曲面的切平面和法线计算例题

第二章 曲面的表示与曲面论

第三节 曲面的

切平面和法线、 光滑曲面

1、 平面曲线的切线与法线

设平面曲线的方程为 0),(=y x F ,

),(0

y x P 是其上一定点。在该点的切线斜率为

)

,()

,()(00000y x F y x F x y y x ''-

='. 从而曲线过点),(000y x P 的

切线方程为

)

()

,()

,(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-,

即0

(,)()(,)()0x

y

F x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为

(,)()(,)()0y

x

F x y x x F x y y y ''---=，(2)

例1、 求笛卡尔叶形线09)(23

3

=-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线.

解 xy y x y x F 9)(2),(3

3

-+=, y x F x 962

-=',x y F y

962

-='. 12)1,2(,15)1,2(-='='y

x F F , 得到

切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.

图(1)

2、 空间曲线的切线与法平面

设空间曲线L 的方程为 )(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0

, )(),(),(0

t z z t y y t x x ===,

动点

L z z y y x x P z y x P ∈?+?+?+=),,(),,(0

. 动割线P P 0

的方程为

t

z z z t y y y t x x x ??-=??-=??-0

00,

当0→?t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0

的极限位

置l : 0

()()()

x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0

P 的切线.

其方向向量为 0

{(),(),()}x t y t z t τ'''=r

。

过0P 且与切线垂直的平面叫做曲线L 在点0

P 的法平面,其方程为

... (4)

例2 求螺旋线t z t y t x ===,sin 2,cos 2 在点)4/,1,1(π的切线方程与法平面方程.

解 切向量为}1,1,1{-=τρ,切线

方程为 1

4

/1111π-=

-=--z y x ; 法

平面方

程为

0)4/()1()1(=-+-+--πz y x ,即 04/=+--πz y x .

图(2)螺旋线的切线与法平面

3

曲面的切平面与法线

设曲面S 的一般式方程为 0),,(=z y x F ，

),(y x z z =是由该方程确定

的隐函数，则z

x F F x z ''-=??，z

y F F y z

'

'-

=??.设S z y x P ∈),,(0

,

令

)

,,(000z y x F A x '=,

)

,,(),,,(000000z y x F C z y x F B z y '='=,

则曲面S 在点P 的切平面方程的法向量可表为

... (5)

于是切平面π的方程为0)()()(0

=-+-+-z z C y y B x x A ;

法线方程为C

z z B y y A x

x 0

00

-=-=

-.

定理 设曲面S 的一般式方

程为 0),,(=z y x F ，S z y x P ∈),,(0

, {})0,0,0(,,≠=C B A n ?.设曲线L :)(),(),(t z z t y y t x x ===是曲面S 上过点P 的任意一条可微分曲线,)(),(),(0

t z z t y y t x x ===,

l 为L 在点P 的切线,则n l ρ

⊥. 证明 因为S L ?,所以有0))(),(),((≡t z t y t x F .两边对t 求导,再取 0t t =,得 0)()()(0

='+'+'t z C t y B t x A … … ① 则)}(),(),({0

t z t y t x '''=τρ为切线l 的

方向向量.①式表示τρ

ρ⊥n .

图(3)

由该定理可见:曲面S 在点P 的切平面π恰好是由S 上过点P 的所有曲线在P 点的切线所织成的平面(如图(3)所示).

例 3 求椭球面0632),,(2

2

2

=-++=z y x z y x F 在点)1,1,1(P 的切平面及法线方程.

解 }6,4,2{=n

ρ

, 切平面方程为632=++z y x ;

法线方程为

3

1

2111-=

-=-z y x .

图(4) 椭球面的切平面

4 求两个曲面的交线的切线方程

设曲面1

S ：0),,(=z y x F ， 2

S ：0),,(=z y x G .

曲线L 是1S 与2

S 的交线.000

(,,)P x y z L ∈.如图(5)所示.

n 2

n 1

P

L

图(5)

注意到1

S 、2S 在点P 的法

向量分别为)}(),(),({1

P F P F P F n

z

y

x

'''=ρ

和 )}(),(),({2

P G P G P G n z

y

x

'''=ρ

,由于L 过点P 的切线的方向向量τρ同

时垂直于1n ρ与2

n ρ

,故可令2

1n n ρ

ρρ?=τ,得

... (6)

简记为

?

?

?

??

???????==),(),(,),(),(,),(),(},,{y x G F x z G F z y G F n m l τρ

,

于是切线方程为 n

z z m y y l x

x 0

00

-=-=

-.

例4求球面

50),,(222=-++=z y x z y x F

与锥面=),,(z y x G 2

2

2

0x y z +-=的交

线在点)5,4,3(P 处的切线与法平面方程. 解

{}z y x z y x gradF 2,2,2),,(= ,{}5,4,31

=n ρ

;

{}z y x z y x gradG 2,2,2),,(-=,{}5,4,32

-=n ρ

;

{}0,3,410

121-=?=

n n ?

ρρ

τ.

切线方程是0

5

3443-=-=--z y x ,

即

?

?

?==-+-50

)4(4)3(3z y x ;

法平面方程是 0)4(3)3(4=-+--y x , 即034=-y x .

图(6)球面与锥面交线的切线

例5、 设球面的双参数方程为 )cos ,sin sin ,sin cos (),(??θ?θθ?r r r f =ρ

，

π)20π,0(≤≤≤≤θ?。

求过点 )cos ,sin sin ,sin cos (0

??θ?θr r r P 的切平面方程。 提示 ：

因为 ),sin ,cos sin ,cos cos (1??θ?θ?τr r r f -=??=ρρ

).0,sin cos ,sin sin (2?θ?θθ

τr r f -=??=ρρ 所以, 法向量

)

sin cos ,sin sin ,sin cos (2222221???θ?θττr r r n =?=ρ

ρρ

或 ).cos ,sin sin ,sin (cos ??θ?θ=n ρ

故过点0

P 的切平面方程为

,

0)cos (cos )sin sin (sin sin )sin cos (sin cos 0000000000=-+-+-???θ?θ?θ?θr z r y r x 整理得

.

0cos sin sin sin cos 000

=-++r z y x ??θ

?θ

即 球面2222x y z r ++=在其上一点

000(,,)x y z 处的切平面方程为

2000x x y y z z r ++=。