常微分方程教学大纲

218．111．1

常微分方程教学大纲

(Ordinary Differential Equations)

学分数 3 周学时 3+1

一.说明

1.课程名称: 常微分方程 (一学期课程)

一学期： 4*18.

2.教学目的和要求:

(1)课程性质:本课程是数学系二年级必修课。本课程是数学系的一门基础课，一般安排在第三学期。它的前续课程是：数学分析、高等代数、解析几何、普通物理等。本课程是数学应用于物理、力学等的桥梁，是运用数学工具解决实际问题的重要工具和基础。也是加深理解数学分析、高等代数等课程的重要课程。

(2)基本内容:本课程主要内容为常微分方程的理论与计算。包括以下内容:

常微分方程问题的来源，简单常微分方程的初等解法，常系数线性方程解的结构（以及解法），线性微分方程组理论与解法，微分方程基本理论，微分方程定性理论初步。

(3)基本要求: 通过本课程的学习,学生对微分方程在实际问题（包括数学本身以及物理、力学、经济、生物等各个领域）中的应用有较好的认识，熟练掌握简单常微分方程的初等解法、常系数线性方程的解法和线性微分方程组的知识（对于低阶方程组、简单的高阶方程组要会解），掌握微分方程（组）的基本理论，对微分方程（组）的定性理论有一定的了解。

3.教学方式:课堂授课。

4.考试方式:考试（笔试）。

5.教材: 《常微分方程》，金福临，李训经等编，上海科学技术出版社，1984。

参考书:《常微分方程》 V. I. 阿诺尔德著, 沈家骐，周宝熙，卢亭鹤译，科学出版社， 2001。

其他院校，例如北京大学、南京大学编写的常微分方程教材。

二.讲授纲要

第一章引论(10学时+4学时)

§1.1. 常微分方程问题的来源(1学时)

§1.2. 简单常微分方程的初等解法(4学时)

§1.3. 高阶方程的降阶(3学时)

§1.4. 两体问题 (2学时)

本章教学要求:

对微分方程在实际问题（包括数学本身以及物理、力学、经济、生物等各个领域）中的应用有较好的认识，熟练掌握简单常微分方程的初等解法和一些可以利用降阶解决的高阶常微分方程的求解。

注：4学时为习题课

第二章常系数线性微分方程 (6学时+2学时)

§2.1. 一阶、二阶方程(2学时)

§2.2. n阶常系数线性方程 (2学时)

§2.3. 算子方法 (2学时)

本章教学要求:

熟练掌握常系数线性方程的解法。

注：2时为习题课

第三章线性方程组(12学时+4学时)

§3.1. 向量值与矩阵值函数，线性微分方程组的矩阵向量表示。(1学时)§3.2. 线性微分方程组初值问题的存在唯一性定理 (2学时)

§3.3. 线性微分方程组解的结构 (2学时)

§3.4. 非齐次线性常微分方程 (1学时)

§3.5. 常系数线性微分方程组的求解 (4学时)

§3.6. 二阶变系数常微分方程 (2学时)

本章教学要求:

掌握线性微分方程组的知识，对于低阶方程组、简单的高阶方程组要具体会求解。

注：4学时为习题课

第四章微分方程的基本理论(10学时+3学时)

§4.1. 初值问题解的纯在存在唯一性定理 (2学时)

§4.2. 微分方程组的初值问题 (2学时)

§4.3. 动力系统的基本概念 (2学时)

§4.4. 微分方程组解关于初值和参数的可微性定理 (2学时)

本章教学要求:

掌握微分方程（组）的基本理论。注意把握逐次逼近法。

注：3学时为习题课

第五章微分方程定性理论初步(14学时+5学时)

§5.1. 平面上初等奇点及其分类 (2学时)

§5.2. 平面定性理论的基础—非线性二阶方程的周期解和极限圈 (4学时)§5.3. 非线性常微分方程解的稳定性定义 (2学时)

§5.4. 稳定性的李雅普诺夫定理 (4学时)

§5.5. 一次近似理论 (2学时)

本章教学要求:

对微分方程（组）的定性理论有一定的了解

注：5学时为习题课

学时安排说明: 本课程共需72学时, 在教学过程中，某些章节的学时可以根据学生的接受情况略有增减。另外，时间允许时，在第三章可以介绍周期系数的常微分方程。在第四章可以介绍连续右端的常微分方程。

本纲要编写者: 楼红卫

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