09级硕士研究生高等数理统计考试题

09级硕士研究生高等数理统计考试题(开卷考试)

一、完成下列各题

1.设是充分统计量，函数是单调函数，令，证明也是充分统计量.

)(X T T =))(t G ))(()(X T G X S =(X S 2.设总体，为抽自总体),(~2σμN X n X X X ,,,21 X 的iid 样本，2,S X 分别是样本均值和样本方差。令S X X Y /(1-=，找出Y 与学生氏t 分布的关系，并写出Y 的概率密度函数。

3.设总体，为抽自总体),(~2σμN X n X X X ,,,21 X 的iid 样本，X 为样本均值，满足),,,(21n X X X g Y =),,,(),,212n n X X X g X c ,(1X c X g c =+++，其中c 为任意常数。证明X 与Y 相互独立，并以此说明X 与样本极差R 相互独立， 其中{}{}i n

i i n i X X R ≤≤≤≤-=11min max 。 4.设相互独立，证明都有指数型分布簇等价于有指数型分布簇，并说明当不独立时，该结论是否成立。

Y X ,Y X ,),(Y X Y X ,二、证明下列各题

1.设，证明2~n n X χ)1,0(2N n n X L n ?→?-，并以此结果给出当充分大时，分

布关于n 2χα上侧分位数的求算办法。

2. 设总体)1,(~θN X ，为抽自总体n X X X ,,,21 X 的iid 样本，求的UMVUE ，并证明该UMVUE 达不到C-R 不等式得下界。

2θ 3.设是来自二维正态分布总体的iid 样本，。求和),(,),,(),,(2211n n Y X Y X Y X )()(,0)()211====Y D X D Y E ]1,1[,0,),(,(21121-∈>=ρσρσσY X Cov X E 2σρ的极大似然估计。

4.设1α为总体的一阶原点矩，k μ为总体的k 阶中心矩，令12/αμθ=，称其为总体分布的变异系数。写θ的矩估计量，并证明： n

θ?)2

1,0()?(42θθθθ+?→?-N n L n 三、解答下列各题

1.叙述假设检验两类错误与检验功效函数的关系。

2.设总体服从),0(θU ，为抽自总体n X X X ,,,21 X 的iid 样本。指定00>θ，证明统计假设0:0:;θθθθ>K ≤H 的UMP 检验存在，试写出水平α的UMP 检验的功效函数。

3.设总体服从)1,(θN ，为抽自总体n X X X ,,,21 X 的iid 样本，0θ为一个给定常数，求检验问题]1,1[1:;1:-?≤≤-θθK H 的UMPU 检验。

4.设样本X 的概率分布为指数型分布，

即概率函数为 )()(),()()(x h e C x f x T Q θθθ=其中)(),(θθQ C 为θ的函数，是)(),(x h x T x 的函数，参数空间),(+∞-∞=Θ。如果0θ为Θ的以内点，)(θQ 为θ的严格增函数。证明检验问题00:;:θθθθ

??

???<=>=C x T C x T C x T x )(0)()(1)(γ?α

其中常数γ,C 满足{}{}αγθθ==+

5.设因子x 与指标Y 满足线性模型

εββ++=x Y 10，

),0(~2σεN 为估计),(10'=βββ取因子x 的取值进行观测，得指标n x x x ,,,21 Y 的独立观测

值。试求n Y ,, Y Y ,21)(1,0'=βββ的最小二乘估计，并计算。 LS β?)LS

Var ?(β四、研读文章“ASYMPTOTIC NORMALITY OF THE QUASI MAXIMUM LIKELIH-

-OOD ESTIMATOR FOR MULTIDIMENSIONAL CAUSAL PROCESSES ”

，概述文章中基本观点，并谈谈你的认识与感想。