x=x=

.

考点：1.新定义；2.二次函数的最值；3.正比例函数的性质；4.分类思想和数形结合思想的应用．

2．（20XX年广东广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．

【答案】5 4.

【解析】

试题分析：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，

则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，∴m≤2 3.

∵关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=﹣2m，x1x2= m2+3m ﹣2.

∴x1（x2+x1）+x22=（x2+x1）2﹣x1x2=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2

2

15 3m

24

??

=-+

?

??.

∴当m=12时，x1（x2+x1）+x22有最小值5

4. ∵12＜23，∴m=1

2成立.

∴x1（x2+x1）+x22最小值为5

4.

考点：1.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；2.二次函数的最值．

3．（20XX 年江苏南通）已知实数m ，n 满足2m n 1-=，则代数式22m 2n 4m 1++-的最小

值等于 ．

【答案】﹣12.

考点：1.配方法的应用；2．偶次幂的非负数的性质；3.整体思想的应用.

4.（20XX 年甘肃天水）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从点O 正上方2米的点A 处发出把球看成点，其运行的高度y （米）与运行的水平距离x （米）满足关系式y=a （x ﹣6）2，已知 球网与点O 的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O 的水平距离为18米．

（1）当h=2.6时，求y 与x 的函数关系式．

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．

（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h 的取值范围是多少？

【答案】（1）y=160-

（x ﹣6）2+2.6；（2）球能过球网；会出界；（3）h≥8

3． 【解析】

试题分析：（1）利用h=2.6，球从O 点正上方2m 的A 处发出，将点（0，2）代入解析式求

出即可．

考点：二次函数的应用．

5．（20XX年黑龙江牡丹江农垦）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）试确定y与x之间的函数关系式；

（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？

（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．

【答案】（1）y=﹣x+120；（2）当试销单价定为85元时，该商店可获最大利润，最大利润是1225元；（3）x的取值范围为60≤x≤75的整数．

考点：1.二次函数的应用；2.一次函数的应用．

6．（20XX年湖北鄂州）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：

销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时

1125

q40

x

=+

．

（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系．（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？

【答案】（1）p=﹣2x+120；（2）

()

()

2

2x80x24001x25

y135000

225025x50

x

?-++≤

?

=?

-≤≤

?

?

＜

；（3）第20天时该超

市获得利润最大，最大利润为3200元．

考点：1．一次、二次函数和反比例函数的应用；2．待定系数法的应用；3．曲线上点的坐标与方程的应用；4．分类思想的应用．

7．（20XX年湖南怀化）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x2．

（1）若12111x x +=，求132m -的值；

（2）求2

1212mx mx m 1x 1x +---的最大值．

【答案】解：∵方程有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=4（m ﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m ＜1.

结合题意知：﹣1≤m ＜1．

（1）∵x1+x2=﹣2（m ﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，12111x x +=， ∴()12212122m 2x x 111x x x x m 3m 3--++===-+，解得：

，

舍去）.

∴1232m

===--．

（2）∵()()()()2121222212121212m x x 2mx x mx mx m m 2m 1m m 131x 1x 1x x x x +-+-=-=---=-++---++，

∴当m=﹣1时，2

1212mx mx m 1x 1x +---

的最大值为3．

考点：1.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；2.解分式方程；3.二次根式化简；4.二次函数的最值．

8.（20XX 年江苏扬州）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装，专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）.已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店支付员工的工资为每人每天82元，每天还应该支付其它费用为106元（不包含债务）.

（1）求日销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；

（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收入=支出），求该店员工的人数；

（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格

应定为多少元

【答案】解：（1）

()

()

2x140 40x58

y

x82 58x71

?-+≤

?

=?

-+≤≤

??

＜

；（2）3人；（3）该店最早需要380天能还

清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．

考点：1.一次、二次函数和方程、不等式的应用；2.分类思想的应用．

9．（20XX年内蒙古呼伦贝尔）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．

方案A：每件商品涨价不超过5元；

方案B：每件商品的利润至少为16元．

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

【答案】（1）w=﹣10x2+200x+1250（0≤x≤25）；（2）销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大；（3）方案B最大利润更高．

【解析】

试题分析：（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可．

（2）利用二次函数的性质得出销售单价．

（3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．

试题解析：解：（1）根据题意得：w=（25+x﹣20）（250﹣10x），即：w=﹣10x2+200x+1250（0≤x≤25）．

（2）∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，

当

()

b200

x10

2a210

=-=-=

?-

时，销售利润最大，此时销售单价为：10+25=35（元）．

答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．

考点：二次函数的应用.

10．（20XX年浙江台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位∶万元/吨）与销售数量x（x≥2）（单位∶吨）之间的函数关系式如图，B类杨梅深加工总费用s（单位:万元）与加工数量t （单位∶吨）之间的函数关系是s＝12＋3t，平均销售价格为9万元/吨．

（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x这间的函数关系式;

（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收人－经营总成本）.

①求w关于x的函数关系式;

②若该公司获得了30万元毛利润，问∶用于直销的A类杨梅有多少吨？

（3）第二次该公司准备投人132万元资金，请设计－种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．

【答案】（1）

()

()

x142x8

y

6x>8

?-+≤≤

?

=?

??；（2）①

()

()

2

x7x482x8

w

x48x>8

?-++≤≤

?

=?

-+

??；②用于直销

的A类杨梅有18吨；（3）设计方案为：用63万元购买杨梅21吨，3吨用于经营A类杨梅，18吨用于经营B类杨梅，公司获得最大毛利润，最大毛利润为57万元.