特殊的平行四边形菱形含答案

难度：中等

详细信息

已知：如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE．AF∥BC，

且AF=BC，连接DF．

（1）求证：四边形AFDE是平行四边形；

（2）如果AB=AC，∠BAC=60°，求证：AD⊥EF．

（1）通过证明边DE平行且等于对边AF，即可证明四边形AFDE是平行四边形；

（2）由题意得△ABC是等边三角形，故有AC=BC，又点E是AC的中点，可得出DE=AE，四边形AFDE是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直平分得证．

证明：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

即得 DE∥BC，．…（2分）

∵AF∥BC，，

∴DE∥AF，DE=AF．…（2分）

∴四边形AFDE是平行四边形．…（1分）

（2）∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形，即得：AC=BC．…（1分）

于是，由点E是AC的中点，得．…（1分）

又∵四边形AFDE是平行四边形，

∴四边形AFDE是菱形．…（1分）

∴AD⊥EF．…（1分）

难度：压轴

详细信息

已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：

（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP=______，

AQ=______；

（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；

（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

（1）根据∠A=60°，AB=12cm，得出AC的长，进而得出AP=2t，AQ=6-t．

（2）过点P作PH⊥AC于H．由AP=2t，AH=t，得出PH=t，从而求得S与t的函数关系式；（3）过点P作PM⊥AC于M，根据菱形的性质得PQ=PC，则可得出PN=QM=CM，求得t即可．【解析】

（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，

∴AC=6，

∴由题意知：AP=2t，AQ=6-t，

（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．

∵∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，

∴∠B=30°，

∴∠HPA=30°，

∵AP=2t，AH=t，

∴PH=t，

∴S=×AQ×PH=×t×（6-t）=-t2+3t；

（3）当t=4时，四边形PQP′C是菱形，

证明：如图②过点P作PM⊥AC于M，

∵CQ=t，由（2）可知，AM=AP=tcm，

∴QC=AM，当PC=PQ时，即CM=MQ=AQ=AC=2时，

∴四边形PQP′C是菱形，

即当t=4时，四边形PQP′C是菱形．

题型：填空题

难度：中等

详细信息

一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，则此平行四边形的面积为．

题型：填空题

难度：困难

详细信息

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AB=AD，连接BD，过A点作BD的垂线交BC于E，如果CE=3cm，CD=4cm，那么BD= cm．

连接DE，因为AB=AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，继而根据勾股定理求出BD的长．

【解析】

连接DE．

在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得DE=5．

∵AB=AD，AE⊥BD，

∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE．

∴DE=BE=5．

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB

．∴∠BAE=∠AEB

∴AB=BE=5

∴BC=BE+EC=8，

在直角三角形BCD中，根据勾股定理，得BD=4．

故答案为：4．

难度：压轴

详细信息

如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE 的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．

求证：（1）四边形ABDF是菱形；

（2）AC=2DG．

（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD=AE，即可证明结论．

证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），

∴DE∥AB，DE=AB（三角形中位线性质）．（1分）

∵AF∥BC，

∴四边形ABDF是平行四边形（平行四边形定义）．（1分）

∵BC=2AB，BC=2BD，

∴AB=BD．（1分）

∴四边形ABDF是菱形．（1分）

（2）∵四边形ABDF是菱形，

∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）．

∵DE=AB，

∴EF=AF．（1分）

∵G是AF的中点．

∴GF=AF，

∴GF=EF．（1分）

∴△FGD≌△FEA，（1分）

∴GD=AE，

∵AC=2EC=2AE，

∴AC=2DG．（1分）

难度：困难

详细信息

已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面积．

（1）根据ABCD为矩形，根据矩形的对边平行得到AE与CF平行，由两直线平行得到一对内错角相等，又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的定义得到AO=CO，且AC与EF垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ASA”得到三角形AOE与三角形COF全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE=FC，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AFCE为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；

（2）由矩形的性质得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC 的长，又已知EF的长，而AC与EF为菱形AFCE的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．

【解析】

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥FC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF垂直平分AC，

∴AO=CO，FE⊥AC，

又∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴EO=FO，

∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵FE⊥AC，

∴平行四边形AFCE为菱形；

（2）在Rt△ABC中，由AB=5，BC=12，

根据勾股定理得：AC===13，又EF=6，

∴菱形AFCE的面积S=AC?EF=×13×6=39．

难度：简单

详细信息

下列命题中，真命题是（）

A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B．有一条对角线平分对角的四边形是菱形

C．菱形是对角线互相垂直平分的四边形

D．菱形的对角线相等

型：选择题

难度：压轴

详细信息

等腰梯形的两底中点的连线与两腰中点的连线，它们的关系是（）

A．相等

B．互相垂直但不一定互相平分

C．互相平分但不一定互相垂直

D．互相垂直平分

可先画出示意图，根据等腰梯形的腰长相等可得出答案．

【解析】

根据AD=BC，GH∥AB∥DC可得EF⊥GH，

结合中位线定理可得EF、GH互相平分．

故选D．

题型：解答题

难度：困难

详细信息

如图，?ABCD中，AB=9，对角线AC与BD相交于点O，AC=12，BD=，

（1）求证：?ABCD是菱形；

（2）求这个平行四边形的面积．

（1）由四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得AO与BO的长，然后根据勾股定理的逆定理，即可求得△AOB为直角三角形，则可得AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得?ABCD是菱形；

（2）由菱形的面积等于两条对角线的积的一半，即可求得菱形的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AC=12，BD=6，

∴AO=AC=6，BO=BD=3，

∵在△AOB中，AB=9，

∵62+（3）2=92，

即AO2+BO2=AB2，

∴△AOB为直角三角形，

∴∠AOB=90°，

即AC⊥BD，

∴?ABCD是菱形；

（2）由（1）可知：?ABCD是菱形，即S菱形ABCD=AC×BD=36．

题型：填空题

难度：压轴

详细信息

如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，HF=2，EG=4，则四边形EFGH的面积为．

由四边形ABCD是矩形与E、F、G、H分别是四条边的中点，根据SAS，易证得△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF，则可得EH=EF=FG=GH，根据由四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形EFGH 是菱形，又由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得四边形EFGH的面积．

【解析】

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∵E、F、G、H分别是四条边的中点，

∴AE=DG=BE=CG，AH=DH=BF=CF，

∴△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF（SAS），

∴EH=EF=FG=GH，

∴四边形EFGH是菱形，

∵HF=2，EG=4，

∴四边形EFGH的面积为：HF?EG=×2×4=4．

故答案为：4．

题型：填空题

难度：中等

详细信息

下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；

③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为（注：把你认为正确的命题序号都填上）

根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定，对选项一一分析，选择正确答案．

【解析】

①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；

②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；

③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；

④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．

故答案为：①③④．

题型：解答题

难度：困难

详细信息

如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．

（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．

（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/秒的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t秒，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

（1）依据矩形的性质和平行线的性质，通过全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所以

OP=OQ，则四边形PBQD的对角线互相平分，故四边形PBQD为平行四边形．

（2）点P从点A出发运动t秒时，AP=tcm，PD=（4-t）cm．当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=（4-t）cm．在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP2+AB2=PB2，即t2+32=（4-t）2，由此可以求得t的值．

（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，OD=OB，

∴∠PDO=∠QOB，

在△POD与△QOB中，

，

∴△POD≌△QOB（ASA），

∴OP=OQ，

∴四边形PBQD为平行四边形；

（2）点P从点A出发运动t秒时，AP=tcm，PD=（4-t）cm．

当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=（4-t）cm．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAP=90°，

∴在直角△ABP中，AB=3cm，AP2+AB2=PB2，即t2+32=（4-t）2，

解得：t=，

∴点P运动时间为秒时，四边形PBQD能够成为菱形．

题型：解答题

难度：中等

详细信息

已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．

（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；

（2）求证：∠AEH=∠CGF；

（3）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积．

（1）由于四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而

AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；

（2）过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由GE为菱形的对角线，利用菱形的性质得到一对内错角相等，利用等式的性质即可得证；（3）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得．

（1）证明：在△HDG和△AEH中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D=∠A=90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴HG=HE，

在Rt△HDG和△AEH中，

，

∴Rt△HDG≌△AEH（HL），

∴∠DHG=∠AEH，

∴∠DHG+∠AHE=90°

∴∠GHE=90°，

∴菱形EFGH为正方形，

∴∠EHG=90°；

（2）证明：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，

∵CD∥AB，

∴∠AEG=∠MGE，

∵GF∥HE，

∴∠HEG=∠FGE，

∴∠AEH=∠FGM；

（3）由（2）得到∠AEH=∠FGM，

在Rt△AHE和Rt△GFM中，

，

∴Rt△AHE≌Rt△GFM（AAS），

∴MF=2，

∵DG=x，

∴CG=6-x，

∴S△FCG=CG?FM=6-x．

题型：解答题

难度：中等

详细信息

如图，已知O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE∥AC，过点C作

CE∥BD，且DE、CE相交于E点．

（1）请你判断四边形OCED的形状，并说明理由；

（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，

（2）由矩形的性质可知四边形OCED的面积为矩形ABCD面积的一半，问题得解．

【解析】

（1）四边形OCED的形状是菱形，

理由如下：

∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形CODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，

∴OD=OC，

∴四边形CODE是菱形；

（2）∵AB=6，BC=8，

∴矩形ABCD的面积=6×8=48，

∵S△ODC=S矩形ABCD=12，

∴四边形OCED的面积=2S△ODC=24．

题型：解答题

难度：困难

详细信息

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠AND=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：

①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．

（1）利用菱形的性质和已知条件可证得△NDE≌△MAE，即可利用四边形AMDN的对角线互相平分证得四边形AMDN是平行四边形；

（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠

DMA=90°，所以AM=AD=2时即可；

②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．

（1）证明：∵四边新ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠DNE=∠AME，

∵点E是AD边的中点，

∴AE=DE，

在△NDE和△MAE中，

，

∴△NDE≌△MAE（AAS），

∴NE=ME，

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）【解析】

①当AM的值为2时，四边形AMDN是矩形．

理由如下：

∵AM=2=AD，

∴∠ADM=30°

∵∠DAM=60°，

∴∠AMD=90°，

∴平行四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为4时，四边形AMDN是菱形．

理由如下：

∵AM=4，

∴AM=AD=4，

∴△AMD是等边三角形，

∴AM=DM，

∴平行四边形AMDN是菱形．

故答案为；（1）2，（2）4．

题型：解答题

难度：困难

详细信息

（1）如图甲，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且

DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．

（2）如果题目中的矩形变为图乙菱形结论应变为什么，说明理由．

（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形CODP是平行四边形，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；

（2）根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，再根据垂线的定义求出∠BOC=90°，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．

【解析】

（1）是菱形．

理由如下：∵DP∥OC，DP=OC，

∴四边形CODP是平行四边形，

∵矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，

∴OC=OD，

∴平行四边形CODP是菱形，

故四边形CODP是菱形；

（2）是矩形．

理由如下：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，

∴AC⊥BD，

∴∠BOC=90°，

∴平行四边形CODP是矩形，

故，四边形CODP是矩形．

题型：解答题

难度：中等

详细信息

小宇将两张长为8宽为2的矩形条交叉如图①，发现重叠部分可能是一个菱形．

（1）请你帮助小宇证明四边形ABCD是菱形．

（2）小宇又发现：如图②时，菱形ABCD的周长最小，等于______；

如图③时菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周

长．

（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形；

（2）根据垂线段最短，当两纸条垂直放置时，菱形的周长最小，边长等于纸条的宽度；

（3）当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，周长最大，作出图形，设边长为x，表示出BE=8-x，再利用勾股定理列式计算求出x，然后根据菱形的四条边都相等列式进行计算即可得解．

（1）证明：如图①，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

∵两条纸条宽度相同（对边平行），

∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵S?ABCD=BC?AE=CD?AF，

又∵AE=AF，

∴BC=CD，

∴四边形ABCD是菱形；

【解析】

（2）如图②，当两纸条互相垂直时，菱形的周长最小，此时菱形的边长等于纸条的宽，为2，

所以，菱形的周长=4×2=8．

故答案是：8；

（3）如图③，菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，周长最大，

设AB=BC=x，则BE=8-x，

在Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2，

即x2=（8-x）2+22，

解得x=，

所以，菱形的周长=4×=17．

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