2020版新高考理科数学专项23： “20题、21题”
专项小测：“20题、21题”
时间：45分钟 满分：24分
20.(12分)
已知函数f (x )＝e x x ＋a (x －ln x )，a ∈R .
(1)当a ＝－e 时，求f (x )的最小值；
(2)若f (x )有两个零点，求参数a 的取值范围．
解：(1)f (x )＝e x x ＋a (x －ln x )，定义域(0，＋∞)，
f ′(x )＝e x (x －1)x 2＋a (x －1)x ＝(x －1)(e x ＋ax )x 2
. (2分)
当a ＝－e 时， f ′(x )＝(x －1)(e x －e x )x 2
. 由于e x ≥e x 在(0，＋∞)恒成立，所以f (x ) 在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，
故f (x )min ＝f (1)＝a ＋e ＝0.
(4分) (2)f ′(x )＝(x －1)(e x ＋ax )x 2
. 当a ＝－e 时， f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝a ＋e ＝0，f (x )只有一个零点； (6分)
当a >－e 时，ax >－e x ，故e x ＋ax >e x －e x ≥0 在(0，＋∞)恒成立， 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝a ＋e>0，
故当a >－e 时， f (x )没有零点；
(8分) 当a <－e 时，令e x ＋ax ＝0，
得e x x ＝－a ，φ(x )＝e x x ，φ′(x )＝(x －1)e x x 2，
所以φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，φ(x )min ＝φ(1)＝e,
故φ(x )在(0，＋∞)有两个零点，x 1，x 2,0 所以f (x )在(0，x 1)上单调递减，在(x 1,1)上单调递增，在(1，x 2)上单 调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增，f (1)＝a ＋e <0 ，又x →0，f (x )→＋∞，x →＋∞，f (x )→＋∞， 此时f (x )有两个零点． (10分) 综上，f (x )有两个零点，则a <－e. (12分) 21．(12分) 《某省高考改革试点方案》规定：从2020年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ＋，B ，C ＋，C ，D ＋，D ，E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%, 7%, 16%, 24%, 24%, 16%, 7%, 3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70][51,60]，[41,50]，[31,40]， [21,30]8个分数区间，得到考生的等级成绩． 原始成绩区间向等级成绩区间的投影 假设小明转换后的等级成绩为x ， 69－6161－58＝70－x x －61 x ＝63.45≈63(四舍五入取整) 小明最终成绩：63分 某校2017级学生共1 000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级A 的学生原始成绩统计如下 的等级分数不小于95的概率； (2)待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到1名同学的物理高考成绩等级为B ＋或A 结束(最多抽取1 000人)，设抽取的学生个数为ζ，求随机变量ζ的数学期望(注： 0.91 000≈1.7×10－46)． 解：(1)设物理成绩获得等级A 的学生原始成绩为x ，其等级成绩为y . 由转换公式93－x x －82＝100－y y －91 ，得y ＝911(x －82)＋91. (2分) 由y ＝911(x －82)＋91≥95，得x ≥86.9≈87. (4分) 显然原始成绩满足x ≥87的同学有12人，获得等级A 的学生有30 人， 恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率为p ＝C 212C 118C 330＝2971015≈0.29. (6分) (2)由题意得，随机抽取1人，其等级成绩为B ＋或A 的概率为3% ＋7%＝0.1， 学生个数ζ的可能取值为1,2,3，…，1000， P (ζ＝1)＝0.1，P (ζ＝2)＝0.9×0.1，P (ζ＝3)＝0.92×0.1，… P (ζ＝999)＝0.9998×0.1，P (ζ＝1000)＝0.9999， (8分) 数学期望： E (ζ)＝1×0.1＋2×0.9×0.1＋3×0.92×0.1＋…＋999×0.9998×0.1＋1000×0.9999 ＝1×0.1＋2×0.9×0.1＋3×0.92×0.1＋…＋1000×0.9999×0.1＋1 000×0.91000 ＝0.1×(1＋2×0.9＋3×0.92＋…＋1 000×0.9999)＋1000×0.91 000. 其中，S ＝1＋2×0.9＋3×0.92＋…＋1 000×0.9999 ，① 0．9S ＝1×0.9＋2×0.92＋…＋999×0.9999＋1 000×0.91 000，② 应用错位相减法“①－②”得： 0．1S ＝1＋0.9＋0.92＋…＋0.9999－1 000×0.91 000 ＝1×(1－0.91 000)0.1 －1 000×0.91 000， S ＝100－(10×1 000＋100)×0.91 000， (10分) 故E (ζ)＝0.1×[100－(10×1 000＋100)×0.91 000]＋1 000×0.91 000＝10×(1－0.91 000)≈10. (12分)