初中数学知识点总结：判别式法与韦达定理

导读：数学，尤其是初中数学，就是一个梦魇，仿佛只是底下头捡了一只笔就错了一个世纪，再也听不懂数学课了。为了解决尔等数学渣的苦恼，下面查字典数学网小编末宝介绍的9个方法贯穿了整个初中乃至高中数学，同学们务必要掌握哦!

1、配方法

通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题

的方法，叫配方法。配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题

方法。通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连

接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

7、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积

计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

8、几何变换法

在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图

形本质的认识。

几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。

9、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。

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第十课判别式与韦达定理

第10课判别式与韦达定理〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗 1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。内容分析 1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，a c x x =21 (2)如果方程x 2 +px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q (3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。考查题型 1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定 2．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0

一元二次方程专题复习讲义(知识点-考点-题型总结)-----hao---use--ok

一元二次方程专题复习一、知识结构：一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法二、考点精析考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是，常数项是。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（） 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为。针对练习： ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

韦达定理在初中数学竞赛应用

韦达定理的应用例1、已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b 则 b a a a b b +的值为（）（2004年全国初中数学竞赛试题第1题）（A ）23 （B ）-23 （C ）-2 （D ）-13 例2、实数t s .分别满足1,01999,01991922≠=++=++st t t s s ，求 t s st 14++的值。（1999年全国初中数学竞赛试题）例3、若1≠ab ，且有0520019,092001522=++=++b b a a ，则b a 的值是（）（2001年全国初中数学联合竞赛试题）（A ） 59 （B ）95 （C ）52001- （D ）92001 例4、已知0325,052322=-+=--n n m m ，其中n m .为实数，求n m 1- 的值。（2000年江苏省初中数学竞赛试题）

例5、设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012 ≠-ab 。求200322)12(a a b ab +-+的值。（2003年全国初中数学联合竞赛初赛题）练习： 1、已知实数b a ,满足027,02722=+-=+-b b a a ，求 b a a b +的值。 2、已知实数b a ,满足015,01522=--=--b b a a ，求 b a a b +的值。 3、已知实数b a ,满足025,02522=++=++b b a a ，求 a b b a +。 4、已知βα,是方程022)2(322=--++m x m x 的两根且 2=βα，求m 的值。 5、已知21,x x 是方程06)53(422=---m x m x 的两根，且 2321=x x ，求m 的值。 6、关于x 的方程)(09)(2b a x b a x <=+--的两实根为βα,，求αββα+的值。

韦达定理知识点及应用解析

韦达定理知识点及应用解析 Revised on November 25, 2020

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析 1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = -a b ， x 1·x 2 = a c 。对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q 2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ?方程有实数根。 3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0) 4、根与系数的关系求值常用的转化关系： ①x 12 +x 22 =(x 1+x 2)2 -2x 1x 2=a c a 2b -2 -?? ? ??=2 22a ac b - ② c b x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 = a c -b +a 2 ④(x 1-x 2)2 =(x 1+x 2)2 -4x 1x 2 =2 a 4ac -b 2 5、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠0，且必须有实数根，即△≥0；（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。

一元二次方程根的判别式与韦达定理

一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点一、一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?．（1）当△>0?一元二次方程有2 个不相等的实数根；1x = 2x = （2）当△=0?一元二次方程有2个相等的实数根；122b x x a ==- （3）当△<0?一元二次方程没有实数根．例1：下列一元二次方程没有实数根的是（） A ．x 2+2x +1=0 B ．x 2+x +2=0 C ．x 2﹣1=0 D ．x 2﹣2x ﹣1=0 【变式一】不解方程，判断一元二次方程2210x ax a -++=的根的情况是（）． A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根例2．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是．【变式一】关于x 的方程()22210m x x ++-=有两个不等的实根，则m 的取值范围是知识点二、韦达定理 1．如果一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的两根为12x x 、，那么有：1212b x x a c x x a ? +=-????=?? ．例3：已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则α+β-αβ的值是（） A ．3 B ．1 C ．-1 D ．-3 知识点&例题

【变式一】已知一元二次方程22210x x +-=的两个根为1x ，2x ，且1x ＜2x ，下列结论正确的是（） A ．1x + 2x =1 B ．1x ?2x =-1 C ．|1x |＜|2x | D ．21112 x x += 【变式二】已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121235x x x x +-=，那么b 的值为（） A ．4 B ．-4 C ．3 D ．-3 2、利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形 ①()2 221212122x x x x x x +=+-；例4：设1x 、2x 是一元二次方程22410x x --=的两实数根，则的2212x x +值是（） A ．2 B ．4 C ．5 D ．6 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根，则2212x x + = ．【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣6=0的两根，则α2+β2= ． ②()()2 21212124x x =x x x x -+-；例5：设1x 、2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则()2 12x x -的值为．【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣6=0的两根，则()212x x - = ．【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+7x ﹣6=0的两根，则()2 α-β= ． ③12x x =-± 例6：设1x 、2x 是一元二次方程23450x x -+=的两实数根，则12x x -的值为．【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程21 5102 x x --=的两根，则12x x - = ．【变式二】若α、β是一元二次方程2250x x +-=的两根，则α-β= ．

一元二次方程之韦达定理

一对一个性化辅导教师授课学案学生姓名年级初三科目数学授课老师相老师总课时数第几次课 3 授课时间审核人本次课课题一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练教学目标韦达定理授课内容教学内容对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？

分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

公式法与韦达定理

解一元二次方程（3）公式法解一元二次方程推导 ax 2+bx+c=0 x 2+x a b +a c =0 x 2+x a b =-a c 2 +x a b +2 2?? ? ??a b =-a c +2 2??? ??a b (x+a b 2)2 =2 244a ac b - x= a b a a c b 2242--± x = 根的判别式(b 2-4ac) 240b ac ->?方程有两个不相等的实数根. 240b ac -=?方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根). 240b ac -

解：21,2(1),1a b k c k ==-+=- []2 2 2 42(1)41(1)88b ac k k k ∴-=-+-??-=+ 因为方程有实数根，240b ac ∴-≥ 即：880k +≥ 1k ∴≥- 220x x -+=的根的情况是( ). A 、只有一个实数根. B 、有两个相等的实数根. C 、有两个不相等的实数根. D 、没有实数根 m 为何值时，方程x 2－（2m+2）x+m 2+5=0（20分）（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根公式法解一元二次方程例：解方程：2273x x -= 公式法解一元二次方程的步骤：解： 22730x x --= ①、把一元二次方程化为一般形式： 20ax bx c ++=(0a ≠) 2,7,3a b c ∴==-=- ②、确定,,a b c 的值. 224(7)42(3)73b ac ∴-=--??-=>0 ③、求出24b ac -的值. (7)7224 x --±±∴= =? ④、若240b ac -≥，则把,,a b c 及24b ac -的值代入

判别式与韦达定理的应用

【学习课题】九上补充内容综合应用根的判别式和韦达定理龙泉二中范积慧【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系 2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值【学习过程】学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________ △＞0?__________△=0 ?_____________△＜0 ?__________ （2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2 x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________ 解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论：（1）若a 、c 异号 ? ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根；（2）有一个根为1 ? a+b+c=0 ；（3）有一个根为—1 ? a —b+c=0；（4）有一个根为0 ? c=0 （5）有两个正根 ??????+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ? ?? ???+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ????0021＜△＞x x （8）两根同号 ????≥002 1＞△x x （9）两根互为相反数????=?=+0 0021b x x △＞（10）两根互为倒数????=≥102 1x x △ （11）一根为正，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＞△＞（12）一根为负，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＜△＞（13）两根均为0?b=c=0 (14) 一根比a 大，一根比a 小????--0))(021 ＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不等式组即可求出k 的值。

韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

判别式与韦达定理

第三讲判别式与韦达定理教学容：判别式与韦达定理教学目标： 1、熟练掌握判别式的概念以及判别式与方程根的情况； 2、能熟练运用△求方程中的参数值或取值围； 3、理解并掌握韦达定理的定义； 4、熟练掌握一些常用代数式的变形； 5、能利用韦达定理构造一元二次方程； 6、经过本章的学习，体会一元二次方程根与系数的关系，以及加深对一元二次方程的理解。教学重点： 1、△与方程根的关系； 2、韦达定理； 3、常用代数式的变形；教学难点： 1、运用△求方程中参数的值或取值围； 2、常用代数式的变形；教学方法：探究法、讲授法；教学过程： 8:20~8:30:考勤，收发作业 8:30~8:50:进门考第一课时8:50~9:20 一、讲评作业二、导入新课子曰：“温故而知新，可以为师矣！”所以在学习今天的新知识前我们先一起

来温习一下昨天我们学了什么？ 1、引导学生复习一元二次方程：定义一元二次方程特点解直接开方解法配方公式因式分解 2、举例复习四种方法：（1） x 2=25 （2） 2x 2+4x-2=0 （3） 2123 0234 x x +-= （4） 2560x x ++= 3、问公式引入判别式三、探索新知： 1、回顾得出判别式的概念：24b ac ?=-作用：判别一元二次方程根的个数. 要先化为一般式 2、算出下列一元二次方程的判别式 2223720230410 x x x x x x -+=-=++= 3、判别式与方程的根的关系 1,2120020x b x x a ?>?= -?=?==?

初中数学竞赛辅导-韦达定理及其应用

学科：奥数年级：初三不分版本期数：346 本周教学内容：韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】 1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b 为实数，且，，求的值。思路注意a，b 为方程的二实根；（隐含）。解（1）当a=b时，；（2 ）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得，ab=1. 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。

★★★例2 若，且，试求代数式的值。思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为，由根的定义知m ，n 为方程的二不等实根，再由韦达定理，得， ∴ 2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3 设一元二次方程的二实根为和。（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。解（1）由韦达定理知，。，。所以，所求方程为。（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q ）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。于是，得以下七个方程，，，，， 01x 2x 2=++，01x 2=-，其中01x 2=+无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。

根的判别式韦达定理

一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点1.根的判别式 2 1.402 2.0204 3.,22ac b b ac b x x a a ? ?≠-????>???? ?=?????

1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02 =-x x 中，无实根的方程是。 2、已知关于x 的方程022 =+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是。 3、下列方程中，无实数根的是（） A 、011=-+-x x B 、 762=+y y C 、021=++x D 、0232=+-x x 4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(2 2 =+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（） A 、43< m B 、m ≤43 C 、4 3>m 且m ≠2 D 、m ≥43 且m ≠2 5、在方程02 =++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（） A 、有两个不等实根 B 、有两个相等实根 C 、没有实根 D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2 ＋kx －1=0的根的情况是（） A 、有两个不相等的同号实数根 B 、有两个不相等的异号实数 C 、有两个相等的实数根 D 、没有实数根 7、 m 取何值时，方程()0112)2(2 2 =++--x m x m （1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根 8、试证：关于x 的方程1)2(2 -=+-x m mx 必有实根。 9、已知关于x 的方程022 =-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、 n 的值。

初中数学代数复习之韦达定理

代数复习三-----------一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一）、一元二次方程的根的判断式? 一元二次方程2 0 (0)a x b x c a ++=≠，用配方法将其变形为： (1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当240b ac -=时，右端是零．(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ?=- 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 22310x x -+= (2) 24912y y += (3) 25(3)60x x +-= 解：(1) 2(3)42110?=--??=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：241290y y -+= 2(12)4490?=- -??=，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：256150x x -+= 2(6)45152640?=--??=-<，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．

【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ?=--??=- (1) 1 41203k k ->?<； (2) 141203k k -=?= ； (3)31 0124≤?≥-k k ； (4) 31 0124>?<-k k ．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得： 22(2)10x y x y y --+-+= 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此： 222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=，代入原方程得：22101x x x ++=?=-．综上知：1,0x y =-= 二）、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： x x == 所以：12b x x a += +=-， 22122 2()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?=== 韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：以通常把此定理称为”韦达定理”．【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂

(人教版初中数学)韦达定理

判别式与韦达定理〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗 1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 内容分析 1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△＝0时,方程有两个相等的实数根, 当△＜0时,方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,那么a b x x -=+21,a c x x =21 (2)如果方程x 2 +px+q=0的两个根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-P, x 1x 2=q (3)以x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2,那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么梗的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如：设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力. 考查题型 1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定 2．设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（）

二次函数根的判别式韦达定理

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 222 4()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22 424b b ac x a a -+=± 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． 2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则 ①0?>?方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a ==-． ③0?;有两个相等的实数根时，0?=;没有实数根时，0?<． (2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ?=-判定方程的根的情况 (有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ?=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ② 当0a <时?抛物线开口向下?顶点为其最高点． 3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有 ()()212ax bx c a x x x x ++=-- 比较等式两边对应项的系数，得 1212 b x x a c x x a ? +=-??? ??=??? ①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性．在24b ac ?=-≥0的条件下，我们有如下结论：当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，

初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)

初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。【例题求解】【例1】已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为。思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。【例3】已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。【例4】设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。

韦达定理的应用与提高自招题集

韦达定理的应用与提高自招题集 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

应用题例题.1、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元 2.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价 3.某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？根的判别式 1、（2017?和平区校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根 B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大

【分析】根据根的判别式△=b 2﹣4ac 的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况．【解答】解：∵a ＞0，b ＜0，c ＜0， ∴△=b 2﹣4ac ＞0，＜0，﹣＞0， ∴一元二次方程ax 2+bx +c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大．故选：C ．【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析 1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = - a b ， x 1·x 2 = a c 。对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q 2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ?方程有实数根。 3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0) 4、根与系数的关系求值常用的转化关系： ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2 -2x 1x 2=a c a 2b -2 -??? ??=2 22a ac b - ② c b x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 = a c -b +a 2