【数学】浙江省宁波市五校(奉化中学、宁波中学、北仑中学等)2020届高三适应性考试试题

浙江省宁波市五校（奉化中学、宁波中学、北仑中学等）

2020届高三适应性考试数学试题

参考公式：

若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 柱体的体积公式V Sh =

若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体

的高

若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 锥体的体积公式1

3

V Sh =

独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高

()C (1)(0,1,2,

,)k k

n k n n P k p p k n -=-=

球的表面积公式24S R =π

台体的体积公式121

()3V S S h =+

球的体积公式3

43V R =π

其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示 其中R 表示球的半径

台体的高

第Ⅰ卷 （选择题 共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集}1,0,1{-=U ，集合},1,0{},0,1{=-=B A 则=)(B A C U （ ） A.}0{ B.}0,1{- C.}1,1{- D.}1,0{

2.若n

x

x )1(-

展开式的各项二项式系数和为512，则展开式中的常数项（ ） A.84 B.84- C.56 D.56- 3.若,a b ∈R ，则“11>>b a 且”是“1>ab 且2≥+b a ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4.已知函数???

??>+≤+-= ,0),1(log ,0,22)(2

1

2x x x x x x f 若当]1,[+∈a a x 时，不等式)

2()(x a f a x f -≥+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A.)2,(--∞

B.]2,(--∞

C.),2(+∞-

D.),2[+∞-

5.已知某函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（其中e 为自然对数的底）（ ）

A.x e e x f x x sin 11

)(?+-=

B.x e e x f x x

sin 1

1)(?+-=

C.x e e x f x x cos 1

1

)(?+-=

D.x e e x f x x

cos 1

1)(?+-=

6.已知非零实数c b a ,,的绝对值全不相等，那么满足“abc c b a =++”的c b a ,,（ ） A.仅有一组 B.仅有二组 C.仅有三组 D.有无穷多组

7.已知}{n a 是等比数列，13=a ，那么其前5项和5S 的取值范围是（ ）

A.），，∞+--∞1[]3(

B.），，∞+--∞5[]3(

C.），∞+1[

D.），∞+5[

8.一个袋子中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现从袋子里随机等可能取出小球.当有放回依次取出2个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出2个小球时，记取出的红球数为2ξ.则（ ） A.)()(21ξξE E < ，)()(21ξξD D < B.)()(21ξξE E = ，)()(21ξξD D > C.)()(21ξξE E =

，)()(21ξξD D < D.)()(21ξξE E > ，)()(21ξξD D >

9.设函数2

5

32)(++-

=x x x f x

，若曲线x y cos =上存在点),(00y x ，使得00))((y y f f =，则实数a 的取值范围是（ ） A. ]23,513[--

B. ]25,23[-

C.]314,23[-

D.]3

14,25[

10.已知点F 为抛物线)0(22>=p py x 的焦点，经过点F 且倾斜角α为钝角的直线与抛物线交于B A ,两点，O OAB (?为坐标原点)的面积为α3cos -，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点M ，则=||FM （ ）

A.1

B.2

C.2

D.4

第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题6分，单空题每小题4分。 11.

已知复数122

z =-

+(其中i 为虚数单位)，那么=||z ______，=2z ______. 12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________.

13.有标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，要求排成2行3列，则共有_______种不同的排法，如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小，则共有_______种不同的排法.

14.在ABC ?中，2,1=

=BC AC ，以AB 为边在平面ABC 内向外作正方形ABDE ，使

D C ,在AB 的两侧.（1）当 45=∠ABC 时，=||CD ________；（2）

||CE 的最大值为_______. 15.若过双曲线焦点且与渐近线垂直的弦的长等于焦点到渐近线距离的2倍，则此双曲线的离心率为__________.

16.以点)2,1(-C 为圆心作圆，过点)4,2(P 作圆C 的切线，切线长为2，直线OP （其中O 为坐标原点）交圆C 于B A ,两点，当点),(y x M 在优弧AB 上运动时，y x y x -+--2|12|的最大值为_________.

17.已知ABC ?所在平面内的两点H ，W 满足：HA HC HC HB HB HA ?=?=?，

||||||==，D 是边BC 上的点，若4=AB ，3=AC ，2=AH ，1=WD ，则=?+++?BC WD AH AC AB AW )()(__________.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.（本小题满分14分）

已知函数2()2sin cos()cos cos .6

f x x x x x x π

=+

++ (Ⅰ)求)(x f 的振幅、最小正周期和初相位； (Ⅱ)将)(x f 的图象向右平移

3π个单位，得到函数)(x g y =的图象，当[,]63

x ππ

∈-时，求)(x g 的取值范围.

19.（本小题满分15分）

如图，平面⊥ABCD 平面CDEF ，四边形ABCD 是梯形，AB //CD ,四边形CDEF 是矩形， 60=∠BAD ，CD DE AD AB 2

1

=

==，M 是DE 上的动点.

(Ⅰ)试确定M 点的位置，使BE //平面MAC ；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求直线BF 与平面MAC 所成角的正弦值.

20.（本小题满分15分）

已知数列}{n a 的前n 项积为n T ，}{n T 为等差数列，且4231==T a ，. （Ⅰ）求n a ；

（Ⅱ）证明：)1ln(1111332211+<++++n T a T a T a T a n

n .

21.已知离心率为2

2

的椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y ω的短轴的两个端点分别为21,B B ，

P 为椭圆ω上异于21,B B 的动点，且21B PB ?的面积最大值为22

.

（Ⅰ）求椭圆ω的方程； （Ⅱ）射线)0(2≥=

x x y 与椭圆ω交于点A ，过点A 作倾斜角互补的两条直线，它们与

椭圆的另一个交点分别为点B 和点C ，求ABC ?的面积的最大值.

22.已知函数()(21)e x f x x ax =++，|)(|)(x f x g =. （Ⅰ）当0a 时，求)(x g 的单调区间；

（Ⅱ）若)(x g 的值域为),0[+∞，求实数a 的取值范围.

【参考答案】

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题6分，单空题每小题4分。 11. 1

12-

-

12 .221)+π 6+π 13. 720 90

16. 2 17.

252

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)x x x x x x x f 2cos cos sin 3)sin 2

1

cos 23(

sin 2)(++-=

22cos sin cos 2cos22sin(2)6

x x x x x x x π

=-+=+=+，--------------4分

所以)(x f 的振幅为2，最小正周期为π，初相位为6

π

. ---------------------------------------7分

(Ⅱ)()2sin(2())2sin(2)2cos2362

g x x x x πππ

=-+=-=-,-------------------------------10分

当[,]63x ππ∈-时，22[,

]33x ππ

∈-，]1,2

1[2cos -∈x ，所以]1,2[)(-∈x g .----------14分 19.（本小题满分15分） (Ⅰ)当DE EM 3

1

=时，BE //平面MAC .---------------------------------1分 证明如下：

连结BD 交AC 于N ，连结MN ，由于CD AB 21=

，所以21=BN ND ,所以MD

EM BN ND =， 所以MN //BE ，又MN ?平面MAC ，又BE ?平面MAC ，所以BE //平面MAC .

-----------------------------------------------------------------------------6分

(Ⅱ)因为平面⊥ABCD 平面CDEF ，CD DE ⊥，平面 ABCD 平面CD CDEF =， 所以DE

⊥平面ABCD ， ------------------------------------------------7分

以D 为原点，，的方向为z y ,轴的正方向，建立如图空间直角坐标系xyz D -. -------------------------------------------------------------------------------------8分

设1=AB ，则)0,2,0(C ，)3

2,0,0(M ，)1,2,0(F ，)0,2

1,23(B ，)0,2

1,2

3(-A ，则

)32,21,23(

--=，)32,2,0(-=，)1,2

3

,23(-=，---------------10分

设平面MAC 的一个法向量为),,(z y x =，则由?????=?=?0

,0MA n 得，???

???

?=-=--,0322,032

2123z y z y x 取???

?

???

===

,3 ,1,35z y x 得

)3,1,35(=，--------------------------------------------------------12分 设直线BF 与平面MAC 所成的角为θ，则

55165

35523

23251

)23()23(31)3

5()

1,23

,23()3,1,3

5(

|,cos |sin 2

22222=++-=++-?++-?=??=θ，

故直线BF 与平面MAC 所成角的正弦值为55

165

. ----------------------------15分 20.（本小题满分15分）

（Ⅰ）由题意知，211==T a ，又因为}{n T 为等差数列，且43=T ，所以公差1=d ， --------------------------------------------------------------------------------2分 所以1+=n T n . ----------------------------------------------------------4分 由1321+==n T a a a a n n 知，当2≥n 时，n

n T T a n n n 1

1+==-, ---------------------6分 又21=a ，满足上式，所以n

n a n 1

+=. --------------------------------------7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，

1

1)1(12+<+=n n n T a n n ， -------------------------9分 下面证明

)1ln(11n n n +<+. ----------------------------------------------10分 令]210(11，，∈=+x x n ，则11-=x n .令x x x g --=11ln )(，则x x x g -='1)(，当]2

10(，∈x 时，0)(>'x g ，所以)(x g 在]210(，上单调递增，所以0)0()(=>g x g ，即x x

>-11

ln

. 所以

)1ln(11n

n n +<+. ----------------------------------------------------13分 所以，

1ln 2ln )1ln(ln ln )1ln(1

111332211-++--+-+<++++ n n n n T a T a T a T a n n ， 即

)1ln(1111332211+<++++n T a T a T a T a n

n . -------------------------------------15分 21.（本小题满分15分）

（Ⅰ）因为21B PB ?的面积最大值为22，所以

2222

1

=??a b ，即22=ab 因为椭圆ω的离心率为22，所以2

2

=a c ，

又222b a c -=，求得2,42

2

==b a ，----------------4分

所以椭圆ω的方程为12

422=+x

y .--- -------------------5分

（Ⅱ）由?

??≥==+),0(2

,4222x x y y x 求得)2,1(A ，-----------------------------------------------------6分

设2)1(:+-=x k y AB 与422

2

=+y x 联立消去y ，整理得

0222)2(2)2(222=--+--+k k x k k x k ，---------------------------------------------7分

因为1和B x 是上述方程的两个根，所以2

2

222

2+--=k k k x B ， 所以22

24222

2++--=+-=k k k k kx y B B ，-----------------------------8分 同理可求得222222+-+=k k k x C ，2

2

2422

2+++-=k k k y C ，-------------------9分 所以直线BC 的斜率2248==--=

k

k x x y y k C B C B BC ，设m x y BC +=2:，与4

222=+y x 联立，消去y 得，0422422=-++m mx x ，-------------------------------10分 由0)8(8)4(1682

2

2

>--=--=?m m m ，解得2222<<-m ，-------------11分

2

2163||2

m BC -?=

，点A 到直线BC 的距离3||m d =，所以ABC ?的面积 2

2

42216224)216(23||22163212

2222=-+≤-=?-??=?m m m m m m S ABC

，------14分 当且仅当2±=m 时取等号，此时ABC ?的面积的最大值为2. ----------------15分 22.（本小题满分15分）

（Ⅰ）当0a 时，()(21)e x

f x x =+，所以()(23)e x f x x '=+， -----------------1分

当2

3

-

当23

-

>x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增， ①当21

23-<<-x 时，0)(

②当2

1

->x 时，0)(>x f ，)(|)(|x f x f =，则)(x g 单调递增；-----------------4分

综上所述，函数)(x g 的单调递增区间为),21(),23,(+∞---∞，单调递减区间为)2

1

,23(--.

------------------------------------------------------------------------------------5分

（Ⅱ）由题意知0)(=x f 必有解，即0)12(=++ax e x x

有解，即x e x

a )12(+=-有解，

-------------------------------------------------------------------------------6分

设1()(2)e x h x x =+，则222

21(21)(1)()e e x x

x x x x h x x x

+--+'==，------------------7分 令0)(>'x h 得1-

2

x

，令0)(<'x h 得01<<-x 或102

x ， 所以)(x h 在)1,(--∞上单调递增，在)0,1(-上单调递减；在)21,0(上单调递减，在)

,2

1(+∞上单调递增，且1(1)e h -=

，1

()2

h = ------------------------------------------9分 当1-x h 恒成立，所以1

()(0,]e

h x ∈，当-→0x 时，-∞→)(x h ，

所以1

()(,]e h x ∈-∞；当+→0x 时，+∞→)(x h

，所以())h x ∈+∞.

所以1e a -≤

或a -≥，所以e a 4-≤或1

e

a ≥-.--------------------------11分

下面证明+∞→)(x g ，先证e 1x x ≥+，设()e 1x

x x φ=--，则()e 1x

x φ'=-，

当0x 时，0)(>'x ?，)(x ?递增. 所以0)0()(=≥??x ，所以1+≥x e x . --------------------------------------12分 当1e

a ≥-

时，若0≥x ，则()(21)e e 1(1)11x x f x x ax ax x ax a x =++≥+≥++≥++≥，而),0[,1+∞∈+=x x y 的值域是),1[+∞，且)(x f 连续，所以+∞→)(x g ；----------13分

当a ≤-时,

若0≤x

,()(21)e (21)e 2(e e x x x x f x x ax x x =++≥+-≥-+,

由于0≤x

时，e 1x ≤<，当-∞→x 时，e 0x →，+∞→)(x f ，又因为)(x f 连续，所以+∞→)(x g .------------------------------------ ------------------14分

综上所述，a ≤-或1

e

a ≥-

.-----------------------------------------15分

试题卷勘误:

第9题，“a x x x f x

-+++

=2532)(”改为“a x x x x f x -++++=2

5

32)(”. 第15题，“…与渐近线垂直…”改为“…与实轴垂直…”.

参考答案勘误：

第5题正确答案：答案C. 第17题正确答案：

2

25. 第22题，倒数第6行中的“…111≥+≥++x ax x ，”改为“…11)1(1≥++≥++x a ax x ，” 倒数第2行与倒数第5行中的“),0[)(+∞∈x g ”均改为“+∞→)(x g ”.