用点到面的距离公式求距离

用点到平面的距离公式求点到平面的距离

河南省延津县一中 解永红 453200

点到平面的距离是立体几何部分的重点内容之一，也是高考常考查的知识点。常用的方法有等体积法，向量法;||n d = (其中A 是平

面α外的一点，P 是α内的一点，是α的一个法向量，d 是点A 到平面α的距离），下面类比点到直线的距离公式介绍一下点到平面的距离公式，希望能对大家的解题有所帮助。

二元一次方程0=++Cz By Ax 在平面上表示一条直线，点),(00y x P 到直线0=++Cz By Ax 的距离2200|

|B A C By Ax d +++=

三元一次方程0=+++D Cz By Ax 在空间中表示一个平面，记作α，点),,(000z y x P 到平面α：0=+++D Cz By Ax 距离222000|

|C B A D Cz By Ax d +++++=，

因此我们只要建立空间直角坐标系，找平面α上不在同一直线上的三个点),,();,,();,,(333222111z y x F z y x E z y x G ，将其坐标分别代入

0=+++D Cz By Ax 中得: 0

00

333222111=+++=+++=+++D Cz By Ax D Cz By Ax D Cz By Ax

(i)若平面过原点，则0=D ，则上述方程能够求出C B A ,,的值，从而得到平面α的方程

(ii)若平面不经过原点，则0≠D ，则上述方程能够用D 表示C B A ,,，然后将C B A ,,代入0=+++D Cz By Ax 中，约去D 得到平面α的方程。 最后用距离公式222000|

|C B A D Cz By Ax d +++++=求出),,(000z y x P 到平面α的距

离。

例1. （2010年江西高考20题）（本小题满分12分）

如图△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面BCD ，AB 平面BCD ， 。

（1） 求点A 到平面MBC 的距离；

解:取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面 平面 ,则MO ⊥平面 .

以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.

OB=OM= 3，则各点坐标分别为O （0，0，0），C （1，0，0），M （0，0，3 ），B （0，-3，0），A （0，-3，23），

设平面MBC 的方程为0=+++d cz by ax 将M C B ,,的坐

标分别代入0=+++d cz by ax 得030

03=+=+=+-d c d a d b

显然平面MBC 不过

O （0，0，0）故0≠d

故解得 d c d b d a 333

3-=-==

将其代入0=+++d cz by ax 中约去d 得到;平面MBC 的方程：03333=-+-z y x

点到A 平面MBC 的距离为

222000||C B A D Cz By Ax +++++5

152339|363|=++-+= 参考文献; [1] 吕林根 许道子等.解析几何[M].北京;高等教育出版社，第三版，1960,9.

通讯地址;河南省新乡市延津县一中北区 解永红 邮编453200 信箱. D B A