2018年长沙市中考数学试题-详细解答

2018年长沙市初中学业水平考试

数学详细解答

一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。共12小题，每小题3分，共36分)

1、-2的相反数是( C )

A、-2

B、

1

2

-

C、2

D、

1

2

相反数，绝对值等概念考点

2、据统计，2017年长沙市地区生产总值为10200亿元，经济问题迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为( )

A、

5

0.10210

? B、3

1.0210

? C、4

1.0210

? D、5

1.0210

?

科学记数法考点：六个字点点，数数，模样正确答案选C

3、下列计算正确的是( )

A、

235

+=

a a a B、32221

-= C、235

()=

x x

D、

532

÷=

m m m

合并同类二次根式（项），幂的运算等：

正确答案选D，（同底数幂相除，底数不变，指数相减）4、下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )

A、4,5,9

cm cm cm

B、

8,8,15

cm cm cm

C、

5,5,10

cm cm cm D、

6,7,14

cm cm cm

三角形三边的关系，另两边之差＜一边＜另两边之和。

正确答案选B

5、下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

轴对称图形与中心对称图形的概念。

正确答案选A

6、不等式组

20

240

+>

?

?

-≤

?

x

x

的解集在数轴上表示正确的是

-2

A 2

-2

B

2

-2

D

2

一元一次不等式组的解法及在数轴上的表示方法。 正确答案选C

7、将下面左侧的平面图形绕轴l 旋转一周，可得到的立体图形是( )

旋转可得的立体图形。 正确答案选D

8、下列说法正确的是( )

A 、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面朝上

B 、天气预报说“明天降水概率为40%”，表示明天有40%的时间在下雨

C 、“篮球在罚球线上投筐一次，投中”为随机事件

D 、“a 是实数，0

≥a ”是不可能事件

统计知识点 正确答案选

C

9

、估计101+的值

A 、在2和3之间

B 、在3和4之间

C 、在4和5之间

D 、在5和6之间 找到10中哪两个整数之间，就可以解决问题了。91016<<，即3104<< 正确答案选C

10、小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家。下图反映了这个过程，小明离家距离y 与时间x 的对应关系。根据图像下列说法正确的是( )

A 、小明吃早餐用了25min

B 、小明读报用了30min

C 、食堂到图书馆的距离为 0.8km

D 、小明从图书馆回家的速度为

0.8/min km

-2C

2第18题图

C

O

D

B

A

其他10%

烈士公园　30%

岳麓山　20%

橘子洲　15%世界之窗

x

y

第10题图

8

0.6

0.82528

5868

条形统计图上找到需要的信息：小明吃早餐用了25－8＝17分钟，小明读报用了58－28＝30分钟；食堂到图书馆的距离为0.8－0.6＝0.2千米，小明从图书馆回家的距离为0.8千米，时间为68－58＝10分钟，故速度为0.8100.08/min km ÷=

正确答案选B

11、我国南宋茂名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目上：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形的沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制单位，1里=500米，则该沙田的面积为( )

A 、7.5平方千米

B 、15平方千米

C 、75平方千米

D 、750平方千米

∵5,12,13为勾股数∴这是一个直角三角形，直角边的长分别为：5里=2500米=2.5千米；12里=6000米=6千米。∴面积=2.5×6÷2=7.5平方千米 正确答案选A

12、若对于任意非零实数a ,抛物线2

2=+-y ax ax a 总不经过点200(3,16)--P x x ，则

符合条件的点P

A 、有且只有1个

B 、有且只有2个

C 、至少有3个

D 、有无穷多个

∵

2

2y ax ax a =+-∴(2)(1)y a x a =+- ∵总不经过点200(3,16)

P x x --

∴200016(32)(31)

x a x x -≠-+--一定成立。 ∴0000(4)(4)(1)(4)

x x a x x +-≠--一定成立。

∴

0=4

x 时，一定不成立；当

0=1

x 、

04

x =-时一定成立。

∴当

000144

x x x ≠≠≠-、、时，004

1x a x +≠

-不一定成立。

故只有两个点：

0=1

x 、

04

x =-

答案选择B

二、填空题(本大题6个小题，每小题3分，共18分)

13、化简1

11-

--m m m ＝ 1

同分母分式的加减法，以及要注意到最后的约分。

14、某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成如下扇形统计图，则“世界之窗”对应的扇形圆心角为 90 度。

找到“世界之窗”所占的百分比×360°

15、在平面直角坐标系中，将点A （－2,3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点'

A 的坐标为 (1,1)

坐标平移的横坐标与纵坐标的变换规律：横坐标左减右加；纵坐标上加下减

16、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别有1到6的点数，掷得面朝上的

点数为偶数的的概率为 1

2 列举法求概率。

17、已知关于x 的方程2

30-+=x x a 有一个根为1，则方程的另一个根为 2

两种方法，方法一：直接代入，求出a ，再求两根。

方法二：利用根与系数的关系。

213

x +=

18、如图，点A 、B 、D 在⊙O 上，∠A ＝20°，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交BC 于点C ，则∠OCB= 度。

三、解答题(本大题共8个小题，19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共计66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

19、计算：201800(1)8(3)4cos 45π--+-+

122122

0=-++-=解：原式

20、先化简，再求值：

2

()()4++--a b b a b ab ，其中

12,2==

a b 。

222224 a ab b ab b ab a ab

=+++--=-解：原式

211

2,2222

3a b ===-?

=当时，原式

21、为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图(得分为整数，满分为10分，最低分6分)。请根据图吉信息，解答下列问题：

(1)本次调查一共抽取了名居民；

(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

(3)社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查活动，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？

解：（1）4＋10＋15＋11＋10＝50

（2）众数为地：8，中位数为11，(467101581191010)508.26

x=?+?+?+?+?÷=

（3）10

500100

50

?=

份

4

10

15

1110

10

9

8

7

6

15

10

5

人数

得分/分

22、为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A ，B 两地间的公路进行改建。如图 ，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需途经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶，已知BC=50千米，∠A=45°，∠B=30°。(结果精确到0.1千米，参考数据：

2 1.41,

3 1.73≈≈)

(1)开通隧道前，汽车从A 地到B 地大约要走多少千米？ (2)开通隧道后，汽车从A 地到B 地大约可以少走多少千米。

解：过C 作CD⊥AB 于点D ∵Rt△BCD 中，∠CDB=90°

∴

sin ,cos CD BD

B B CB CB ∠=

∠=

∴13,2

50250CD BD

== ∴

25,253CD BD ==

∵Rt△ACD 中，∠A CD=90°

∴

sin ,tan CD CD A A AC AD ∠=∠=

∴225,12

AD

AC CD == 252,25AC AD ==

(1)∴2525085.3AC BC +=+≈

25+25368.3AB AD BD =+=≈

（2）85.368.317AC BC AB +-=-=

23 、随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”

的让利促销活动对干部份品牌的粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元，打折后，买50盒甲品牌的粽子和40盒乙品牌的粽子需5200元 (1)打折前甲、乙两品牌粽子每盒分别多少元？

(2)阳光敬才院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？

C

A

B

D

C

A

B

解：设打折前甲粽子x 元每盒，打折前乙粽子y 元每盒，依题意得：

63660500.8400.755200x y x y +=??

?+?=?

解之得：

7080x y =??

=?

13600－10480＝3120 答略

（2）80×70＋100×80＝13600

80×70×0.8＋100×80×0.75＝10480

24、如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，∠BAD ＝∠CAD ，

C E∥AD，CE 交BA 的延长线于点E ，BC=8，AD=3 (1)求CE 的长 (2)求证△ABC 是等腰三角形

(3)求△ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离。 解：（1）∵AD 是中线，AD∥CE ∴AD 是△BCE 的中位线 ∴CE ＝2AD ＝6 （2）∵AD 是△BCE 的中位线 ∴AB ＝AE ∵AD∥CE ∴∠E ＝∠BAD ，∠DAC ＝∠ACE ∵∠BAD ＝∠DAC ∴∠E ＝∠ACE ∴AC ＝AE ∵AB ＝AE ∴AB ＝AC ∴△ABC 是等腰三角形 ∵AD 是△ABC 的中线，AB ＝AC ∴BD=4, ∠ADB ＝90° ∴AB ＝5 ∴AC ＝AB ＝5 （3）这问主要考点，内切圆圆心与外接圆圆心在什么位置上。

（等腰△ABC ，故BC 的垂直平分线与∠BAC

的平分线重合中）故内切圆的圆心Q 在AD

上，外接圆的圆心在射线AD 上。 内、外接圆的半径与什么有关，怎么求？

内切圆的半径与等面积法来求。

作出两个圆（考试时可以不作出圆）及外接圆心P 和内切圆圆心Q 先求内切圆半径DQ

2222

83585222243S ABC S ABQ S BCQ S ACQ BC AD AB DQ BC DQ AC DQ DQ DQ DQ

DQ =++????∴=++????∴=++

∴=再求，外接圆半径 E C D

A B Q

E A

M N Q C

D A B D

A

B

设AP=BP=x

0222222,90,34(3)25

6

Rt BDP BDP DP AP AD x BP DP BD x x x ∠==-=-∴=+∴=+-∴=

∴PD=PA-AD=253

6-=76 ∴PQ=PD+DQ=

7463+=5

2 25． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数

=

m

y x （m 为常数，1,0>>m x ）的图象

经过点(,1)P m 和(1,)Q m ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点C ，D 两点，(,)M x y 该图象上一动点，过点M 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 。 (1)求∠OCD 的度数；

(2)当3,13=<

(3)当5=m 时，矩形OAMB 与△OPQ 的重叠部分的 面积能否等于4.1？请你说明理由。 解：（1）∵(,1)P m 和(1,)Q m 设

PQ y kx b

=+

∴1mk b k b m +=??

+=?

∴11m b m =-??

=+?

∴1y x m =-++ ∴

1,1

C D x m y m =+=+

∴1,1OC m OD m =+=+ ∴∠OCD=45°

（2）∵3m =

∴(3,1)P ，(1,3)Q ，(4,0)C ∴

2,4,10PC OC OP ===

不妨设

3

(,)

M t t ，则229OM t t =+ ∵△OPM ∽△OCP

∴

OP OM

OC OP = ∴2

OP OM OC =?

∴

5

2OM =

x

y

D C

B

A

O

Q

P

M

∴

22952OM t t =+

=

∴

229254t t +

=

∴123

,2

2t t ==

∵当

132t =时，3(,2)

2M ∴

132PM =

∴△OPM 三边长分别为：

135

,,1022PM OM OP =

==

△OCP 三边长分别为 2,10,4PC OP OC ===

∴对应边不成比例。

∴

32t ≠ ∵当22t =时，

3

(2,)2M 故不能找到这样的点M 。

52PM =

∴△OPM 三边长分别为：

55

,,10

22PM OM OP ===

△OCP 三边长分别为

2,10,4PC OP OC ===

∴三边对应成比例 ∴△OPM ∽△OCP ∴2t =

∴

3(2,)

2M （3）∵5m = ∴(5,1)P ，(1,5)Q

∴1

,55OP OQ y x y x

==

①

当

01

M x <≤时，如下图

重合

的

面

积＝

2.5 4.1

EON

AON

AOQ

S S

S

<≤=<

②

当5

M x ≥时，如下图

重合的面积＝

2.5 4.1

EON

BON

BOP

S

S

S

<≤=<

③当15

M x <<时，如下图

重合的面积＝

MOE

MON

S

S

+

x

y

N E

A

B D

C

O

Q P M x

y E N A

B D

C

O Q P

M x

y

E

N

A

B

D

C O

Q

P

M

不妨设

5(,)

M t t ∴5

M E y y t ==

代入5OQ y x = ∴

1E x t =

∴

1

()

M E ME x x t t =-=- M N x x t ==代入15OP y x = ∴

1

5N y t

= ∴

5()

5M N t

MN y y t =-=- 1155()()254.1

MOE

MON

S

S

t t t t t t +??

=-?+-????=重合的面积＝

整理得：

429250t t -+= 此方程无解。

26、我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”。

(1)①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有 ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD ，CB≠CD，则该四边形 “十字形”(填“是”或“不是”)

(2)如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB －∠CDB ＝∠＝∠ABD －∠CBD ，当22

67≤+≤AC BD 时，求OE 的取值范围；

(3)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线

2

=++y ax bx c (,,a b c 为常数，且0,0>

D 的坐标为(0,)-ac 。记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为：1234

,,,S S S S ，求同时满足下列三个条件的抛物线解析式：

①

12=+S S S ②

34

=+S S S ③“十字形”ABCD 的周长为1210

解第（1）的两问都容易

菱形、正方形 不是

M

N B

D

O A C E

（2）要找到

∠ADB －∠CDB ＝∠ABD －∠CBD 的作用。 ∵⊙O

∴∠CDB ＝∠CAB ，∠CBD ＝∠CAD ∴∠ADB ＋∠CAD ＝∠ABD ＋∠CAB ∴∠AEB ＝∠AED ＝90°

过O 分别作ON⊥AC 于N ，OM⊥BD 于M ∵∠AED ＝90°

∴四边形OMEN 为矩形 ∴ON ＝ME

∵R t△AON 中，ON⊥AC 于N

∴

1

2AN AC =

,

2222

11

144ON AO AC AC =-=-

2222

11

144

OM DO BD BD =-=-同理可得∵R t△MOE 中，OM⊥BD 于M

22222

221

2()

4OE OM ME OM ON AC BD ∴=+=+=-+,

2267AC BD ≤+≤ 2276224411421222OE OE OE ∴-

≤≤-∴≤≤∴≤≤

解：设2

0ax bx c ++=的两根分别为：

1122(0),(0)

x x x x <>

则：

12(,0),(0,),(,0),(0,)

A x

B c c x D ac -

1221,,,,(1)

AO x BO c OC x D ac AC x x BD c a ∴=-=-==-=-=-+

11111()()()

222

c

S AO BO x c x -∴=?=-?-=-222

11()222c

S CO DO x ac ax -=?=?-= 31111()()()

222

c

S AO DO x ac ax -=?=-?-=-42211()()222c

S BO CO x c x -=

?=?-=

121222c c

S S x ax --∴+=

-+ 341222c c S S ax x --+=

-+

则：

1212=2222

c c

x ax c c ax x --∴

-+---+1212

=x ax ax x ∴-+-+112212()=0

()(1)0x ax x ax x x a ∴--------=211

x x a ∴=-=或 21

x x =-（1）若 1423

,S S S S ∴==

12

S S S =+

123412+S S S S S S ∴++=+

1212

2+2S S S S ∴=+

1212122+22S S S S S S ∴=++

1212+20S S S S ∴-=

212()0S S ∴-= 12S S ∴= 12

S S ∴= 21

x x =-

1a ∴=

21a =（）若

1324

,S S S S ∴== 12

S S S =+

123412+S S S S S S ∴++=+

1212

2+2S S S S ∴=+

1212122+22S S S S S S ∴=++

1212+20S S S S ∴-=

212()0S S ∴-= 12S S ∴= 14

S S ∴= 21

x x ∴=-

211,a x x ∴==-综上可知同时成立

12120,x x x x c

∴+=-=-

0b ∴=，12x x c -==- 21,1,x x a AO CO DO BO AC BD ABCD =-=∴==⊥∴四边形是菱形

12104310CD ∴=÷=

∵Rt △COD 中，

,DO c CO c =-=-

222CD CO DO ∴=+ 290c c ∴=-

2900c c ∴--=

129,10(0)

c c c ∴=-=<，舍去

29y x ∴=-