安徽建筑大学常微分方程试卷.doc
..3
分
xdx + ydy + ydx - xdy _ ° X 2
+ y 2
X 2
+ y
2
..6
分
积分上式得-ln(x 2
+)，2) — am tan -^ = ln C(C >
0),即
2 x
y]x 2 + y 2
= C exp(arctan —). .. ..8
分
8. —+ 3x = e 2\ p(x) = —3,2(x) = e 2x
dx 直接应用公式得
y = e-3x (\e 5x dx + c)=广(上* +c),c 为任意常数
..2分
9.
2xydx + (x 2
+ l)dy = (2xydx + x 2dy) + dy 或者
所求通解为
X 2y + y = c, C 为任意常数.
三、解答题(第一小题8分，第二小题12分，总计20分).
讨论初值问题
解的唯一性。
该方程右端函数y) = 2 在原点附近对y 的偏导数f y (x, y) = 土 无界,
它不满足利
普希兹条
经过y(0) = 0的积分曲线有两条y = 0, y = x 2(x > 0). 故此初值问题y ，= 2j§,y(0) = 0的右行解不唯一性。
11.
求初值问题)
?,= x 2 -y\y(-l) = 0,/?: x+1 < h y < 1
解的存在I 乂间, 第二次近似
解，并估计误
09信息与计算科学专业常微分方程试卷梏案
一填空题(每小题4分) 1：所有解；2:利普希兹；3:线性相关4: e x
\
5:n+l ； 6 e x
<> 二?用初等积分法求解下列方程(每小题8分，总计24分) 7. (x + y)dx-(%- y)dy = 0.该方程有积分因了 --- --- =
~.
xM + yN x + 广
于是有
解? 了(尤,力=疽
一),2￡ c(R), f y(x,y)
=\2y\<2^x,y)e R.
,故解的存在区间为
M = max |f (x, y)l = 4,/? = min
(x9y)GR l 1
x + 1 <-
4
取
仞o3) = y(T)= °，
X X y3]
则第一次近似解为(Pi(x) = Jf(s,(p()(s))ds= \s2ds = — + -;
-) -i 3 3
第二次近似解为
/ \ / / \\ 7 \ 2 /S，1、X3 X X4X1 1 1
代3)= jf(s,们(s))ds= J[s -(— + -)]ds = ^■ —6 ——寻 +若。
-1 -1 3 3 59 1 o o3 4Z ............. 10分它与精确解伊3）的误差估计式为
|代⑴一仞⑴|匕号/扩=土。.................. 12分
四.求解下列常系数线性方程（组）（每小题10分，总计20分）
12.解.齐次方程/-3/+ 2），=。的特征方程〃 _ 34 + 2 = 0有根
W =1，4 =2. ...... 2 分
其通解为y = c l e x-hc2e2x9c l9c2为任意常数. ..................... 4分
2
非齐次方程/-3/ + 2y = 2有一个特解），*=—. ............ 8分
2
其通解为y = c16, v-hc2e2x ............... 10 分
「3 -1] fl）
13.求必=4 _j x的基解矩阵，并求其满足初始条件x（0）二〃二°的解。解.此线性方程组特征方程det（A-A￡） = a-l）2 =0有二重特征根勾2=1，因此其
1 + 2/
一t 1-2/
基解矩阵为
= e l[E + (A-E)t] = e r
x(z) = e At r)- e t
l +
2r
4t
-t 1F1
1 — 251
l +
r ..10 分
满足初始条件尤(())=〃的解为
五、证明题(12分).
14.设吐主0是二阶齐次线性微分方程
尤”+ p(t)x^q(t)x = 0
的解，这里p,qc C[a,b],则沔。)是该方程的解的充要条件是其朗斯基行列式W[丸易]满足
W,[x
1x
2
] + p(r)IV[x
1
x
2
] = 0.
证明.若易。)是该方程的解，则W'[x l x2]-^p(t)W[x l x2] =
~ = = 0. ........... 6 分
POM q(g qUd
反之，若 W '[Xl x2] + p(t)W[Xl x2 ] = 0.则
M 易=万易
=0
...................................... 8分p(河]P(t)x'2 -q(g x\^ p(t)x\ 即
%! (x "
2 + p(^)x'
2
) + ^(^)x
1
x
7
=0. ....... 1()分
因为尤]ro,故尤％+ pQK'+mm =。?..................................... 12分
..3分xdx + ydy + ydx -
xdy _。
X2 + y2 X2 + y2..6分
09信息与计算科学专业常微分方程试卷路案
一填空题（每小题4分）
1:0；2:不一定存在；3:线性无关4: y=~, 5: n维线性空间；6 /。
X
%1.用初等积分法求解下列方程（每小题8分，总计24分）
7.(X + y)dx-(x-y)dy = 0.该方程有积分因了---------- =—----
, xM + yN x + y
于是有
积分上式得-ln(x2 + y2) _ am tan -^ = ln C(C > 0),即
2 x
y]x2 + y2 = C exp(arctan —). .......... ..8 分
x
8.— = 3y + e2x,p(x) = 3,Q(x) = e2x...... ..2 分
dx ?
直接应用公式得
y = /'( p"dx + c、)= e~3x(-—e x +c、),c、为任意常数 (8)
J 5
9.方程x2dy + （2心，- x +1）公=0可转化为一个全微分方程d(x2y---^x) = 0,
4
其通解为x2y- — ^-x = C,C为任意常数. .................... 6分
2
用）,（1）二 0代入上式得C = ?. ...... 7分
r
2 1
故此初值问题的解为x2y- — ^x = -................ 8分
? 2 2
三、解答题（第一小题8分，第二小题12分，总计20分）.
X
10.已知连续函数/（%）满足/（%）出= 1（%丰0）,试求/（x）的一般表达式.
x
解?令）'=。0）,则）厂=/（x）,），（0） = 0. ................... 2分
原方程可写为如下初值问题：y），= l,），（0）二 0.
11.
求初值问题y= x 2
-)，？，(-1) = 0, R ：k + l| VI,
昭 1
解的存在区间，第二次近似
解,并估计误X 3 X X 4 X 1 11
MI?
\(p 2M-(p(x)\< J. 24
12分
求解下列常系数线性方程（组）（每小题10分，总计20分）
12.解.齐次方程），〃-3/ + 2），= 0的特征方程人之—34 + 2 = 0有根
4 = 1，4 = 2. 2
分
其通解为y = c l e x ^c 2e 2\c^c 2为任意常数.
2 非齐次方程y"-3.y' + 2y = 2有一个特解y* = 2
其通解为 y - c }e x + c 2e 2x .
求解此初值问题得 /=2x + c.将），（0） 二 0代入得y 2
= 2x.
解? f(x, y) = x 2 - y 2
G C(R),\f y (x, y)| = \2y\ < 2,0,
y)e R.
M = max|/(x, y)l = 4,h = min
(x,)g‘
1
代⑴=火一1) = 0,
则第一次近似解为 0i(x) = \f(s,(p ()(s))ds =
-i -i 33
第二次近似解为
x
x
S 3 1 2 代⑴=_『("(S))ds=』［s2-(耳 + ?此二5_6一任_商
+ /
10分
它与精确解仞（x ）的误差估计式为
,故解的存在区间为
[x' = Ax, . 一2 r
13.求解初值问< 及e 七这里人=
-1 4_
[尤(0) 二 〃 = [1,1]/,
解.此线性方程组特征方程det(A-AE) = (/l-3)2
=0有二重特征根 42=3.， ............... 2 分 因此其基解矩阵为
[l — t t
e At
=e 3t
[E-^-(A-3E)t] = e 3t
............. 6 分
T 1 +，
满足初始条件
的解为X(r) = e At 7] =
e 3t
..10
分
五、证明题(12分).
8.设玉
A0是二阶齐次线性微分方程
x"+ p(，)x'+q(，)x = 0
的解，这里p,qe C[a,h],则易(。是该方程的解的充要条件是其朗斯基行列式W[Xi x 2]满 足
W ,
[x I x 2] + p(CW[x I x 2] = 0.
证明.若尤2。)是该方程的解,则W ,[x l x 2] + p(t)W[x l x 2] =
X]
x 2
%! 也
X "1 X
二
pQK p(t)x\
q(t)Xi q(t)x 2
反之,若即'[女易]+ “(。研[如京=°?
P
(河1 p(t)x‘2 —q(g
x\+p(t)x\ =0.
10
分
12
分
%! (x\ + p(/)x ,
2) + ^(/)x l x 2 =0.
因为王壬 0,故x M
2 + p(t)x'2 + q(t)x 2 =0.
1-Z
-t
=0.