高中物理传送带运动专题讲义
传送带问题
传送带问题往往牵扯到运动学、动力学、功与能等多方面知识，经常伴随相对运动、摩擦力的突变和能量传递与耗散等复杂情境而存在，能够充分考查学生的分析能力和综合运用能力，因此这些知识内容成为多年来教学和考试的经典内容。也正是因为这一特性，使得传送带问题成为几乎所有学生的一大疑难。学生通常可能不同程度存在以下问题：
1．对于物体与传送带之间是否存在摩擦力、是滑动摩擦力还是静摩擦力、摩擦力的方向如何，等等，这些关于摩擦力的产生条件、方向的判断等基础知识模糊不清； 2．对于物体相对地面、相对传送带分别做什么样的运动，判断错误；
3．对于物体在传送带上运动过程中的能量转化情况考虑不全面，出现能量转化不守恒的错误过程。
物块在水平传送带上运动情况的判断
4m/s 的速度顺时针匀速运动，主动轮与从动
轮的轴心距为12m 。现将一物体m 轻轻放在A 轮的正上方，物体与传送带之间的动摩擦因数为0.2，则物体m 经多长时间运动到B 轮的正上方？（物体m
可视为
质点，g 取10 m/s 2）
【启导】要求得物体在在传送带上运动的时间，关键是确定物体在传送带上的运动过程。
那么，怎样来确定物体的运动情况呢？我们可以假设物体在传送带上一直做匀加速运动，然
后将传送带轴距带入速度与位移的关系式（）中，求出物体的最大速度，再与传送带速度相比较。如果比传送带速度大，则说明物体一直匀加速不可能，应该是先匀加速到传送带速度再与传送带保持相对静止，做匀速运动；若其小于等于传送带速度，则说明物体一直做匀加速运动，其中等于说明物体刚好运动到传送带末端时与传送带共速。物体运动情况一旦确定，就可以运用运动学规律求解要求的物理量了！
ax v v 2
2
02=
-疑难一
【解析】假设物体在传送带上一直做匀加速运动，则
①
②
联立①②式，代入数据，解得m/s >v
因此，物块在传送带上一直加速不可能，应是先匀加速至与传送带共速，然后再匀速运动。由运动学规律知
③
（或） ④ ⑤ ⑥
联立③④⑤⑥式，代入数据，解得s 【答案】4s
【品味】我们不妨将以上判断方法总结为“代轴距，比速度”，那么除此之外还有没有其它方法呢？学员可以进行思考、讨论。实际上我们还可以“代速度，比长度”，学员自行完成。
总之，求解传送带问题，明确物体在传送带上的运动情况，是第一要务。假设法是我们较为常用的方法，对摩擦力基本要素的正确分析是解题的关键。
物块在水平传送带上摩擦痕迹的计算
带。当旅客把行李箱放到传送带上时，传送带对行李箱的滑动摩擦力使行李开始做匀加速运动。随后它们保持相对静止，行李箱随传送带一起前进。设传送带匀速前进的速度为0.3m/s ，把质量为5kg 的行李箱静止放到传送带上，由于滑动摩擦力的作用，行李箱以6m/s 2的加速度前进，那么这个行李箱放在传送带上后，传送带上将留下一段多长的摩擦痕迹？ 【启导】传送带上留下的摩擦痕迹，就是行李箱在传送带上滑动过程中留下的，行李箱做初速为零的匀加速直线运动，传送带一直匀速运动，因此行李箱刚开始时跟不上传送带的
aL v m 22
=ma mg =μ34=m v 1at v =212
1at x =
12
t v
x =2vt x L =-21t t t +=4=
t
运动。当行李箱的速度增加到和传送带相同时，不再相对滑动，所以要求的摩擦痕迹的长度就是在行李箱加速到0.3m/s 的过程中，传送带比行李箱多运动的距离。 【解析】
解法一（基本方法）
行李加速到传送带速度所用的时间
这段时间内，行李箱和传送带的位移
摩擦痕迹的长度
解法二（图像法）
作出物体、传送带的图象，如图所示。
由图象知，图中物体、传送带图象与纵坐标围成面积大小就是划痕长度。由于物体
图象的斜率表示加速度，故
由几何关系知
解法三（相对运动法）
以匀速前进的传送带作为参考系．设传送带水平向右运动。行李箱刚放在传送带上时，
相对于传送带的速度m/s ，方向水平向左。行李箱受到水平向右的摩擦力作用，做减速运动，速度减为零时，与传送带保持相对静止。
行李箱做减速运动的加速度的大小为m/s 2 行李箱做减速运动到速度为零所通过的路程为
v 0.05s s 6
3
.0===a v t m 0075.0m 05.02
3
.021
=?==t v x 0.01m 05.03.02=?==
vt x m 5.7m 0075.01
2==-=?x x x t v -x ?t v -0.05s ==
a
v
t mm 5.7m 0075.0m 05.03.02
121==??==?vt x 3.0
=v 6=a mm 5.70075.0m 6
23.0222≈=?==?m a v x
故行李箱在传送带上留下7.5mm 长的摩擦痕迹 【答案】7.5mm
【品味】我们用运动学基本公式直接求出的位移往往是物体的对地位移，并不是物体在传送带上的划痕。求“划痕”实际上求物体相对于传送带的位移大小，因为当其与传送带共速时，与传送带保持了相对静止，就不会在传送带上“划”下痕迹了！
从本题求解过程发现，对于传送带问题的求解方法并不唯一，可以从不同角度，多个方面进行分析求解。通过对比发现图像法与相对运动法的灵活运用给解题带来了很大方便。然而，求解过程虽便捷了，但对作图、用图能力和思维能力的要求却大大提高了，需要说明的地方也较多，建议水平达到一定程度的学员可以进行方法拓展，但须明白方法的精炼和提升是以扎实的基本方法为基础的升华、并非空中楼阁，否则还是中规中矩，老老实实掌握好基本方法为妙。在运用图像法时要注意准确画出运动图像，弄清图像物理意义，将图像与实际运动紧密结合，然后灵活运用几何关系求解。在运用相对运动法时，要注意选好参考系，弄清楚相对速度和相对加速度。
冲上传送带物块的运动情况分析
沿顺时针方向转动，传送
带右端有一与传送带等高的光滑水平面，一物体以恒定的速率沿直线向左滑上传送带后，
经过一段时间又返回光滑水平面，速率为，则下列说法正确的是（ ） A ．若，则； B ．若，则； C ．不管多大，总有； D ．只有时，才有 【启导】物块冲上传送带后，由于其运动方向与传送带方向相反，受到阻碍其相对运动的滑动摩擦力作用，从而做匀减速直线运动，当物块的速度减为零后，又会在滑动摩擦力作用下反向加速。那么物块速度能加到多大呢？这要看物块速度与传送带速度的大小关系。如果物块速度小于传送带速度，由于其在传送带上减速和加速时的加速度相同，所以其两过程的位移大小是相同的。由此可知当物体再次回到出发点时，物体的速度大小应与其原来速度
1v 2v 2
v '21v v <12
v v ='21
v v >22
v v ='2v 22
v v ='21v v =12
v v =
'
大小相同，方向相反；如果物块速度大于传送带速度，那么其速度减为零后反向加速的位移大小必然小于减速时的位移大小，因为当物块加到与传送带速度相同时就不会再加速了；如果物块速度等于传送带速度，则返回时速度大小不变，方向反向。
【解析】作出物体与传送带图像，由于物块速度与传送带速度大小关系未知，因此应分情况讨论，分析可知有三种可能，如图所示。
由图可知，当时，；当时，。因此A 、B 选项正确。 【答案】AB
【品味】物块以不同速度，从不同方向，冲向不同长度的水平匀速运动的传送带时其运动情况往往是不相同的。那么我们如何去分析求解呢？分析摩擦力的要素是关键！物体与传送带的相对运动决定了摩擦力的方向，而在摩擦力的作用下物体速度又会发生变化，其变化方向总是朝着与传送带速度相等的方向进行，物体与传送带速度相等后就会保持相对静止一起匀速运动。而传送带的长度往往又会影响到物体能否加速到传送带速度。在分析时可以借助图像进行分析，从而简化过程。
物体在顺时针倾斜传送带上的运动
θ=37°，以6m/s 的速度顺时针
转动，在传送带下端轻轻地放一个质量m =0.5kg 的物体，它与传送带间的动摩擦因数=0.8，已知传送带从A 到B 的长度L =50m ，则物体从A 到B 需要的时间为多少？
【启导】传送带沿顺时针转动，与物体接触处的速度方向斜向上，物体初速度为零，所以物体相对传送带向下滑动（相对地面是斜向上运动的），因此受到沿斜面向上的滑动摩擦力作用，这样物体在沿斜面方向上受沿斜面向下的重力分力和沿斜面向上的滑动摩擦力作用，因此物体要向上做匀加速运动。当物体加速到与传送带有相同速度时，摩擦力情况要发生突变，由于μ ≥ tan θ，故物体将和传送带相对静止一起向上匀速运动，所受静摩擦力沿斜面向上，大小等于沿斜面向下重力的分力。
【解析】物体放上传送带以后，开始一段时间做匀加速运动，由牛顿第二定律得
t v -2v 1v 12v v <
22
v v ='12v v ≥12v v ='t v -μma mg mg =-θθμsin
cos 1v v -
解得 物体加速过程的时间和位移分别为
< 50m
由于mg sin θ<μmg cos θ，所以此后物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用，与传送带一起匀速运动。
设物体完成剩余的位移所用的时间为，则
解得 需要的总时间
【答案】 【品味】该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向，并对物体加速到与传送带有相同速度时，是否已经到达传送带顶端进行判断。倾斜传送带问题，实际上是将传送带与斜面综合起来的问题，因此在分析摩擦力要素时必须要考虑到斜面情境。
物体在逆时针倾斜传送带上的运动
传送带与地面成夹角θ=37°，以10m/s 的速度逆时针转动，
在传送带上端轻轻地放一个质量m =0.5kg 的物体，它与传送带间的动摩擦因数=0.5，已知传送带从A 到B 的长度L =16m ，则物体从A 到B 需要的时间为多少？
【启导】传送带逆时针转动，物体初速度为零，物体相对传送带向上滑动（相对地面是斜向下运动的），其受到传送带的摩擦力沿斜面向下，由于物体重力的分力方向也沿斜面向下，故体要做匀加速运动。当物体加速到与传送带有相同速度时，摩擦力情况发生突变，共速的瞬间二者间相对静止，无滑动摩擦力，但物体此时还受到重力的分力作用，因此相对于传送带有向下的运动趋势，若重力的分力大于物体和传送带之间的最大静摩擦力，即满足μ
2
m/s
4.0=a s 15s 4
.06
1===a v t m 452 2
1==a
v x 2x 2t 22vt x =L x
x =
+21s 83.0 2≈t s 83.1521=
+=t t t s 83.15
μ
【解析】物体放上传送带以后，开始一段时间，做匀加速运动，由牛顿第二定律知 解得 物体加速到与传送带共速所用时间和位移 < 16m 由于mg sin θ>μmg cos θ，故此后物体受到的摩擦力变为沿传送带向上，由牛顿第二定律知 设物体完成剩余的位移所用的时间为，则 解得s 12=t 或s 112-=t （舍去） 所以下滑过程需要总时间为 【答案】2s 【品味】求解该题目的关键就是要弄清各阶段物体所受摩擦力的大小和方向，还要注意物体速度增加到与传送带共速时位移大小与传送带的轴间距的关系。如果L 5m ，物体将一直加速运动。在L 较大的情况下，若μtan θ，第二阶段物体将和传送带保持相对静止一 1 cos sin ma mg mg =+θμθ2 1m/s 10= a s 1s 1010 1 1=== a v t m 52 1 2 1==a v x 2 cos sin ma mg mg =-θμθ2 2m/s 2=a 2x 2t 222222 1t a vt x +=L x x = +21s 221= +=t t t ≤≥ 起向下匀速运动；否则将在传送带上继续加速，只是加速度较原来由于摩擦力的反向而变小了。 传送带中的功能关系 匀速运动，将一质量为的小木块无初速轻放到 传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，则当小木块与传送带相对静止时，转化为内能的能量是多少？ 【启导】该题首先必须清楚当小木块与传送带相对静止时，转化为内能的能量应 该怎么来求，要具有“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。”这一知识观念。有了这样的知识观念，则问题就转化为求相对路程问题了。 【解析】木块放上传送带上后开始做匀加速运动，由牛顿第二定律知 解得 由可知木块与传送带共速时的位移大小 由可知木块与传送带共速时所用时间 这段时间内传送带运动的位移 木块相对传送带滑动的位移 摩擦产生的热 解得 【答案】（注；这时位移等于路程） v m ma mg =μg a μ= v a x 2 2 =g v x μ22 =at v =g v t μ= x vt v g '== 2 μ?x x x v g =-= '2 2μx mg Q ??=μ2 2 1mv Q = 22 1 mv 【品味】从本题结果中我们惊奇的发现摩擦生热恰巧等于物块获得的动能！这是巧合还是能够成为一个结论呢？学员可以思考或讨论。仔细研究会发现：将静止状态物体放到匀速运动的传送带上，在物体与传送带共速过程中，转化为内能的能量值和物体增加的动能值相等。其实，原因很简单——物体在该过程中的对地位移与传送带相对物体的位移大小是相等的。 如果遇到不是特别复杂的计算题时，就应该有类似本题的较为详细的解题步骤（求解相对位移，可以应用图像法或相对运动法进行简化）。在求解选择题、填空题或较为复杂综合性题目时，如果遇到类似问题，可直接应用该结论。 37o的传送带以4m/s 的速度沿图示方向匀速运动。已知传送带的上、下两端间的距离为L=7m 。现将一质量m=0.4kg 的小木块放到传送带的顶端，使它从静止开始沿传送带下滑，已知木块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25，取g =10m/s 2。求木块滑到底的过程中，摩擦力对木块做的功以及生的热各是多少？ 【启导】求解该题，要明确两点：一是弄清物体在传送带上运动过程；一是能够区分和计算摩擦力对物体做的功与摩擦生热。 【解析】初始阶段物体做匀加速运动，由牛顿第二定律知 解得 a 1=8m/s 2 该过程所用时间 t 1= =0.5s 物体位移大小 s 1==1m 由于μ 解得a 2=4m/s 2 这一阶段物体位移大小 x 2= L -x 1=6m 1 37cos 37sin ma mg mg =+ μ1 a v 1 2 02a v 2 37cos -37sin ma mg mg = μ 所用时间 x 2= v 0t 2 ＋ 解得 t 2=1s 或t 2=-3s （舍去） 故摩擦力所做的功 W = μmg cos37o·x 1 - μmg cos37o· x 2= -4.0J 全过程中生的热 Q = f·s 相对 s 相对=（v 0t 1-x 1）+（x 2-v 0t 2） 代入数据，解得 Q =2.4J 【答案】摩擦力对木块做的功以及生的热分别为-4.0J 和2.4J 【品味】求解该题目的关键在于正确分析物体受力情况，弄清清楚物理过程，分段处理，求出物体和传送带的位移，以及物体和传送带间的相对位移。求解相对位移时特别要注意谁跑得“快”，谁跑得“慢”，用位移大的减去位移小的，就是这段时间内多走的，即相对位移。本题中第一阶段传送带位移大于物块，第二阶段物块位移大于传送带，两阶段都产生了相对位移，都有热量产生，两阶段热量之和即为全过程摩擦生的热。 对象众多，过程复杂的传送带综合题 AB 区域时是水平的，经过BC 区域时 变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切。现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。每个箱子在A 处投放后，在到达B 之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC 段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为N 。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率。 2222 1t a 37cos mg f μ= P 【启导】小货箱放在传送带的AB 段上时，由于货箱的初速度为0，传送带以恒定的速度运动，两者之间有相对滑动，出现滑动摩擦力。作用于货箱的摩擦力使货箱加速，直到它的速度增大到等于传送带的速度，作用于传送带的摩擦力有使传送带减速的趋势，但由于电动机的作用，保持了传送带的速度不变。尽管作用于货箱跟作用于传送带的摩擦力的大小是相等的，但小货箱与传送带运动的路程是不同的，因为两者之间有滑动。如果货箱的速度增大到等于传送带的速度经历的时间为t ，则在这段时间内货箱运动的路程和传送带运动的路程两者大小不同。在这段时间内，传送带克服摩擦力做的功大于摩擦力对货箱做的功，两者之差即为摩擦发的热。所谓传送带克服摩擦力做功，归根到底是电动机在维持传送带速度不变的过程中所提供的。这也就是在传送带的水平段上使一只小货箱从静止到跟随传送带一起以同样速度运动的过程中，电动机所做的功，这功一部分转变为货箱的动能，一部分因摩擦而发热。当货箱的速度与传送带速度相等后，只要货箱仍在传送带的水平段上，电动机无需再做功。为了把货箱从C 点送到D 点，电动机又要做功，用于增加货箱的重力势能。由此便可得到输送N 只货箱的过程中电动机输出的总功。 以上分析都是在假定已知传送带速度的条件下进行的，实际上传送带的速度是未知的。因此要设法找出。题中给出在时间T 内运送的小货箱有N 只，这是说，我们在D 处计数，当第1只货箱到达D 处时作为时刻t =0，当第N 只货箱到达D 处时恰好t =T 。如果把这N 只货箱以L 的距离间隔地排在CD 上（如果排得下的话，其实排不下也无所谓），则第N 只货箱到D 处的距离为（N -1）L ，当该货箱到达D 处，即传送带上与该货箱接触的那点在 时间T 内运动到D 点，故有。由此便可求出，电动机的平均功率便可求得。由于N 很大，N 与N -1实际上可视作相等的。 【解析】以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为，在水平段的运输过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，直到其速度与传送带的速度相等。设这段路程为s ，所用的时间为t ，加速度为a ，则对小货箱有 ① ② 在这段时间内传送带运动的路程为 ③ 由上可得 ④ 用F f 表示小货箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小货箱做功为 ⑤ 传送带克服小货箱对它的摩擦力做功 v v ()vT L N =-1v v 2 2 1at s = at v =vt s =0s s 20=212 1mv s F W f =?= ⑥ 两者之差就克服摩擦力做功发出的热量 ⑦ 可见，在小货箱加速过程中，小货箱获得的动能与发热量相等 T 时间内电动机输出的功为 ⑧ 此功用于增加N 个小货箱的动能、势能和使小货箱加速时程中克服摩擦力发的热，即 有 ⑨ N 个小货箱之间的距离为(N -1)L ，它应等于传送带在T 时间内运动的距离，即有 因T 很大，故N 亦很大，所以 故⑩ 联立⑦⑧⑨⑩式，得 【答案】 【品味】本题初看起来比较复杂，关于装置的描述也比较冗长．一般来说对于实际的问题或比较实际的问题，冗长的描述是常有的。要通过对描述的研究，抓住关键，把问题理想化、简单化，这本身就是一种分析问题、处理问题的能力。通过分析，可以发现题中传送带的水平段的作用是使货箱加速，直到货箱与传送带有相同的速度。使货箱加速的作用力来自货箱与传送带之间的滑动摩擦力。了解到这一点还不够，考生还必须知道在使货箱加速的过程中，货箱与传送带之间是有相对滑动的，尽管传送带作用于货箱的摩擦力跟货箱作用于传送带的摩擦力是一对作用力与反作用力，它们大小相等，方向相反，但在拖动货箱的过程中，货箱与传送带移动的路程是不同的。因此作用于货箱的摩擦力做的功与传送带克服摩擦力做的功是不同的。如果不明白这些道理，就不会分别去找货箱跟传送带运动的路程。虽然头脑中存有匀变速直线运动的公式，但不一定会把这些公式灵活地加以使用。而在这个过程中，不管货箱获得的动能还是摩擦生成的热，这些能量最终都来自电动机做的功。 2 20 02 12mv mv s F W f =?=?=22 1mv Q = T P W =NQ Nmgh Nmv W ++=2 2 1()L N vT 1-=()NL L N ≈-1NL vT ≈??? ? ??+=gh T L N T Nm P 22 2??? ? ??+gh T L N T Nm 22 2 传送带的倾斜段的作用是把货箱提升h高度。在这个过程中，传送带有静摩擦力作用于货箱，同时货箱还受重力作用，这两个力对货箱都做功，但货箱的动能并没有变化。因为摩擦力对货箱做的功正好等于货箱克服重力做的功，后者增大了货箱在重力场中的势能。同时在这个过程中传送带克服静摩擦力亦做功，这个功与摩擦力对货箱做的功相等，因为两者间无相对滑动。所以货箱增加的重力势能亦来自电动机。 有的同学见到此题后，不知从何下手，找不到解题思路和解题方法，其原因可能是对涉及的物理过程以及过程中遇到的一些基本概念不清楚造成的。求解物理题，不能依赖于套用解题方法，不同习题的解题方法都产生于对物理过程的分析和对基本概念的正确理解和应用。 1．传送带的概念 利用工作构件的旋转运动通过摩擦力的牵连作用达到搬运物体目的的机械装置。2．本质特征 ①物体与传送带接触 ②通过静摩擦力或滑动摩擦力对物体发生作用 ③由动力装置为传送带提供能量 3．常见基本问题及其处理方法 4．水平传送带运动情境分析 （可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因 数为。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a 0开始运动，当其速度达到v 0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。 【解析】 方法一（全过程法） 根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a 小于传送带的加速度a 0。根据牛顿运动定律，可得 ① 设经历时间t ，传送带由静止开始加速到速度等于v 0，煤块则由静止加速到v ，有 ② ③