线性代数第二章矩阵(答案).docx
线性代数练习题第二章矩阵
系专业班姓名学号
第一节矩阵及其运算
一．选择题
1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC
2．设C (1
, 0 ,0 ,
1
)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22
（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）0
3．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]
（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A
二、填空题：
164201165
1．
282342112
4
12124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 431735
3．12326
570149
131
2140012678
4．
1341312056
1
402
三、计算题：
111
设 A111，4
111
123
B124，求 3AB2A 及 A T B
051
111123111
3AB 2 A 3 111124 2 111
111051111
058222
3 056222
290222
21322
21720 ;
4292
111123058
由 A对称，
A T A，则 A T
B AB11112405 6 .
111051290
线性代数练习题第二章矩阵
系专业班姓名学号
第二节逆矩阵
一．选择题
1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]
（ A）AA A 1（ B）A
n 1
（ C）( A)n A（ D）( A )0 A
2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵
（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|
3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是
（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A
4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E
5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]
（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2
E
（C ） BA 2C
E （ D ） CA 2 B E
二、填空题：
1
1
2
1
A ，其中 B
2
1．已知 AB
B
，则 A
2 1
1
1
2
2．设
2 5
4 6
，则 X =
2 1
3 1 X
2
1 0
4
3
3．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A
2 ， B
3 ，则 2 A B
14
n
6
4．设矩阵 A 满足 A 2
A
4E
0 ，则 ( A E) 1
1 ( A 2E)
2
三、计算与证明题：
1． 设方阵 A 满足 A 2
A 2E 0 ，证明 A 及 A
2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1
A 2
A 2 E 0
A( A E ) 2 E A(
A
2 E ) E
A 可逆，且 A 1
A
E ;
2
A 2 A 2E 0
A( A 2E) 3A 2E 0
A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0
( A 3E )( A 2E) 4E ( A
3E
)( A 2E)
E
4
A
可逆，且 (A 2E)
1
A 3E
2E
4
1 2 1
2． 设 A
3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1
5
4
1
解：设 A
(a ij )3 ，则
A 11
4 2 4,
A 12
( 1)
1
2
3
2 13, A 13
( 1)
1
3
3
4
32,
4 1
5
1
5
4
A
21
( 1)
1
2
2
1 2, A 2
2 ( 1)
2
2
1
1 6, A 23 ( 1)
2
3
1
2 14,
4
1 5
1
5
4
A 31
( 1) 1
3
2
1
0, A 32 ( 1) 3
2
1
1 1, A 33
( 1) 3
3
1
2 2,
4
2
3
2
3
4
4 2 0 从而 A *
13
6
1 .
32 14
2
又由
1 2
1
2c 1
1 0
0 2 1
A
3 4
c 2
3 2
1
2
2
5
4 1 c 3
c
1
5
14 6
14 6
A * 2
1 0
则 A 1
13 3
1
A
2
7
2
16 1
0 3 3
3． 设 A
1 1 0 且满足 AB
A
2B ，求 B
1
2 3
AB A
2B
( A 2E) B A
2 3 3 0 3 3 1
1 0 B 1 1 0
1
2 1
1 2
3
2 3 3 0 3 3
1
1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1
r 2
2 3 3 0
3 3 1
2 1
1 2 3
1 2 1 1 2 3
1 1 0 1 1 0 1 1 0
1 1 0 r 2
2r 1
0 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 1
3 2
5 3 r 3 r 1
1 1
3 3
2 2 2
1
1 0 1
1 0
1
1
0 1 1
0 r 3 ( 1
) 0 1 3 2 5 3 r 2
3r 3 0 1 0
1 2 3
2 0 0 1 1 1 0
0 0
1
1 1
1 0 0 0 3 3 r 1 r
2 0 1 0
1 2 3
0 0 1
1
1 0
0 3 3 则 B ( A 2E) 1 A
1 2 3
1 1
线性代数练习题
第二章
矩 阵
系
专业 班
姓名
学号
第三节（一）
矩阵的初等变换
一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：
1 1 3 4 3 r
2 3r 1 1 1
3
4 3
r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 2
2
2 3 2 0 r 3 2r 1 0
0 3
6
6 r 3
3 0 0 1 2 2
3
3 4 2 1
r
4
3r 1 0 0 5 10 10
r
4
5 0
1
2 2
1
1 3
4 3 1
1 0
2
3 r 3 r 2 0 0 1 2 2 0
0 1 2 2 r 4
r 2 0
0 0 0 0 r 1 3r
2
0 0 0 0
二、把下列矩阵化为标准形：
2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 2
3 1 3 7 0 1 1 1 1
3
2 8
3 0 r 1 r
2
3
2 8
3 0 r 3
3r
1
8 8 9 12 1
3 7
4 3
1
3 7
4 3 r 4 r 1 0
5 7
6
7
1
2
2 4 1
2
2 4 r
3 8r 2 0 1 1 1 1 0
1 1 1 1 r 4
5r 2 0
0 0 1 4 r 3 r
4
0 2 1 2
0 2
1
2 0
0 0 1
4
r 3 r 4 1 2
0 0 4
1
2
0 0
4
0 1 1 0 3
1
r 3 0
1 0 0 2
r 2 r 4 r 2
0 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 4
2
0 0
0 1
4
0 1
4
1 0 0 0 0 r 2
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 2
0 1 0 0 2 0 1 0 0 0
r 1
2r
2
0 2 0 2 1
r 3 0 0 1 0 1
c
5
2c 2c
3
4c
4
0 1 0 0
0 0
0 1
4 2
0 0 0 1
4
0 0 0 1 0
三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵
3 2 0 1 0 2 2 1
A
2 3 2
1
1 2
1
3 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 0
1 2 3 2 0 0 1 r 1 r 3
2 0 1 1 0 0 0 0
3 0
1
2 1 0 0 0 1 0
1
2 1 0 0 0 1
1 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0
2 2 1 0 1 0 0 0
1 2 1 0 0 0 1 r 3
3r
1
4 9
5 1 0 3 0 r 2 r
4
4 9
5 1 0 3 0 0
1
2
1
0 0
0 1
2
2
1
0 1
0 0
1 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 1
2 1 0 0 0 1 0
1
2 1 0 0 0 1 r 4
2r 2 0 0
1 1 1 0 3 4 r 4
2r
3
0 0
1 1 1 0 3 4
0 0
2
1
0 1
0 2 0 0
0 1
2 1 6 10
1
2
3 0 4
2 11 20
1
2
0 0 1 1 2 2 r 1
2r
4
01
2 0 2 1
6 11 r 1 3r 3 0 1 0
0 0
1 0 1 r
2 r 4 0 0 1 0 1 1 3
6 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 3
6 r 3 r 4
0 0
0 1 2 1 6
10
0 1
2 1
6
10
1 0 0 0 1 1 2
4 r 1 2r 2 0 1
0 0 0 1 0 1 0 0
1 0 1 1 3
6
0 0
0 1
2 1 6
10
1 1
2 4 A
1
0 1 0 1 1 1 3 6
2 1 6 10
1 1 1 1 0 1 四、已知
0 2 2 X 1 1 0 ，求 X
1
1
0 1 4
1 1 1 1 0 1
1 1 1 1
0 1
1 1 1 1 0 1 0 2
2 1 1 0 r
3 r 1 0 2 2 1
1 0 r 3
r 2 0 2 2 1 1 0
uuuuur
uuuuur
1
1 0
1 4
0 2 1 1 1 3
0 0
3 0 2
3
1 1 0 1
2 2
1 1
1
1 0 1
3
r 2
2r
3 0 20 1
r 3
1
0 2 2 1 1 0 1
2
3
r r
3
uuuuur
1
3
0 0
1
2 1 uuuuuuur
2
0 1 0 1
3
3
1 1 0
1
2
2
1 0
1 5 3
3 2
6
r 2
1
0 1 0
1
1
1 r 1 r
2 0 1 0 1
1
1
2
2
6
uuuuur
2
6
uuuuur
2
2
0 0 1 0
1
0 0 1 0
1
3 3
1 5 3
2 6
故 X
1 1 1
2 6
2 1
3
线性代数练习题
第二章
矩 阵
系
专业
班
姓名
学号
第三节（二）
矩 阵 的 秩
一．选择题
1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩
[ D
]
（ A ）必有一个等于零 （ B ）都等于 n
（C ）一个小于 n ，一个等于 n
（ D ）都不等于 n
2．设 m
n 矩阵 A 的秩为 s ，则
[ C
]
（ A ） A 的所有 s
（ B ）A 的所有 s
阶子式不为零
－ 1 阶子式不为零
（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零
（D ）对 A 施行初等行变换变成
E s
0 0
11213
3．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12
（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 4
4．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则
（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当
[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0
n m 时，必有行列式| AB |0
a
11a
12
a
13
a
21
a
22
a
23010
5．设Aa21a
22
a
23， B
a
11
a
12
a
13， P1100，
a
31a
32
a
33
a
31
a
11
a
32
a
12
a
33
a
13001
100
P2010，则必有 B[ C ] 101
（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A
二．填空题：
3102
1．设A1 1 2 1 ，则 R( A)2
1344
121
2．已知A 23a2
应满足a=-1 或 3 1a
的秩为 2，则 a
2
2a21
三、计算题：
21837
1．设A
23075
3258，求 R( A) 。
0 10320
2 1 8
3 7 1 0 3 2 0
1
0 3 2 0 2 3 0 7 5 2
3 0 7 5
r
2
2r 1 0
3 6 3 5 3
2 5 8
0 r 1 r
4
3
2 5 8 0 r
3 3r 1 0 2
4 2
0 1 0
3 2 0 2
1
8 3
7 r 4 2r 1 0
1
2
1 7
1
0 3 2 0
1 0 3 2
0 1 0 3
2
r 2
0 1 2 1 7 r 3 2r 2 0 1 2 1 7 8 0 1 2 1 7 r 4
2 4 2 0 r 4 3r 2 0 0 0 0 14 r 4
r 2
0 0
0 14
0 7
3
6
3
5 0 0 0
16
0 0 0
0 0
故 R(A)=3
1 2 3k
2．设 A
1 2k
3 ，问 k 为何值，可使 ⑴ R( A)
1 ⑵ R( A)
2 ⑶ R( A) 3
k
2 3
1
2 3k
r 2 1
2
3k 1 2 3k 1 2k
3 r 1
r 2 0 2k 2
3k 3
0 2k 2 3k 3 r 3
k
2 3 r 3
kr 1
0 2k 2 3 3k 2
3( k 2)( k 1)
(1) R(A)=1 当且仅当
2k 2 0
k 1
3(k 2)( k 1) 0
(2) 由 (1)可知 R(A)=2 当且仅当 k=-2
(3)R(A)=3 当且仅当 k
1且 k 2
线性代数练习题 第二章 矩 阵
若 A
P
，则 A
0 Q
0 P 若 A ，则 A
Q
系
专业 班 姓名
学号
第四节
矩阵的分块
1
P 1 0
0 Q 1 1
0 Q 1
P 1
一．选择题
设 A， B 为 n 阶矩阵A，B分别为 A， B 对应的伴随矩阵，分块矩阵C A 0
，则 C 的伴
0B
随矩阵 C[D ]
（ A）A A0
（ B）
B B0
0 B B0 A A
（ C）A B
0（ D） B A0
0 B A0 A B
二、填空题：
1200
2100 31
3 4 0 000
1．A，则 A 122 A =4
0023
0053
004522
0021 00216500
2．设A 0002
，则 A2
0600 31000065 03000006
三、计算题：
1．设P1AP，其中P14，10
，求A11
1102
14
11
( P 1 AP ) 11P 1 A 11 P ,P 155;
11
55
A 11P11 P
1
1141014
1102 1111
5
112 131412 1312 134
512 111152 1112 114
00100
00020
2. 设A00003，求 A 1
21000
34000
0P
0Q 1
1, P 1
A, A
Q0P 10
00041 55
00032 55
A 110000
01
000 2
001
00 3
3400
3．设A 4300
及 A 4 002
，求 A 8
0022
| A8 || A |8 ,A P0
| A | | P ||Q | 0
,
Q
4
P4*******
A0Q 4 ,
P0625, Q
625000
A 4
062500
0016.
0 006416100
010, Q 11
41
32 2
1
5
00
3
254100, | A8 | | A |81016;
160
;
6416
线性代数练习题
第二章
矩 阵
系
专业
班 姓名 学号
综 合
练
习
一．选择题
1．设 n 阶矩阵 A ， B 是可交换的，即 AB = BA ，则不正确的结论是
[ B ]
（ A ）当 A ， B 是对称矩阵时， AB 是对称矩阵 （ B ）当 A ， B 是反对称矩阵时， AB 是反对称矩阵 （ C ） ( A B ) 2
A 2 2 A
B B 2
（ D ） ( A B )( A B) A 2
B 2
2．方阵 A 可逆的充要条件是
[ B
]
（ A ） A ≠ 0
（ B ） | A | ≠ 0
（ C ） A * ≠ 0
（ D ） | A * | ＞0
3．设 n 阶矩阵 A ， B ， C 和 D 满足 ABCD E ，则 ( CB ) 1
[ A
]
（ A ） CDADAB （ B ） DA
（ C ）AD
（ D ） DABCDA
二．填空题：
1．已知二阶矩阵 M 的伴随矩阵 M
*
1 2 4 2
2 4
，则 M
1
2
3 4 0 1
1 2 3 2 2．若 A
可逆，则 a 为
不等于 -6
2 6 a 0 1 1 2 1
三．计算题与证明题：
1． 已知
(1,2,3) ，
(1,1/ 2,1/ 3) ，设 A
T
，求 A n
A nT
T
T
T (
T )
n 1
1
T
(1 ,1 / 2 ,1 / 3 ) 2
3 T
，
3
1
1 1 /
2 1 /
3 2 (1 ,1 / 2 ,1 / 3)
2
1
2 / 3
3
3 3 / 2
1
1 1/
2 1/ 3
A n
T (
T )n 1
3n 1 T
3n 1 2 1 2 / 3
3 3 / 2 1
2
1 1 1 0 3 2．设 A0
1 0 , B
0 0 1 1 0 1
2
， A ， B 与 X 满足 AXA *
6 XA 1 BA *
0 ，求 X
2 1 1
3 1 0
1 0 r 1 r 3 0 1 0 3 0
1 0 1
1 0 1
故由 AA *
A E
A *
1
1
A ，因此
A
AXA *
6XA 1
BA *
AX
6 X B
0 ( A 2E) X
B
A
4 1 1
1 0 3 A 2E
0 3 0 ，
B
0 0
1
1 0 3
2 0
4 1 1
1 0
3
1
3 0 2 0
1 0 3 0
2 0
0 3 0 0 0
1
r
1
r 3 0 3 0
0 0 1 r 3 4r 1 0 3 0 0 0 1
1 0
3
0 2
0 r 1 ( 1) 4 1 1
1 0 3
0 1
13
1
8
3
1
3
0 2 0
1 0
3
0 2 0 r 2 3 0 1 0
1
r 3
r 2 0 1 0
0 1 0
1
13
1
8
3
3
3
0 0
13
1
8
10
3
1
0 0
3 2 10
1
0 3 0 2 0
13 13 13
r 3 13 0 1 0
1
r 1
3r 3 0 1 0
0 0 1
1
8 3
1 8
3
0 1
10
0 1
10
13
13 39
13
13 39
3210 131313
故 X001 3
1810
131339
3．设 n 阶矩阵 A 满足A2A6E0 ，试证：
（1）A 与 A－ E 都可逆，并求它们的逆矩阵；（ 2） A + 2E 和 A－ 3E 不同时可逆
A2 A 6E0 A( A E) 6E 1
A( A E ) E A 1
A E
, ( A E) 1A 666
A2 A 6E A( A2E)3A6E A( A2E ) 3( A2E)( A 3E)( A 2E)0 | A3E || A2E |0| A3E |0 or | A2E | 0，故A + 2E和A－3E不同时可逆。
线性代数知识点总结第二章
线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数()1,2, ,;1,2, ,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表 11121212221 2 n n m m mn a a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵()() ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++
同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
线性代数第二章矩阵试题及答案
第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
矩阵与线性代数计算
第三章 矩阵与线性代数计算 MATLAB ，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本章从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB 的命令及其用法。 3.1矩阵的定义 由m×n 个元素a ij (i=1,2,…m;j=1,2,…n)排列成的矩形阵称为一个m 行n 列的矩阵,或m×n 阶矩阵，可以简记为A=(a ij ) m×n ，其中的a ij 叫做矩阵的第i 行第j 列元素。 ???? ??????=m n m m n n a a a a a a a a a A 2 1 222 21 11211 当m=n 时，称A 为n 阶方阵，也叫n 阶矩阵； 当m=1,n ≥2时，即A 中只有一行时，称A 为行矩阵，或行向量（1维数组）； 当m ≥2,n=1时，即A 中只有一列时，称A 为列矩阵，或列向量； 当m=1,n=1时，即A 中只有一个元素时，称A 为标量或数量（0维数组）。 3.2矩阵的生成 1.实数值矩阵输入 MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。 不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： 【例3－１】矩阵的生成例。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] b=[1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9; 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9; 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9] Null_M = [ ] %生成一个空矩阵
线性代数第二章矩阵练习题
第二章 一、选择题 1、计算13230102-???? +? ??? ???? 的值为(C) A 、-5 B 、6 C 、3003?????? D 、2902-?? ???? 2、设,A B 都就是n 阶可逆矩阵,且AB BA =,则下列结论中不正确的就是(D) A. 11AB B A --= B 、 11A B BA --= C 、 1111A B B A ----= D 、11B A A B --= 3、初等矩阵(A) A. 都就是可逆阵 B 、所对应的行列式值等于1 C 、 相乘仍就是初等阵 D 、相加仍就是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵,满足0AB =,若()2r A n =-,则(C) A. ()2r B = B 、()2r B < C 、 ()2r B ≤ D 、()1r B ≥ 二、判断题 1、若,,A B C 都就是n 阶矩阵,则()k k k k ABC A B C =、 (×) 2、若,A B 就是n 阶反对称方阵,则kA 与A B +仍就是反对称方阵、(√) 3、矩阵324113A ??=? ???与矩阵2213B ?? =?? ?? 可进行乘法运算、 (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ,则A B =、 (×) 三、填空题 1、已知[]456A =,123B ?? ??=?????? ,求AB 得_________ 。 2、已知1 2n a a A a ???? ??= ? ???? ? O (0,1,2,,i a i n ≠=K ),则1A -= (32) 12 11 1n a a a ????????????????????? ? O 12n +
线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组
习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
刘三阳线性代数第二版第一章标准答案
刘三阳线性代数第二版第一章答案
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第一章矩阵及其应用习题解答 本章需要掌握的是： 1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）； 2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质； 3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质； 4）分块矩阵的运算规则； 5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵； 6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7；7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。 1、设方阵A满足，求。 题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即。因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式（如本题是）多么复杂，只 需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E”即可，即本题是要配成（A-E）*(?)=E。 解： %配出2003A可提取的（A-E） %配出1998可提取的（A-E） %提取公因式（A-E） %将只有单位阵的那一项移至等式右端 %写成“AB=BA=E”的形式
%由逆阵定义可知 巩固练习：教材第38页第13题 2、设，求。其中k为正整数。 题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算 最多到，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。 解：，，因此推论，用数学归纳法证明如下： 1）当k=1时，成立； 2）假设当k=n-1时，上式成立，即，则有 当k=n时，也成立。 所以 巩固练习：教材第41页二、填空题（3） 3、设A=E-uu T ，E为n阶单位阵，u为n维非零列向量，u T 为u的转置，证明：1）A2=A的充要条件是u T u=1； 2）当u T u=1时，A是不可逆的。 题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行 或一列的矩阵，题中有即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量。
自考04184线性代数(经管类)讲义第二章 矩 阵
第二章矩阵 2.1矩阵的概念 定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表 用 大小括号表示 称为一个m行n列矩阵。 矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。 其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素 （i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i 称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。 通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为 A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n
当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。 元素全为零的矩阵称为零矩阵。用O m×n或者O（大写字）表示。 特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。它是1×n矩阵。 当n=1时，称为m维列向量。 它是m×1矩阵。 向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。 例如，（a，b，c）是3维行向量，
是3维列向量。 几种常用的特殊矩阵： 1.n阶对角矩阵 形如或简写 为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵， 例如，是一个三阶对角矩阵， 也可简写为。 2.数量矩阵 当对角矩阵的主对角线上的元n阶数量矩阵
线性代数第二章矩阵(答案解析)
线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第一节 矩阵及其运算 一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题： 设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4
??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;2294201722213 2222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ??----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由 线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第二节 逆 矩 阵 一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）* * =A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]
线性代数习题第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1、用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形、 2、用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵、 3、设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =、 4、设A就是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B、 (1) 证明B可逆(2)求1 AB-、
习题 3-2 矩阵的秩 1、求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠????=?? L 2、设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =、
3、 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系就是 、 .()()a R A R B = .()()b R A R B <; .()()1c R B R A >-; .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4、 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= 、 a 、1; b 、 2; c 、 3; d 、 4、 5、 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = 、 a 、 1; b 、 n -11; c 、 –1; d 、 1 1-n 、 6、设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
线性代数第二章矩阵(答案)
线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第一节 矩阵及其运算 一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （ B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题： 设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4
??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;229 42017222132222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ? ?----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由 线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第二节 逆 矩 阵 一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]
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线性代数练习题第二章矩阵 系专业班姓名学号 第一节矩阵及其运算 一．选择题 1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC 2．设C (1 , 0 ,0 , 1 )，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22 （ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）0 3．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B] （ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A 二、填空题： 164201165 1． 282342112 4 12124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 431735 3．12326 570149 131 2140012678 4． 1341312056 1 402 三、计算题： 111 设 A111，4 111
123 B124，求 3AB2A 及 A T B 051 111123111 3AB 2 A 3 111124 2 111 111051111 058222 3 056222 290222 21322 21720 ; 4292 111123058 由 A对称， A T A，则 A T B AB11112405 6 . 111051290 线性代数练习题第二章矩阵 系专业班姓名学号 第二节逆矩阵 一．选择题 1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B] （ A）AA A 1（ B）A n 1 （ C）( A)n A（ D）( A )0 A 2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵 （ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B| 3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 （ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A 4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E 5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]
线性代数教案_第二章_矩阵
授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算 目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算 重点矩阵的运算 难点矩阵的乘法 §2.1矩阵 前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性： 1. 系数行列式 ； 2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。 接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。 一、矩阵的概念 矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等 例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示 表 1 产地销地调配情况表 销地 产地 B1 B2 B3 B4 A1 1 6 3 5 A2 3 1 2 0 A3 4 0 1 2
那么，表中的数据可以构成一个矩形数表： 在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。 定义2.1 由 个数 排成的 行 列数表 （2.1） 称为一个 行 列矩阵，简称 矩阵。这 个数称为矩阵的元素，其中
称为矩阵的第 行第 列元素.（2.1）式也简记为 或 . 有时 矩阵A也记作 . 注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵. 2.当 时，称 矩阵为长方阵（长得像长方形）； 3.当 时，称矩阵为 阶方阵（长得像正方形），简称方阵； 4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵. 如果 与 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即
线性代数第一章行列式试题及答案
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j 即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a ……… a n1 a n2…a nn 这里 n j j j 2 1 表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素及另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 2322 21 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
(精选)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__125____，|2A|=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
线性代数第二章习题答案复习课程
线性代数第二章习题 答案
习 题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序． 解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵??? ? ??-=???? ??+-=2521 ,03231z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。 习 题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）22B A -． 解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ； （2） ??? ? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ； （3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-． 解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 2 1323B -A ??? ?? ??----=????? ??----????? ? ?--=61941016151055011010422061024686901236903963
华东理工大学线性代数第一章矩阵复习
矩阵 第章 第一章矩阵
矩阵乘法转置求逆运算规律 1、矩阵乘法、转置、求逆运算规律); ()(BC A C AB =)); (),()()(为数其中λλλλB A B A AB ==A ; )(, )(CA BA A C B AC AB C B +=++=+. I A A A I n n m n m n m m ×××==般地则称若一般地，,,BA AB BA AB =≠B A 与. 是可交换的矩阵乘法一般不满足消去律，即： . Y X AY AX ==一般推不出
逆矩阵 定义,, 使如果存在矩阵阶方阵为设B n A ( 矩阵、满或非奇异的、非退化的是可逆的则称矩阵A I BA AB ==的逆矩阵唯的. ),的逆矩阵称为且矩阵秩的A B . ,, 1 A A A ?的逆 的逆矩阵是唯一的则有逆矩阵若A 矩阵记作
()() ; 1A A T T =() A A =??1 1()();2T T T B A B A +=+() ;1 1 1 ???+≠+B A B A ()(); 3T T A A λλ=T (). 111 ??=A A λ λ()(). 4T T A B AB =() . 1 11 ???=A B AB (?()). T T A A 11 ? =
一些特殊的矩阵2些特殊的矩阵 对称矩阵 T . ,,为对称矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =反对称矩阵 ,,为反对称则称如果阶方阵为设A A A n A T ?=. 矩阵幂等矩阵 . ,,2 为幂等矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =
正交矩阵 A A ,,正交矩阵为则称如果阶方阵为设A I A A n A T T ==.对角矩阵 其余素全角线阶阵,,其余元素全如果主对角线以外阶方阵为设n A . ,为对角矩阵则称为零 A