第一次数学危机 数学史论文
鲁东大学数学与信息学院2010－2011学年第一学期
《数学史》课程论文
课程号：2102192
任课教师范永顺成绩
第一次数学危机的产生及对数学发展的影响
数学中有各种各样的许多矛盾，比如说正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。今天我们就主要了解一下第一次数学危机的产生及其对数学发展的影响。
1. 数学史上的的第一次危机
1.1 什么是数学危机
为了讲清楚数学危机的来龙去脉，首先来说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
1.2 第一次数学危机
人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展。其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义，它在西方数学史上曾导致了一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
1.2.1 数学的第一次危机的产生。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
从某种意义上来讲, 现代意义下的数学, 也就是作为演绎系统的纯粹数学, 来源于古希腊毕达哥拉斯学派, 这个学派兴旺的时期为公元前五百年左右。它是一个唯心主义学派。他们重视自然及社会中不变因素的研究, 把几何、算术、天文学、音乐称为四艺!, 在其中追求宇宙的和谐及规律性。四艺!即数学!, 毕达哥拉斯学派首次使用了数学!这个词。他们认为万物皆数!, 数学的知识是可靠的、准确的, 而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得, 并不需要观察、直觉及日常经验。毕达哥拉斯学派从前人所取得的数论研究成果出发开始研究所谓的毕达
哥拉斯数???整数。毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大发现是证明了毕达哥拉
斯定理即我们所说的勾股定理。就是指直角三角形三边有如下关系的一个命题, 即: a2 + b2 = c2 ( 1) a 和b分别代表直角三角形的两条直角边, c表示斜边。这个学派还认为满足( 1)式的数有无穷多个,并提供了下述三元数组, 即若是奇数,并且m > 1则有
a = m, b= 1/2(m2 - 1), c= 1/2(m2 + 1) ( 2) 这三元数组只是使( 1)式成立的充分条件, 而不是必要条件。当毕达哥拉斯学派进一步致力于等式( 1)和等式( 2) 的研究时, 米太旁登的希帕苏斯, 发现了在等腰直角三角形中, ( 1) 式中出现了下述结果:
2a2 = c2 ( 3) 如果直角三角形的两条直角边都等于1时, 其斜边的长就恰好等于2# 。而2与1 找不
到可以公度的几何实体, 这在当时的认识水平下, 无疑是一个? 88?矛盾。此外, 2
是否是个数? 对于毕达哥拉斯学派来说, 这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它是数, 就要与数即万物!中所说的整数发生不可调和的矛盾。相传当时毕达哥拉斯学派的人正在海上, 就因这一发现把希帕苏斯投到海里, 因为他在宇宙中搞出这样一
个东西否定了毕达哥拉斯学派的信条???宇宙中的一切现象都归结为正整数或正
整数之比。等式( 3)所引出的2对于毕达哥拉斯学派是一个致命的打击。数即万物!的世界观被彻底地动摇了。由此引发了数学的第一次危机% 。毕达哥拉斯学派把那些能用整数之比表达的比称作可公度比, 意即相比两量可用公度单位量尽, 而把不能这样表达的比称作不可公度比。
1.2.2 数学的第一次危机的解决。
数学的第一次危机的解决大约在公元前370年, 才华横溢的希腊数学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏拉图给出两个相等的定义从而消除了这次危机。他们给出的定义与所涉及的量是否有公度无关, 其实这也是自然的, 因为两个线段的比本来与第三个线段无关。
毕达哥拉斯学派首先给出了以单位长为边的正
方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明
方法, 证明过程如下:
假设: 根号二是有理数, 设根号二等于 q/p
( p, q 均为自然数,且( p, q ) = 1),
∴根号二乘以p等于 q
两边平方得 2p2 = q2 ( 1) ∴q2必是2的倍数,
∴q2也是2的倍数,
∵ (p, q ) = 1,
∴ p 为奇数,
∴ 2q’( q’(是自然数), p= 2p’- 1(p是自然数), 将上面两个式子代入( 1)得
2( 2p’- 1) 2 = ( 2q’) 2
即 2( 4p’2 - 4p’+ 1) = 4q’2
两边除以2得4p’2- 4p’+ 1= 2q’2
观察此式可看出等式左边为奇数, 右边为偶数, 这样出现奇数等于偶数, 引出矛盾。故2是无理数。目前, 证明2是无理数的方法很多, 无论是用初等数学知识还是高等数学知识都可以证明2是无理
数, 并且可以从不同的角度来加以证明, 例如: 从无理数被发现的角度, 从方程的角度, 从正整数的标准分解式的角度, 从数的进位制角度, 从自然数公理角度等等。随着数学学科的发展, 还____竉0可能会产生更多更新的证明方法。2是无理数的种种证明, 使我们对无理数有了进一步的认识, 对数学中的美、对各种丰富的数学思想方法会有更深刻的感受。
1.2.3 数学的第一次危机的实质。
从第一次数学危机的历史论述中可知, 哲学、逻辑与数学之间有紧密的联系, 正确的哲学思想对数学的发展具有十分重要的指导意义; 此外, 哲学与逻辑也必须不断总结数学的新成果来发展自己。这两方面的关系是不能偏废的, 否则就会使人类的知识出现不必要的曲折和危机。数学的第一次危机的实质主要在于数学家的思维囿于错误的哲学思想, 即主要在于数学家的思维被错误哲学思想支配了。2本来就是一个数, 但它的发现结果反而导致了数学的危机, 并成了数即万物!, 而数!又只能是整数或整数的比这种错误哲学观点的牺牲品。
二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一"逻辑上的丑闻"，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
2. 数学的第一次危机的影响
2.1 第一次数学危机的产物
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。因此第一次数学危机也
不例外，产生了许多成果。
2.1.1古典逻辑与欧氏几何学
亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的，他指出了正确的定义原理。亚里士多德继承自己老师柏拉图的观念，把定义与存在区分，由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正九面体)。另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原始的定义，如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制。
亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是演绎推理的出发点。他区别了公理和公设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理。
亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究，得出三段论法，并把它表达成一个公理系统，这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科，而且对数学证明的发展也有良好的影响。
亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的无穷(大)和实在的无穷(大)加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的。
欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。
欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义，五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。
《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度(线指曲线)”，“面是只有长度和宽度的对象”。显然，这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)。
另外，他的公理五是“整体大于部分”，没有涉及无穷量的问题。在他的证明中，原来的公理也不够用，须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其他公理、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此，近代数学的体系特点在其中已经基本上形成了。
2.1.2 非欧几何学的诞生
欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。尽管它有种种缺点和毛病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其他的公理和公设都满足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，象是一条定理。
欧几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成的两个同侧内角的和小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。
在《几何原本》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考虑：这条啰哩啰嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出，也就是说，平行公设可能是多余的。
之后的二千多年，许许多多人曾试图证明这点，有些人开始以为成功了，但是经过仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其他的假设，而这些假设又可以从平行公设推出来，所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。
到了十八世纪，有人开始想用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论，比如“有两条线在无穷远点处相交，而在交点处这两条线有公垂线”等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。
从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想。
首先，要能从二千年来证明平行公设的失败过程中看出这个证明是办不到的事，并且这种不可能性是可以加以证实的；其次，要选取与平行公设相矛盾的其他公设，也能建立逻辑上没有矛盾的几何。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。
要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学，欧几里得几何学只是许多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学，也就是说，它的存在性只由无矛盾性来决定。虽说象兰伯特等人已有这些思想苗头，但是真正把几何学变成这样一门纯粹数学的是希尔伯特。
这个过程是漫长的，其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和波耶分别独立地创立非欧几何学，尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的独创。后人把罗氏几何的无矛盾性隐含地变成欧氏几何无矛盾性的问题。这种利用“模型”和证明“相对无矛盾性”的思想一直贯穿到以后的数学基础的研究中。而且这种把非欧几何归结到大家一贯相信的欧氏几何，也使得大家在接受非欧几何方面起到重要作用。
应该指出，非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明第五公设的否定并不会导致矛盾，只有这样才能说新几何学成立，才能说明第五公设独立于别的公理公设，这是一个起码的要求。
当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得
没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释叫做非欧几何学的欧氏模型。
对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于1869年提出的常负曲率曲面模型；德国数学家克莱因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾性，而且有的可以推广到更一般非欧几何，即黎曼创立的椭圆几何学，另外还可以推广到高维空间上。
波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。
在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。
十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。
同时，威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。
第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。
十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。
公理化方法是现代数学最重要的方法之一，对于数学基础和数理逻辑的研究也有影响。当时也是现代数学一些新分支兴起的时期，如抽象代数学、点集拓扑学和代数拓扑学、泛函分析、测度与积分理论等学科。这些学科的发展一直与数学基础及数理逻辑的发展有着密切的关系。数学的更新与发展也对数学哲学有许多新的探讨，数学的陈腐哲学观念在当时已经几乎一扫而空了。
2.1.3 无理数的发现
无理数的发现, 对数学和哲学发展都产生了深刻的影响。在数学方面, 使人们认识到直观、经验乃至实验都不是绝对可靠的(例如用任何实验都不能得出一切量均可用有理数表示这个结果), 今后必须依靠证明用理性思维思考自然界。首先, 它使古希腊数学研究的重点由算术转向几何, 打破了在这之前毕达哥拉斯学派把数和几何问题等同起来的看法, 即几何学的某些真理与算术无关, 几何量不能完全由整数及整数的比来表示, 反之数却可以由几何量表示出来, 可以说这次发现对古希腊的数
学观点有极大的冲击, 整数的尊崇地位受到了挑战; 其次, 它使古希腊数学研究方
法由计算转向推理, 促使公理方法的产生, 从此希腊人开始由自明的!公理出发,
经过演绎推理而建立起几何学体系。在哲学方面, 首先, 动摇了其数本说的基础, 其次, 推动着哲学转向崇尚理性。
在无理数发现之前的各种数学, 都是提供算法, 进行算!的数学。即使在古希腊, 数学也是从实际出发, 应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食, 利用影子距离计算金字塔的高度等等都是属于计算范围的。虽然泰勒斯也提出了圆的直径把圆分成相等的两部分, 等腰三角形的两个底角相等,两条直线相交后对顶角相等, 有两角和一边相等的两个三角形全等, 但他都是通过直观经验来证明的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学, 并没有经历过这样的危机革命, 也就是只停留在算术!阶段, 而希腊的数学则走上了完全不同的道路, 形成亚里士多德的逻辑体系和欧几里得)几
何原本?公理体系, 从而成为现代西方数学的始祖。
无理数的出现使实数系统得到进一步的完善。从而使直线上的点与实数一一对应起来。我们知道有理数Q 是对四则运算封闭(除数不为零)的,又是实数的忠实代表, 即任何一个实数都可以近似的用一个有理数去表示, 而且这种近似的精确度要多高
就有多高(x 设是任一实数, 如果x 已经是一个有理数了, 那么就是其自身的代表; 如果x 是无理数, 比如x 是圆周率 么3, 3. 1, 3. 14, 3. 142, 3.1416, 3. 1459, +, 就都是在Q 中的近似代表, 越靠后精确度越高)。但是, 有理数Q 也有其不足之处, 比如在Q 中一般不能开方。特别是Q 对极限运算不封闭是个很大的缺陷, 例如: π= 4( 1- 1/3+ 1/5- 1/7+…),
e= 1+ 1/1!+ 1/2!+ 1/3!+…,
在有理数Q 上就无法研究数学分析, 这是因为Q 在数轴上分布得虽然是紧密的, 但
却又是个千疮百孔的, 像2, 3, π, e等等都是孔。所以, 无理数的发现使数轴没有那些孔, 即数轴上任一点, 如果不对应有理数, 那么就对应无理数, 真可谓是有
理!、无理!相对立, 却与数轴共安居。无理数的出现最重要的是使实数具备了连续性, 从而使有条件研究连续性等理论。由于实数具有连续性, 所以是适合在其上建立分析学的。在R 中可进行极限运算, 因此, 实数的连续性是极限理论的基础。
4. 在我们的日常生活中会经常用到无理数, 它的出现给我们带来了许多方便。例如, 数e是对银行家最有帮助的一个数, 假如没有e的出现, 银行家要计算今天的利息就
要花费大量的时间。所幸的是, e的出现助了一臂之力。总之, 虽然无理数的出现, 导致了毕达哥拉斯学派的瓦解, 但它的出现对后来的科学研究的影响是不可言喻的。给我们的学习生活带来的方便是有目共睹的。综上所述, 危机是随时可能出现的。危机的出现激发了富于追求精神的科学家的热情, 促进了多种理论例如数学基础理论,
逻辑理论等的形成和发展。因此, 从某种意义上来说, 危机并不是什么坏事, 它预示着更新的创造和光明, 推进了科学的进程。我们应持辩证的观点看待它, 看待数学, 不能因为危机就指责数学一无用处, 担心数学的大厦会倾倒。在数学大厦的基础上存在这小小缝隙, 数学大厦不致于倾倒。
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数学史论文——莱布尼茨
莱布尼茨—德国百科全书式的天才 【内容摘要】 莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646--1716）,德国最重要的数学家，自然科学家，物理学家，历史学家，哲学家。一位举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创始人，为人类科学技术发展做出了不可磨灭的贡献。本文试从其生平、科学成就及对人类科学产生的影响等几方面介绍这位科学史上的巨匠。 一. 个人生平 莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz），1646年7月1日生于德国莱比锡，1716年11月14日卒于汉诺威。 莱布尼茨的父亲是莱比锡大学的哲学教授，母亲也出身教授家庭。在莱布尼茨6岁时父亲去世，为他留下丰富的藏书。 1661年15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，并钻研哲学，广泛阅读了培根、伽利略、开普勒等人的著作。1663年5月，他以题目为《论个体原则方面的形而上学争论》的论文获得学士学位。1664年1月，以《论法学之艰难》取得该校哲学学士学位。从1665年开始莱比锡大学审查他提交的博士论文《论身份》，但1666年以他年轻为由不授予他博士学位，对此他愤怒地离开莱比锡前往纽伦堡的阿尔
特多夫大学，1667年2月阿尔特多夫大学授予他博士学位，并聘他为教授，被他拒绝。 1672—1676年，任外交官并到欧洲各国游历，此间他结识了惠更斯等科学家，从惠更斯的论著中看到了数学的魅力，从而激发了他对数学的兴趣与追求，在惠更斯的热情指导下，他深入钻研了笛卡尔、帕斯卡、巴罗等人的论著，并写下了很有见地的数学笔记，并于1673年被选为英国皇家学会会员。 1676年，他到德国西部的汉诺威，担任腓特烈公爵的顾问及图书馆馆长近40年，这使他能利用空闲钻研自己喜爱的问题，撰写各种题材的论文，其论文之多浩如烟海。 1682年，他与门克创办拉丁文科学杂志《教师学报》，他的数学、哲学文章大都刊登在此杂志上。 1700年被选为法国科学院院士，同时创建了柏林科学院，并担任第一任院长。至此当时世界上四大科学院：英国皇家学会、法国科学院、罗马科学与数学科学院、柏林科学院都以莱布尼茨作为核心成员。 1712年左右，他同时被维也纳、布伦兹维克、柏林、彼得堡等王室所雇用。这一时期他一有机会就积极地宣传他编写百科全书，建立科学院以及利用技术改造社会的计划。在他去世以后，维也纳科学院、彼得堡科学院先后都建立起来了。据传，他还曾经通过传教士，建议中国清朝的康熙皇帝在北京建立科学院。 1716年11月14日，由于胆结石引起的腹绞痛卧床一周后，莱
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数字与汉字之间的计算乐趣 我生在闻名于世的数学泰斗华罗庚的故乡—江苏金坛。 如今我又适逢就读于华罗庚实验小学，我打小就喜欢数字，更对数学充满了乐趣。 一天妈妈给我出了一道题：好学好-好好=790。我百思不得其解，这“好”字必须大于7以上的数字，“学”-“好”=9的话，“学”必须≥7，我经过一番计算，终于计算出“好”=8 “学”=7。 我发现数学与汉字之间有如此奇妙的乐趣，它开动了我的脑筋，使我仿佛解开了一道世界上知名的难题，我以后也要自己出一些类似于这样的题目，给我身边的同学做，让他们和我一起分享汉字与数字之间的计算乐趣！ 数字班的自习课 一天，数字班在上自习课，中途“10”老师有事离开了教室，这下“4”、“6”、“8”、“9”在教室里调皮捣蛋起来，首先是“9”摇身一变，变成了3×3，“8”不甘示弱居然变成了2×2×2，“6”跟着变成了3×2，“4”也学着他们变成了2×2，他们拖着自己变身出来的“3”和“2”在教室里跑来跑去，顿时教室里乱成一片。 “0”班长一看教室乱成这样，心里很着急，就大声说：“大家不要再闹了，安静！”可是“0”最小最弱，没有人听他的。这时“0”班长灵机一动，急中生智变出了0=0×10。正在捣乱的“9”、“8”、“6”、“4”一看见”10”老师，吓得赶紧变回原样坐回座位，认真的自习起来，教室里又恢复了原有的安静。 数硬币 老师说数学是一门基础课，我想数学在我们日常生活中一直都有着很重要的作用，比如吃饭要数学：一个人能吃下多少饭，就煮多少饭；走路要数学：路有远有近，走哪条路可以最快走到要去的地方等等，所以说生活到处都充满着数学。 有一天，我去叔叔家玩，叔叔给了我一大把一元硬币，没告诉我多少钱，我就开心的数了起来，可是硬币有些多，我一个一个地数太慢了，有什么好办法呢？我想了一想，灵机一动想起了老师教我们的加法和乘法算式，我就2个放一堆，放了9堆还多一个，那不是2乘以9再加上1吗，就是19元，我告诉了叔叔多少钱，叔叔哈哈大笑起来说：我还以为你数不出有多少钱呢！那就把这些钱奖励给你去买东西吧！于是我飞快地跑去超市买了我想要的玩具，然后就高高兴兴的回家了。 你看，数学真的是用途很广。 肯德基餐厅的数学小问题 今天是舅舅家小表弟的生日，妈妈决定带我和表弟去吃肯德基，我和表弟听了高兴地跳了起来，我们三个人到了肯德基金城餐厅，餐厅里食物价格： 名称 价格 单位 奥尔良烤翅 9元 1对 圣代
数学史概论论文
数学对当代社会的影响 【摘要】当今社会，科学技术正以比以往任何时候都迅猛的势头强烈地推动着人类社会前进,并以各种丰富的形式深刻地影响，渗透并冲击着人类社会生活的各个领域。数学不仅是现代科学技术的基石之一，而且是新技术革命的弄潮儿。特别是在当代，社会的飞速进步、科学的迅猛发展、知识经济的崛起，都对数学等基础科学的发展提出了更高的要求。数学的基础科学地位、科学典范作用和高技术地位日益增强，数学的社会化程度与水平日益提高。 【关键词】数学科学当代社会影响 最近网络上流行这样一句话:学好语文可以让我们更好的理解中华文化，学好英语可以让我们和外国人更好的交流，以便学习对方，学好历史可以让我们更理智的看待当今，学好哲学可以让我们更科学的看待问题。可是学好这个数学能干嘛？买菜还要求导？花钱还要微分？其实说这句话的人，只是片面的看待问题。社会需要数学，但是数学更多的是以抽象的方式存在，使得数学似乎已成为少数人才能理解和掌握的一门学问，与实际越来越脱离；而公众对数学的认识和理解与数学教育的偏颇也有一定的关系。事实上，当人们对数学的认识和理解深入和全面了以后，就会感受到数学的社会功能，社会对数学的需要。当今社会，科学技术正以比以往任何时候都迅猛的势头强烈地推动着人类社会前进,并以各种丰富的形式深刻地影响，渗透并冲击着人类社会生活的各个领域。数学不仅是现代科学技术的基石之一，而且是新技术革命的弄潮儿。特别是在当代，社会的飞速进步、科学的迅猛发展、知识经济的崛起，都对数学等基础科学的发展提出了更高的要求。数学的基础科学地位、科学典范作用和高技术地位日益增强，数学的社会化程度与水平日益提高。数学是一种应用非常广泛的学科。伟大的数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之迷、日月之繁，无处不用数学。” (一)数学与计算机 数学是整个科学的基础,也是高新技术的理论基础,是联络科学与技术的纽带。毫无疑问,计算机也是以数学为基础的:其工作原理是以布尔代数和数理逻辑为基础的,解决问题是以各种数学模型为基础的,计算方法也是以计算数学为基础的。所以计算机离不开数学,数学是计算机取得辉煌成就的基础。计算机科学的数学基础,被称为“计算理论”,而目前的冯?诺依曼体系(存储程序式)计算机的高速发展都是建立在计算理论基础上的。基于冯?诺依曼体系结构的程序设计过程,是“分析问题──建立数学模型──选择数据结构──设计算法──翻译成计算机语言”的过程。在这个过程中,最后一步才是通常所说的编程序(更确切地说是编写代码)。所以,学会一两门编程语言或者会用一两种开发工具仅仅是学会了最后一步,而前面四步的掌
经典数学史论文
通过对《数学史与数学文化》这门课程一个多月的学习，我对数学史有了进一步的了解，对数学的发展有了更加理性的认识。数学史是一部大百科全书，是一场精彩纷呈的电影，是科技发展的生命历程！它饱含着无数个前辈伟大的数学家的杰出贡献，又为那些愿意为数学历史写下新篇章的后来者铺好了道路！ 法国伟大的数学家亨利·庞加莱曾说：“如果我们想要预测数学的未来，那么适当的途径是研究这们学科的历史和现状”尽管我们反复强调学习知识的意义，但是如果没有适当的历史叙述，那么这些知识的来龙去脉对于学生来说仍然是感到费解的．对于学习数学的学生来说，一些课程所介绍的通常是一些似乎没有什么关系的数学片段，而历史可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容互相联系，而且使它们跟数学思想的主干也联系起来．因此数学学习中，应在学习数学知识的同时，把一些重要的数学史料结合起来，更能掌握数学发展的基本规律，了解数学的基本思想，同时我们还可以看到数学发展的曲折，数学家们所经历的艰苦漫长的道路．数学史中那些能够深深感动我们、惊心动魄、引人入胜的例子不胜枚举．从而激发我们学习数学的积极性和创造性。那样的话，我们不仅获得真知灼见，还将获得顽强学习的勇气，进而塑造完善的人格． 1.数学史料对理解数学发展的作用 （1）数学发展到今天，已经延伸出上百个分支，但它毕竟是一个整体，并且有它自己的重大问题和目标．如果一些分支专题对于数学的心脏无所贡献，它们就不会开花结果，一些被分裂的学科就面临着这种危险．如由于在工业技术上的极大应用，哈密顿四元法曾传播很广，风行一时，但不久后，四元法就不再使用了．如同Hilbert说的：“数学是一个有机体，它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合．” （2）数学课程所介绍的似乎是一些没有什么关系的数学片段．历史可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容互相联系，而且使它们和数学思想的主干也联系起来．数学史既可以展示数学发展的总体过程，又详加介绍各学科的具体发展过程，把握数学这一发展过程可使我们视野开阔，深刻理解数学的本质，以便在今后的学习中能高瞻远瞩．把握数学这一发展过程，还可以加深对所学知识的理解．正如无理数是由于度量问题而产生的，它的发现导致几何学在一定时期内独立于算术孤立发展；求极大、极小问题、求曲线长等问题的研究，直接促使牛顿、莱布尼兹发明微积分．微积分产生后，出现了许多分支，如常微分方程、偏微分方程；分析学中的“病态”函数给勒贝格以启发，后来勒贝格创立了测度论；著名数学家康托因研究分析学问题而发明朴素集合论，朴素集合论又包含悖论．因此，集合论应运而生．深刻地理解数学史的内容，才能了解数学发展的基本进程． （3）通常的数学课程直接给出一个系统的逻辑叙述，使我们产生这样的印象：数学家们几乎理所当然地从定理到定理，数学家们能克服任何困难，并且这些课程完全经过锤炼，己成定局．我们可能被湮没在成串的定理中，特别是当我们刚开始学习这些课程的时候．历史却形成对比，它教导我们，一个科目的发展是由汇集不同方面的成果，点滴积累而成的．我们也知道，常常需要几十年，甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步．不但这些科目并非天衣无缝，就是那些已经取得的成就，也常常只是一个开始，许多缺陷有待填补，或者真正重要的扩展还有待创造．今天的小学生都知道阿拉伯数字为1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，
生活中的数学--小论文
数学与生活 你看见过北京雄伟的“鸟巢”和魔幻般的“水立方”了吗？你看到我国的“神州七号”宇宙飞船平安返回地球了吗？在你与世界各地的人民共同赞叹它们的神奇之余，有没有想到过设计建设、制造它们时，科学家们运用了多少的数学知识来解决问题的呢？ 你有去商店买东西的经历吗？你有与你的同伴分享物品的经历吗？这时，你都在不知不觉中运用了数学知识。 其实数学来源了生活，又服务了生活，在生活中数学的运用无处不在。 我很喜欢数学，它让我觉得我是一个很聪明的人，尤其是在生活中用数学解决问题的时候。我不仅用数学知识解决生活的问题，还在生活中得到了很多数学知识。而且数学里蕴藏着无穷的知识，这些知识也是非常重要的，它会带给我们许多意外的收获。我就给大家讲一些生活中的数学吧！ 有一天，妈妈带我去买梨，价钱是5元4斤，妈妈买了6斤。我正默默的算账，那个小贩张口就说：“7块5。”我大吃一惊，不明白小贩怎么算得这样快，我可我们班里有名的快算大王，还不如一个买梨的，真是高手民间。只好当面请教，原来买梨的并不是想我一样先算一斤多少钱，而是这样算的：5元4斤，2斤2.5元，再加上4斤的价钱5元，所以6斤梨一共2.5+5=7.5（元）。真是山外有山，我不得不承认生活中很多问题都有巧妙的解决方法，不能循规蹈矩，
遇到问题一定要灵活变通。 有了这次的启发我的脑筋更加灵活了。一次姑姑带着我和表哥去吃披萨，99元一个，姑姑让我们算算一共多少钱，表哥嘟囔这“二九一十八，二九一十八”还要求拿一张纸来列算式。而我却张嘴就说出答案198元。表哥瞪大眼睛问“你怎么算的这么快啊！”我得意的告诉了他我的独门绝招：99+99不好算，而是一个比萨付100元，多付了1元，2个披萨付200元，就多付了2个1元，所以2个披萨的价钱就是200-2=198（元）。看着表哥一脸的崇拜。这样的感觉比吃披萨还高兴。 我们处处可以观察到数学的奥秘，也有着很多的数学知识，只要我们用智慧的眼睛去探索，就能学到很多很多的数学知识。 评语：为什么学生会觉得数学不好学？那是因为他们没有找到数学与生活实实在在的联系。小作者独具匠心的眼光将数学与活生生的例子结合起来，让人感到眼前一亮。他用自己学过的数学知识成功地解决了生活中所遇到的问题，那种快乐，不是老师的一句表扬能代替的。真心为小作者感到高兴！ 指导教师：陈静 学生:陈文慧
一篇有关数学史的论文
数学史 研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史研究所使用的方法主要是历史科学的方法，在这一点上，它与通常的数学研究方法不同。它研究的对象是数学发展的历史，因此它与通常历史科学研究的对象又不相同。具体地说，它所研究的内容是： ①数学史研究方法论问题；②总的学科发展史——数学史通史； ③数学各分支的分科史（包括细小分支的历史）;④不同国家、民族、地区的数学史及其比较;⑤不同时期的断代数学史;⑥数学家传记;⑦数学思想、数学概念、数学方法发展的历史；⑧数学发展与其他科学、社会现象之间的关系；⑨数学教育史；⑩数学史文献学；等等。按其研究的范围又可分为内史和外史。 内史从数学内在的原因（包括和其他自然科学之间的关系）来研究数学发展的历史； 外史从外在的社会原因（包括政治、经济、哲学思潮等原因）来研究数学发展与其他社会因素间的关系。 数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。人们研究数学史的历史，由来甚早。古希腊时就曾有人写过一部《几何学史》，可惜未能流传下来,但在5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。中世纪阿拉伯国家的
一些传记作品和数学著作中，曾讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。12世纪时，大量的古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是当时的数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。 近代西欧各国的数学史研究，是从18世纪，由J.é.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特纳同时开始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》（1799～1802年又经J.de拉朗德增补）为代表。从19世纪末叶起，研究数学史的人逐渐增多,断代史和分科史的研究也逐渐展开,1945年以后，更有了新的发展。19世纪末叶以后的数学史研究可以分为下述几个方面。 ①通史研究代表作可以举出M.B.康托尔的《数学史讲义》(4卷,1880～1908)以及 C.B.博耶(1894、1919)、D.E.史密斯(2卷，1923～1925)、洛里亚（3卷，1929～1933）等人的著作。法国的布尔巴基学派也写了一部数学史收入《数学原理》丛书之中。以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。1972年美国M.克莱因所著《古今数学思想》一书，被认为是70年代以来的一部佳作。 ②古希腊数学史许多古希腊数学家的著作被译成现代文字，在这方面作出了成绩的有J.L.海贝格、胡尔奇、T.L.希思等人。洛里亚和希思还写出了古希腊数学通史。20世纪30年代起，著名的代数学家范?德?瓦尔登在古希腊数学史方面也作出成绩。60年代以来匈牙利的 A.萨博的工作则更为突出，他从哲学史出发论述了欧几里得
小学生数学小论文
小学生数学小论文 生活中的“奇妙等式” 数学中有许多等式，比如“速度×时间＝路程”、“单价×数量＝总价”，今天，我要向大家介绍几条数学与我的等式。 生活中，我总结出这一等式：“我＋父母＝正确数学”。平时，我会经常遇到一些难题，但是，父母的工作十分繁忙，很少有时间陪我，每当我睡下时，他们还没回来，一家人唯一的沟通方法，就是那一本“留言本”。每次留下的题目，父母总会绞尽脑汁地为我解答。父母学习书上的例题，给我解答是最令我感动的。每次看到留言本上，父母给我留下的解题思路，我都会在心中默默地感谢他们。 小时候，父母也为我总结出这一等式：“课本＋生活＝数学”。那时，父母工作都不是很忙，每次出去买东西，都会带上我。最让我记忆犹新的是我上中班的时候，妈妈带我买菜的一件事。当时，正值秋季，妈妈见路边有些卖苹果的摊子，便和卖苹果的人讨价还价起来，最终，以一元一斤的价钱买了三斤。当时，妈妈转过头来，亲切地问：“赢赢，一元一斤的苹果，三斤多少钱？”我想了想，说：“是，是三块钱。”惹得周围的人直夸我聪明。回家后，妈妈又问我是怎么会的，我笑着说：“我是用1+1+1=3的。”直到现在，妈妈还经常提那件事，教育我说：“数学不光要学课本上的，还要学习生活中的。” “每晚三题=快乐数学。”这是我小学三年级时所立下的等式。每天晚上做三道思考题不多也不少，只要坚持不懈，一定能积累许多。现在，我依然坚持每天做三道思考题，有时间还能多做一点，两年多了，不知道自己已经做了多少了，也不知道自己写满了多少的本子，这种作业方式,使我受益非浅，让我在多次数学竞赛中获奖，品尝胜利的喜悦。 “勤动脑+勤动手=成功，”这是我通过实际生活所悟出的道理，也是我一般的解题顺序。一般拿到题目，我总要先读懂题目，弄清资料，掌握其中的关系，然后根据关系列出算式，一步步地解答。有时，还可以通过画图的方法，根据已知数量画出线段图，便于理解题目。至于答完之后，再找几道类似的题目，巩固一下，对学习也有好处。 其实，生活中还有许多奇妙的等式，在等着我们去总结，去探索。
数学历史论文
邢台电大13秋土木（本）专业第二次提交作业 数学历史中的数学文化 姓名：李闯飞学号：131300126003613秋土木工程本科 【摘要】：数学方法和数学思想将数学的智慧和魅力展现得淋漓尽致，这些凝聚了数学 家们智慧的知识不是几句话就能说明白。数学的方法是贯穿了整个数学，也是学习数学的基础。在此我将我所学到的和我心中所想的一些数学方法和思想写出略表我对数学的解读。历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的曲折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的动力。 数学发展史上共有三次数学危机。每一次都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机引发了数学史上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。 【关键词】:数学的智慧和魅力、三次数学危机、数学方法和思想、数学发展一、智慧展现——数学方法和数学思想 数学的很多方法是有辩证性的，比如具体与抽象；演绎与归纳；发现与证明；这些方法之间有联系又有区别。 （一）、具体与抽象 具体是社会实践，是客观存在的东西，因为数学是源于社会实践的。同时数学是一种利用自身已有的概念、定理、公设，借助已知的相互关系，通过推理、计算而获得新发现的学科。数学的概念是抽象的，数学的方法也是抽象的。爱因斯坦相对论的发现恰恰是借助于数学的方法论路径去实现的，如果没有非欧几何人类可能还要在牛顿的时空观中走过许多年才能寻找到相对论。数学方法的抽象是借助数学概念、公理、定理、公设等，把所有涉及研究对象的概念以及研究对象的抽象性归并汇集在一起，找出他们更具体抽象、统一的结论。现在，数学研究的对象已不是具体、特殊的对象，而是抽象的数学结构。 （二）、演绎与归纳 演绎法是由一般到特殊的推理，它有三段论的表现形式，由一般的判断，特殊判断，结论三部分组成。归纳与演绎不同，归纳是这样一种推理：其中所得到的结论超越了经验材料所提供的东西的一种经验猜想。看起来归纳与演绎很有区别的，事实归纳与演绎是相依而存、互为发展、对立统一的。 （三）、发现与证明 发现实际上就是定律的发现和理论地提出问题，最主要是通过假说，猜想。猜想是提出新思想，一个猜想可以带出或生出一个新的学科方向。比如，对欧氏第五公设的证明产生了非欧几何理论，四色猜想对开辟数学研究新途径有重要意义。在数学史上有很多有名猜想，人们熟悉的费马猜想，曾是一个悬赏10万马克的定理，实际上，它是源于几千年前的勾股定理。得沃尔夫奖。 二、成长与磨砺——数学的发展 写关于数学文化不得不写数学的发展。数学是人类最古老的科学知识之一，它主要是研究现实生活中数与数、形与形，以及数与形之间相互关系的一门学科。他们发展也经历的很多的坎坷，在磨砺中他也得以不断的成长。
数学小论文
我眼中的数学 数学，是一门什么样的科目呢？ 小学生说：“数学，小意思，不就是1+1=2，九九乘法表，鸡兔同笼吗？有什么难的。” 中学生说：“数学，可没你说的这么容易，什么一元一次方程，二元一次方程的，平方差公式，锐角三角函数，还有什么证明两个三角形全等，相似的，一大堆，头脑都快炸了。” 高中生说：“别争了，你们的都没法和我们比，高中数学更是难，知识特多，一学期还得上两本书。数学是一门让人头疼发热，压得人喘不过气来，题目让你做又气又恨的科目。” 但历史上，关于什么是数学，那说法更是五花八门。有人说：“数学是关联”，也有人说：“数学是逻辑，逻辑是数学的青年时代，数学是逻辑的壮年时代。” 那么，数学到底是什么呢？ 数学是研究现实生活中空间形式和数量关系的一门科学，它在现代生活和现代生产中的应用非常广泛，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具，也是我们必须具备的一种素质，因为生活中缺不了数学。 在生活中，我们经常会遇到数学，如电费问题，我们现在实行阶梯电价，用电量200度以下，每度价格为0.5元；用电量在200-400度之间，0.545元/度；用电量400以上，0.8元/度。一般每家每月的用电量都不同，那怎么算电费呢？实际上这是一个分段函数问题，假设用电量为x ，费用为y ，则有 ?? ???≤*-+<≤*-+<=)400(8.0)400(210)400200(55.0)200(100200)(x 5.0x x x x x y 平时，我们还会看到许多不同的图形。例如，家里，学校里，商场等，到处都可以看到地砖，它的铺设实际也用到数学问题。我们常见的地砖图案有正四边形，正六边形，很少见到正五边形的，为什么呢？因为铺砖块的时候，前者可以毫无缝隙铺满，而后者不行。正四边形砖块，它的内角和为o 360，一个内角为o 90，而外角和为o 360，因此，四块完全相同的正四边形砖块可以铺满且毫无缝隙。正五边形，它的内角和为o 540，一个内角为o 108，三块完全等大的正五边形拼在一起，无法铺满，还缺o 36。 怎么样，很神奇吧!砖块，这种平常的东西都拥有这么有趣的数学奥秘，何况是生活的其
学生数学小论文10篇
数学学习经验 学好数学很重要，因为在生活中，我们经常用到数学，比如：妈妈爸爸发工资的时候，就要数工资，数工资，就要用到数学。钟表上也有数学知识，所以学好数学是很重要的。 我认为要想学好数学，上课听讲很重要，因为数学知识光靠自己很难理解和掌握，所以在课堂上，要认真听老师的讲解，我们的大脑要跟着老师的讲解思路转动，这样才能听懂老师的说法，知道这类题怎么做为什么要这样。你上课不认真听讲，老师留的上交作业不会做，家庭作业也不会做。下课后，你要看一下老师教你们的练习题、算式题等……要复习一遍。下课后，还要多做练习题，这样才会提升你的算术能力。 指导老师：李晓丽
学习数学好方法 南阳市第五小学三（4）班宋雨桥 数学一直是我最爱的科目，上三年级以后我逐渐积累了一定的学习经验，平时成绩比较稳定，以下是我的学习方法总结方法： 第一种方法：上课认真听讲，多发言。如果老师讲的内容，在预习时搞不懂，或者是你做错的题，认真听老师讲解后，会记得更清楚，下次再出现和它类似的题，我们一定得满分。 第二种方法：认真观察身边的数学。我们的生活中到处都有数学，比如：陪妈妈上街买菜的时候，我发现土豆1元1斤，黄瓜1.5元1斤，妈妈各买2斤，这时候我就会帮妈妈算一算。这样，不但复习了乘法，又学习了小数加法。只要认真观察，留心身边的事物，我们会有更多的发现。 数学伴随着我们的生活，所以我们一定要好好学习。 指导老师：李晓丽
我是这样学数学的 南阳市第五小学三（4）班线为国 数学是我们小学生最重要的学习科目，学好数学的方法很多，我平时主要做到以下几点： 一、做好课前预习 如果第二天有数学课，头一天晚上我们要做好充分的准备，预习好第二天的课程，看看哪些自己懂得，哪些看不懂，是要通过老师的讲解才能明白的，把不懂的地方标清楚，进行初步思考，等老师上课时解决。 二、专心听讲，做好课堂笔记 在老师讲课时，我们应该带着预习过程中需要解决的问题，专心听讲，围绕老师提出的问题积极思考，踊跃回答老师提出的问题，还要记下没听懂的问题，课后请老师给予辅导。 三、及时复习 复习时我们要回想当天老师讲的内容，加深记忆，减少对知识的遗忘。 四、认真完成作业 在做作业时要认真，做到多思考多检查，保证作业的质量，养成认真检查的好习惯。 只要我们认真的做到以上几点，我相信我们一定能学好
数学史论文有关数学史的论文数学发展史论文 (1)
数学史论文有关数学史的论文数学发展史论文 用好数学史教好数学课 【摘要】初、高中和大学阶段的数学史教育应体现不同的侧重点。在利用数学史进行爱国主义教育时，应谨防一些片面看法和简单做法。 【关键词】数学史教育；学习兴趣；数学思维；爱国主义教育 “数学史主要研究数学科学发生发展及其规律”，由于数学是一门积累性很强的学科，“研究与学习数学史，可以……研究数学科学发展的规律与文化本质，帮助我们掌握数学的思想、方法、理论和概念，认识数学科学与人类社会的互动关系”。如今，越来越多的教育工作者对数学史教育在数学教学中的多方面作用给予了充分的认可。但是，有关数学史的教学中仍有一些问题值得继续探讨，例如学校教学各阶段对数学史教学的侧重点以及容易出现的一些“片面看法和 简单做法”等。以下提出本人对这些问题的粗浅看法。 一、学校教学各阶段的侧重点 一般来说，数学史教育的作用主要有：1。提高学生学习数学的兴趣；2了解数学结论的来历；3。启发学生的数学思维；4。培养学生的良好品质如吃苦耐劳精神、爱国情操等 根据初中学生的年龄特点和接受能力，初中阶段的数学史教育应更多地注意趣味性。初中生的逻辑和自控能力没有发展成熟，数学教学内容、体系也不严密，因此，在初中阶段的数学史教育应更注重通过数学史培养学生的学习兴趣和良好的思想品质。即突出数学史教育的外在功能。例如，“负数的产生”其重要原因之一即解方程的需要，
但在学科发展历史中虽然经历了长时间的曲折但“负数”这一概念仍不能为人们接受，因此在教学处理上就吸取了教训，不以解方程人手而从“表示相反意义的量”人手引入负数(可参看初一年级上册的有关数学教材)，从这样的历史背景出发，教学中就应提供大量的直观背景和现实模型以使小学刚升初中的学生在趣味中理解“一”号的现实意义。 高中阶段的数学史教育应将重点放在了解数学结论的来历和启发学生的数学思维上。高中数学内容的逻辑性较强，知识体系也渐趋严密，对于某些抽象程度较高的数学知识(如虚数、极限等)，如果缺乏一定的背景材料，不但会给学生造成理解上的困难，也会让学生有“天外来物”的困惑感。数学教师如果能够围绕知识结论的本质，将其发生、发展的过程给学生做以介绍，对学生理解这些知识一定大有帮助；另外，高中数学中存在着大量可以启发学生逻辑思维的历史材料，且高中学生正处于逻辑思维发展的重要时期，因此，利用这些历史材料，不仅能启发学生思维，而且还可以提高学生思维能力、培养学生的创造能力。例如，欧洲文艺复兴时期天文学的兴起使得人们遇到了繁杂的数值计算，“对数”的发明以其节省脑力而“延长了天文学家的寿命”，那么，对中学教学内容的处理就可以围绕指数和对数的本质联系来进行，突出对数运算能有效地将三级运算(乘方与开方)转化为二级运算(乘法和除法)、二级运算转化为一级运算(加法与减法)的转化思想。
生活中的数学(数学小论文)
一次购物经历引出的思考 作者：南昌市城北学校六年级潘帅 指导老师：南昌市城北学校廖文 记得还是去年夏秋相交季节，妈妈说许多商场的服装都开始换季打折了。于是，选定一个休息日，我们便准备上街?狂购一番?。来到一家商场服装部，还没有来得及看衣服，就被?全场买200送200?的宣传条幅深深吸引了，我们决定就在这家商场选购。不一会儿，妈妈买了一件标价398元的上衣，按商场规定，拿到200元返还券。又逛了一会儿，我们看中了一件标价350元的男装T恤，旁边售价牌上大红宣传栏内写着——6折，我赶紧拉着妈妈这件可以打折（当时，我还不懂打折的真正意义，只是经常听大人说，知道‘打折’就比原来便宜）。可是，售货员说：?用返券不打折，只能按正价350元买。?妈妈想想，返券留着也没用，于是就加了150元为爸爸买下了这件T恤。 此事不久，数学课上我们学习?百分数?，其中就有?商品打折?的知识。这使我联想到前几天我和妈妈的经历，总觉得有什么不对劲的地方。回到家，我把那些衣服统统找出来，用新学的知识?埋头苦算?一番。妈妈的上衣是398元，按商场规定，398元不足400元，只能返券200元，这样算来如果买四百零几的服装不是更划算吗？再算350元的T恤，用现金打6折，也就是210元/件，我们用200元券不打折，就加了150元，两件衣服标价总计748元，参加?买200送200?活动，妈妈一共交了548元，也就是说消费748元送了200元，只相当于打了7.5折左右，这和我当初的想法---?五折?相差太远了。我赶紧把自己的想法告诉妈妈，妈妈开心地说；?我早就算过了，平时商场也常打7--8折，‘买200送200’只是一种吸引眼球的促销手段，不一定就会比平常便宜很多，只不过这两件衣服是一定要买的，所以就买了。帅帅现在就能用学校学的知识帮妈妈购物，真了不起。?得到妈妈的夸奖，我很高兴，同时我也知道购物中有很多学问值得我们思考。 这次购物，我收获很多，归纳了一下，购物中要做到三个字：?算、比、想?，
数学史论文
艾滋病传播的微分方程模型 【摘要】微积分的创立，被誉为是“人类精神的最高胜利”，是由常量数学 向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事。16世纪后半叶，牛顿和莱布尼 茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分。 【关键词】牛顿莱布尼茨微积分 引言：（1）古希腊时期微积分的萌芽和中国古代极限思想， （2）16世纪中叶开始，微积分进入酝酿阶段， （3）牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶创立微积分学， （4）微积分诞生以后发生过的争论。 微积分的萌芽阶段 无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。我们在本文中将简要 介绍一下数学中无穷思想发展的历程光辉的起点：数学无穷发展的萌芽时期早在远古时代，无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情，而且远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。 在历史上微积分的萌芽出现得比较早，中国战国时代的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万事不竭”，就蕴含了无穷小的思想。古希腊物理学、数学两栖科学大师阿基米德在公元前三世纪依据前人的穷竭法，用“切片”方法并借助杠杆原理建立了球体的体积公式，这其中就包含了定积分的思想。但在当时，微积分并没有受到人们的广泛关注。直到公元17世纪，在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下，航海、天文、力学、军事、生产等科学技术给数学提出了一系列迫切需要解决的问题。 微积分的酝酿阶段 微积分的酝酿是在17世纪上半叶到世纪末这半个世纪。让我们先回顾一下这半个世纪自然科学、天文学和力学领域所发生的重大事件： 1608年伽利略(Galileo)第一架望远镜的制成，不仅引起了人们对天文学研究的高潮，而且还推动了光学的研究。开普勒(J．Kepler)通过观测归纳出三条行星运动定理。其中，开普勒与旋转体体积，卡瓦列里不可分量原理，笛卡尔圆法，费马的极大极小值求法，巴萨的微分三角形，沃尔斯无穷算术，这些17世纪一系列前驱性工作为微积分的诞生酝酿了基础。 牛顿—莱布尼茨与微积分 1．牛顿与其“流数术” 牛顿（1642~1727），英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。在17世纪60年代的短短几年里牛顿成功地将他17世纪的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引
数学史小论文
数学史小论文 圆周率的历史作用 中文摘要：圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。圆周率是一个常数（约等于 3.1415926），是代表圆周长和直径的比例。它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。圆周率在生产实践中应用非常广泛，在科学不很发达的古代，计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作。因此，圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家的数学水平。 圆周率是极其驰名的数。从这个数有文字记载历史开始，这个数就引起了外行人和学者的兴趣。几千年来，无数古往今外为此奉献出自己的智慧和劳动。 巴比伦人最早发现了圆周率。1600年，英国威廉奥托兰特首先使用pi表示圆周率，因为pi是希腊之“圆周”的第一个字母。1706年，英国的琼斯首先使用pi。1737年，欧拉在其著作中使用，后来被数学家广泛接受，一直沿用至今。 pi是一个非常重要的常数，一位德国数学家评论道：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的重要标志，古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过值的计算方法。从埃及道巴比伦到中国一直都在对圆周率的精确值做出研究。 早期的测算中人们使用了很粗糙方法。古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。 在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。他得到一些关于圆周率的并不划一的近似值，分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。此外为我们所知的就是祖冲之了。 公元前200年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出pi值的正确求法。他专门写了一篇论文《圆的度量》用圆外切与内接多边形的周长以大小两个方向上同时逐步逼近圆的周长，巧妙地求得pi。这是第一次在科学中创用上下界来确定近似值，公元前150年左右，另一位古希腊数学家托勒密用弦表法（以1的圆心角所对弦长乘以360再除以圆的直径）给出了pi的近似值3.1416。 公元200年间，我国数学家刘徽在注释《九章算术》中独立发现了用几何方法求圆周率的方法，称之为“割圆术”。刘徽由正六边形开始，不断倍增正多边形的边数。 2 公元前200年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出pi值的正确求法。他专门写了一篇论文《圆的度量》用圆外切与内接多边形的周长以大小两个方向上同时逐步逼近圆的周长，巧妙地求得pi。这是第一次在科学中创用上下界来确定近似值，公元前150年左右，另一位古希腊数学家托勒密用弦表法（以1的圆心角所对弦长乘以360再除以圆的直径）给出了pi的近似值3.1416。
数学史-课程论文
西南大学 专业学位研究生 课程作业 课程名称数学文化与数学史 培养单位数学与统计学院 级别2017 姓名李楠馨 学号112017314221204 类别免师教育硕士 领域学科教学(数学) 2017年7月22 日 研究生院制
教材中数学史呈现方式的研究现状与趋势 西南大学数学与统计学院 李楠馨 【摘要】本文通过检索分析近十年来国内主要数学教育期刊及硕博士论文中关于“教材中数学史呈现方式的研究”的相关文献，通过文献分析法和对应维度的分类统计，对这一主题内的研究现状和趋势加以梳理和归纳，期望能对数学史与数学文化素材在教材中的融入提供思路和内容参考。 一、研究背景与问题 数学史具有重要的数学价值，已得到理论与实践两个层面的普遍认同。然而在实践教学中，却出现了史料及意识的“无米之炊”以及对数学史“高评价，低利用”的现象。教材中运用数学史可直接为教学提供史料素材，改变“无米之炊”的现状；而以何种方式呈现将决定教学史的使用水平，这对数学教育目标的达成具有重要影响。[1]数学史进入数学课程有显性和隐形两种形式，显性融入虽能起到一定的作用，但并没有深层次的挖掘其中蕴含的数学思维和方法，属于表面性的融入。融入数学史目标和瓶颈在于如何隐形融入，使之在潜移默化中对学生的理解和认知数学以更好的辅助。 一些学者认为，我国教材对数学史的处理方式，因存在简单化倾向，即对数学史料理解单一、内容选择单一、史料编排形式单一等不足，使得数学史内容未能真正融入教材，数学史料和教学主题与内容之间在形式和本质上仍处于分离状态。另外，因受教师认识水平等因素影响，数学史在教学中常处于低水平使用甚至被忽略的状态。数学史激发学生学习兴趣、帮助学生深入理解数学本质等多重资源价值与教学功能未能得到充分发挥。新课程的深入实施，使得数学史融入数学教材成为一个备受关注、颇有争议并富于挑战意义的课题。 数学史融入数学教材的“正文”的各个环节已成为理论研究与实践需要的共同呼声。如今，新课程实施已逾十年，我国教材亦几经改进，教材中的数学史使用情况如何？研究者们在关注数学史融入教材的研究时，尤其以数学史在教材中的呈现方式进行的比较研究已经进行到了怎样的程度？它们的研究成果中有哪些是共性的结果？它们比较的维度和框架都是怎样的？研究这些问题的数学教育工作者主要是高校教师还是一线教师？ 本文通过检索分析近十年来国内主要数学教育期刊上关于“数学史在教材中的呈现方式”的相关文献，通过文献分析法和对应维度的分类统计，
学生数学优秀小论文
学生数学优秀小论文 生活中的“奇妙等式”【南通市城西小学六（1）班支敏言】 数学中有许多等式，比如“速度×时间＝路程”、“单价×数量＝总价”，今天，我要向大家介绍几条数学与我的等式。 生活中，我总结出这一等式：“我＋父母＝正确数学”。平时，我会经常遇到一些难题，但是，父母的工作十分繁忙，很少有时间陪我，每当我睡下时，他们还没回来，一家人唯一的沟通方法，就是那一本“留言本”。每次留下的题目，父母总会绞尽脑汁地为我解答。父母学习书上的例题，给我解答是最令我感动的。每次看到留言本上，父母给我留下的解题思路，我都会在心中默默地感谢他们。 小时候，父母也为我总结出这一等式：“课本＋生活＝数学”。那时，父母工作都不是很忙，每次出去买东西，都会带上我。最让我记忆犹新的是我上中班的时候，妈妈带我买菜的一件事。当时，正值秋季，妈妈见路边有些卖苹果的摊子，便和卖苹果的人讨价还价起来，最终，以一元一斤的价钱买了三斤。当时，妈妈转过头来，亲切地问：“赢赢，一元一斤的苹果，三斤多少钱？”我想了想，说：“是，是三块钱。”惹得周围的人直夸我聪明。回家后，妈妈又问我是怎么会的，我笑着说：“我是用1+1+1=3的。”直到现在，妈妈还经常提那件事，教育我说：“数学不光要学课本上的，还要学习生活中的。” “每晚三题=快乐数学。”这是我小学三年级时所立下的等式。每天晚上做三道思考题不多也不少，只要坚持不懈，一定能积累许多。现在，我依然坚持每天做三道思考题，有时间还能多做一点，两年多了，不知道自己已经做了多少了，也不知道自己写满了多少的本子，这种作业方式,使我受益非浅，让我在多次数学竞赛中获奖，品尝胜利的喜悦。“勤动脑+勤动手=成功，”这是我通过实际生活所悟出的道理，也是我一般的解题顺序。一般拿到题目，我总要先读懂题目，弄清资料，掌握其中的关系，然后根据关系列出算式，一步步地解答。有时，还可以通过画图的方法，根据已知数量画出线段图，便于理解题目。至于答完之后，再找几道类似的题目，巩固一下，对学习也有好处。 其实，生活中还有许多奇妙的等式，在等着我们去总结，去探索。 （指导老师晨风晓月） 不规则茶壶能装水多少【南通市城西小学六（6）班李舒敏】 最近，我校开展了“探索生活中的数学问题”的活动。经过反复思考，我发现这样一个数学问题：怎样才能算出一个不规则的茶壶能装水多少毫升？ 茶壶的形状是不规则的，不好直接利用公式来计算它的容积，但我们可以将茶壶中装满水，再将水倒入一个规则的量杯中，这样，茶壶的容积不就可以利用公式计算出来了吗。首先，我找来一个不规则的茶壶，将其倒满水；再将水滴水不漏地倒入一个规则的长8 cm，宽5cm的长方体量杯中；然后，我再量出量杯中的水高，是16.5cm；最后，利用求长方体体积的公式便求出了这个不规则茶壶的容积了：8×5×16.5=660（立方厘米），合660毫升，也就是这个茶壶能装水660毫升。 这个问题，我还想出了另一个解决的方法：我们可以先称出1立方分米的水重多少千克，再称出装满水后的茶壶中水的重量，这样，同样可以算出不规则茶壶能装水多少毫升。我先称出1立方分米的水重1千克，然后我又称出装满水的茶壶重0.895千克，空茶壶重0.238千克；用0.895-0.238=0.657(千克)，就是装满水后的茶壶中水的重量。0.657÷1 =0.657(立方分米)，合657毫升，也就是这个茶壶能装水657毫升。 没想到这两种方法的误差这么小，我想这两种算法都是可行的吧。 通过这次实验，我发现生活中的数学问题竟这么有意思。让我们在探索生活中的数学问题的过程中学会科学的研究方法，掌握更多有益的知识。
如何写数学小论文
如何写数学小论文 如何写数学小论文 数学这门学科非常重要，下面就是WTT为您收集整理的如何写数学小论文的相关文章，希望可以帮到您，如果你觉得不错的话可以分享给更多小伙伴哦！ 如何写专题论文 一、知识解读 我们所说的专题小论文，实际上是指同学们对在学习、生活或科学文化等领域一些有趣味、有意义的问题进行观察、分析、探讨后写成的成果总结类文章。它的表现形式是多种多样的：可以是对某一事物进行细致观察和深入思考后得出看法；可以是动手实验后分析得出的见解；也可以是对某地进行考查后的总结，还可以靠逻辑推理得出结论……这里“专题”的意思是指一篇文章只就某一现象或问题进行探究，不能一会儿写这个问题，一个儿写那个问题，显得漫无主题。我们所说的“小论文”，不同于专业科研工作者写出的专业性很强的研究论文，它选题较小，内容较浅，因而篇幅也不宜太长。它在格式方面也不作统一要求，只要能把问题说明白即可。
一篇专题小论文的写作，大致分为选择题目、搜集材料、提炼观点、安排结构、起草修改几个步骤。 1、科学选择题目 写作小论文的第一步，就是要确定研究的对象，考虑研究什么问题，这就是选题。有人说，选择好题目就等于完成小论文的一半，可见小论文选题的重要性。 选择题目要注意“实用性”、“可行性”、“创造性”和“趣味性”。 “实用性”就是选择的课题要在生产、生活或科学上有一定的实用价值，即研究成果有可能进行移植应用，为人类服务，对人们的生产生活等有一定的实际意义。 “可行性”就是要从实际出发，也就是要根据自己平时对某种问题或现象的观察、研究，选择研究范围和研究深度适合自己水平、条件的题目，是经过努力可以达到的目标。选题宜“小”，切忌“大”而“全”。避免面面俱到，泛泛而谈，这样有利于深入到问题的实质。 “创造性”就是选择的课题要新颖，有新的设想，主要观点要有自己新的发现、独特的见解。在研究的方法上有所创新，不要简单地重复别人已经做过的实验。这样有利于写出自己的新发现、新认识、新成果。