天津理科高考数学试卷和答案完整版

天津理科高考数学试卷

和答案

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

第I 卷

注意事项：

·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：

如果事件 A ，B 互斥，那么·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)．

柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高．h 表示锥体的高．

第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =

（A ）{1}

（B ）{4}

（C ）{1,3}

（D ）{1,4}

（2）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥??

+-≥??+-≤?

则目标函数

25z x y =+的最小值为

（A ）4- （B ）6 （C ）10

（D ）17

（3）在△ABC 中，若=13AB ,BC =3，120C ∠= ,则AC = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为

（A ）2 （B ）4 （C ）6

（D ）8

（5）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n ?1+a 2n <0”的

（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件

（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件

（6）已知双曲线2

224=1x y b

-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的

圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为

（A ）22443=1y x -

（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2

22

4=11x y - （7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接

DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF BC →→

的值为 （A ）58-（B ）18（C ）14（D ）118

（8）已知函数f （x ）=2(4),0,

log (1)13,30)a x a a x x x x ?+0,且a ≠1）在R 上单调递减，

且关于x 的方程│f （x ）│=2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 （A ）（0，

23] （B ）[23，34] （C ）[13，23

]{34}（D ）[13，23）{34

} 第II 卷

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1+i )(1-bi ）=a ，则

a

b

的值为_______. （10）281()x x

-的展开式中x 2

的系数为__________.(用数字作答)

（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.

（第11题图）

（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.

(13)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满

足f (2|a -1|)＞f （

），则a 的取值范围是______.

(14)设抛物线2

22x pt y pt

?=?=?，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点

A 作l 的垂线，垂足为

B .设

C （72

p ,0），AF 与BC 相交于点E . 若|CF |=2|AF |，且

△ACE 的面积为p 的值为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(15) 已知函数f(x)=4tanxsin(

2

x π

-)cos(3

x π

-

.

(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）讨论f(x)在区间[,

44ππ

-

]上的单调性.

（16）（本小题满分13分）

某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2.

（I ）求证：EG ∥平面ADF ；

（II ）求二面角O -EF -C 的正弦值； （III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =

2

3

HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. （20）（本小题满分14分）

设函数f (x )=（x-1）3-ax -b,x ∈R ，其中a ,b ∈R 。 (I)求f (x )的单调区间；

(II)若f (x )存在极点x 0，且f (x 1)=f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3；

(III)设a ＞0,函数g (x )=∣f (x )∣,求证：g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于．．．

. 参考版解析 1．D

【解析】{}1234A =，，，，{}14710B =，，，

，∴{}14A B =，，选D ． 2．B

【解析】

可行域如上图所示，则当取点(3,0)时，25z x y =+取得最小值为6 3．A

【解析】设AC x =

由余弦定理得：29131

cos120232

x x +-?==-??

1x =或4-（舍），∴1AC =，选A ．

4．B

【解析】第一次：8s =，2n = 第二次：2s =，3n = 第三次：4s =，4n =，满足3n >，输出4s =. 5．C

【解析】设数列的首项为1a ，则222122212111=(1)0n n n n n a a a q a q a q q ----+=++<，即1q <-，

故0q <是1q <-的必要不充分条件．

6．D 【解析】

渐近线:2

b OB y x =

设002b

B x x ??

???

，，则0012228b b

x x ??=

， ∴01x =，∴12b B ?? ???

，，∴22

2124b +=，∴212b =

∴22

1412

x y -= 7．【解析】B

∴()1

3

24

BC AF AC AB AB AC ??

?=-+ ???

1113311111222442=???-+-???13131

44288

=+--=，选B ． 8．C

【解析】

由log (1)1a y x =++在[0,)+∞上递减，则01a << 又由()f x 在R 上单调递减，则：

由图像可知，在[0,+)∞上，()2f x x =-有且仅有一个解，

故在(,0)-∞上，()2f x x =-同样有且仅有一个解， 当32a >即23

a >时，联立2(43)32x a x a x +-+=-， 则2(42)4(32)0a a ?=---=，解得：34

a =或1（舍）， 当32a 1≤≤时，由图像可知，符合条件.

综上：∴1

2

3

334a ????

∈????????， 选C ．

9．2a b

=

【解析】()()11i bi a +-=，1b i bi a ++-=，∴1b a +=

12

b a =??

=?，2a

b = 10．56- 【解析】()

3

5

5

278

1C 56x

x x ??

?-=- ???

，∴系数为-56 11．2

【解析】121323

V ==×××

12【解析】连接OD ，可得，

BOD BDE △△，∴23BD BO BE =?=∴BD DE =

AEC DEB △△，

AE CE

DE BE =2

EC ，EC ∴13．1

322

a <<

【解析】由()f x 是偶函数可知，()0-∞，

单调递增；()0+∞，单调递减

又()(12a f f ->，(f f =

可得，1

2

a -<112a -<

∴13

22

a <<

14．P

【解析】x 、y 满足函数22y px =；,02p

F ??

∴ ??

?3CF p ∴=，3

=2

AB AF p = 可得：()

A p 易知

AEB

FEC ，

12

AE AB FE FC ==，故111

3332ACE ACF S S p ==??△△

0p >，∴p =15．

【解析】()π

π

4tan sin cos 23

f x x x x ????

=-- ? ??

?

?

?

π2sin 23x ??

=- ??

?．

(Ⅰ)定义域π

π2

x x k k ?

?

≠+∈???

?

Z ，,2π

π2

T =

= （Ⅱ）ππ44

x -≤≤，5πππ2636x -

-≤≤，设π23t x =-， ∵sin y t =在5ππ62t ??∈--????，时单调递减，在ππ26t ??

∈-????

，时单调递增 由5πππ2632x -≤-≤-解得ππ412x --≤≤，由πππ2236x -≤-≤解得ππ124

x -<≤

∴函数()f x 在ππ124??-

???，上单调增，在π

π4

12??-- ???，上单调减

16．

【解析】（Ⅰ）设事件A ：选2人参加义工活动，次数之和为4

（Ⅱ）随机变量X

17．

【解析】（Ⅰ）证明：找到AD 中点I ，连结FI ，

∵矩形OBEF ,∴EF OB ∥

∵G 、I 是中点，∴GI 是ABD △的中位线

∴GI BD ∥且12

GI BD =

∵O

是正方形ABCD 中心

∴1

2

OB BD =

∴EF GI ∥且EF GI =

∴四边形EFIG 是平行四边形 ∴EG FI

∥

∵FI ?面ADF ∴EG ∥面ADF

（Ⅱ）O EF C --正弦值

解：如图所示建立空间直角坐标系O xyz -

()00B ，

，(

)200C

，，，()

02E ，，()002F ，

， 设面CEF 的法向量()1n x y z =，，

得：01x y z ?=?

=??

=?

∴()1201n =，，

∵OC ⊥面OEF ，

∴面OEF 的法向量()2100n =，， （Ⅲ）∵23

AH HF =

∴

)

22402055

55AH AF ??

=== ? ???

，，

设()H x y z ，， ∴()405AH x y z ?

==????

，， 得：045x y z ?=

???

=???=

??

18．

【解析】⑴22112112n n n n n n n n C b b a a a a d a +++++=-=-=?

21212()2n n n n C C d a a d +++-=-=为定值．

∴{}n C 为等差数列

⑵2213211(1)n

k n k n k T b C C C -==-=++???+∑21(1)42

n n nC d -=+

?2

12(1)nC d n n =+-（*） 由已知22212123122122()4C b b a a a a d a d a d d =-=-=?=+= 将214C d =代入（*）式得22(1)n T d n n =+

∴2

111112(1)

n

n

k k k

T d k k ===+∑∑21111(1)2311221k k d ?=??++--+-+21

2d <，得证 19．

【解析】

（Ⅰ）

113e

OF OA FA

+=

∴31a +=解之得2a =

∴椭圆方程为：22

143

x y +=

（Ⅱ）由已知，设l 斜率为k (0)k ≠，方程为(2)y k x =-

设()B B B x y ，00((2))M x k x -，，01()x MOA MAO ∠∠≥≤，()H H O y ，

22

22221(34)16161204

3(2)x y k x k x k y k x ?+

=??+-+-=??=-?

，0?>成立 由韦达定理221612234B k x k -?=+，∴228634B k x k -=+，212(2)34B B

k

y k x k -=-=+ 令0x =，得012H y k x k k ??

=+- ??

? ∵HF FB ⊥，∴(1)(1)0H B B FH FB y x y ?=-?-=，， 即20228612111203434B H B k k x y y k x k k k k -??

??-+=--+-= ???++???? ∴2

02

920112(1)

k x k +=+≥，∴283k ≥

∴k

k ≤ 20.

【解析】（1）()()3

1f x x ax b =---

① 0a ≤，单调递增；

②0a >，()f x

在,1?-∞ ?

单调递增，在11?- ?

单调递减，在1??++∞ ? ???

单调递增

（2）由()0'0f x =得()2

031x a -=

∴()()()3

2

0000131f x x x x b =----()()2

00121x x b =----

（3）欲证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14

，只需证在区间[02]，上存在

12,x x ，

使得121()()2

g x g x -≥即可

①当3a ≥时，()f x 在[]02，上单调递减

1

(0)(2)2242

f f a -=->

≥递减，成立 当03a <<时，

∵(2)12f a b =-- (0)1f b =-- ∴(2)(0)22f f a -=-

若304

a <≤时，()()1

02222

f f a -=-≥，成立

当34

a >时，41

1132f f ?

?-= ?

?，成立