数学分析题库填空题

一 填空题（每题4分）

第十章 多元函数微分学

1、函数arcsin()x y 2

2

+的定义域为??????? 。

2、函数z xy =arcsin 在点（1，

1

3

）沿 x 轴正向的方向导数是 ——— 。 3、设f x y x y (,)sin cos =2，则f x (,)π

π2

= ——— 。

4、设函数z z x y =(,)由方程2326146402

2

2

x y z xy x y z -++--++=确定，则

函数 z 的驻点是______ 。 5、函数z x y xy

=+-arctan

1在点（－1，2）沿{}

a =-13,方向的方向导数是—— 。 6、设u xy y

x

=+

，则??u y = ——— 。

7、函数y y x =()由12

+=x y e y

所确定，则

d d y

x

= ——— 。 8、设u xy x y =--ln()tanh()，则d u = ——— 。 9、设函数z z x y =(,)由方程x y z e x y z ++=-++()

2

22所确定，则

??z

x

= ——— 。 10

、

设

函

数

F u v w (,,)

具有一阶

连

续

偏

导

数

，

且

F F F u v w (,,),(,,),(,,)336333623361--=--=---=，曲面F x xy xyz (,,)=0过点

P (,,)312-，则曲面过点P 的法线与yz 平面的交角为_______ 。

11、函数z x y =

+ln()的定义域为 ??????? 。

12、设u x y z

=?? ?

?

?

1/，则

??u z

(,,)

111= ——— 。

13、曲线x y z x 2220

2-+==???

在点（2，3，5 ）处的切线与z 轴正向所成的倾角为

——— 。

14、设z xye

x y

=+，则d z = ——— 。

15、设f x y x y (,)=+22，则d f = ——— 。

16、函数u z

x y =+arcsin

22

的定义域为??????? 。

17、设曲线x t y t z t =+=-=+213122

3

,,在t =-1对应点处的法平面为 S ，则点(,,)-241到 S 的距离 d =______ 。

18、设函数F x y z (,,)可微，曲面F x y z (,,)=0过点P (,,)123-，且

F P F P F P x y z (),(),()===-432，则曲面F x y z (,,)=0在点 P 的切平面方程为

______ 。

19、若f x y e

y x x

(,)cos()=--2，则),(2 x x f x = ——— 。

20、曲线x t e y te z e t t

t

===2

222,,在对应于t =1点处的切线与yz 平面的夹角正弦

sin ?=_____。

21、设z e y e

y x

x

=+-sin cos ，则????2222z x z

y

+= ——— 。

22、设z x cy =-sin()，则z c z yy xx -2

= ——— 。 23、设f x y xye x

y (,)()

=--2

，则),(2 x x f x = ——— 。

24、若函数z x y xy ax by c =+++++2232

2

在点(,)-23处取得极小值－3，则常数

a b c ,,之积 abc =______ 。

25、设f y z (,)与g y ()都是可微函数，则曲线x f y z z g y ==(,),()在点(,,)x y z 000处的切线方程是______ 。

26、设u xy y

x

=+，则??22u x = ——— 。

27、曲线x t y t z t ===sin ,cos ,42

在对应于 t =

π

2

点处的法平面方程是______。 28、设函数z z x y =(,)由方程sin x y z e z

+-=2所确定，则??z x

= ——— 。

29、设函数z z x y =(,)由方程z x y y z =--?(,)所确定，其中?(,)u v 有一阶连续偏导数，则{}

a =11,= ——— 。

30、曲线x y z x y z ++-=+-+=??

?30

90

332

在点(,,)-223处的切线的标准式方程为 ______ 。

31、设f x y x y x

y

(,)()arcsin

=+-1，则)1,( x f x = ——— 。 32、设u x xy =ln ，则???2u

x y

= ——— 。

33、函数y y x x x y

=

-+

--ln 12

2

的定义域为 ??????? 。

34、曲线z x y x 22221=++=???

()

在点（1，2，7 ）处的切线对y 轴的斜率为 —— 。

35、设z xf x y f x y =(,),(,)具有二阶连续偏导数，

??f

y

(,)

012=，则

???201z

x y

(,)

=

——— 。

36、若曲线x y z x y z 22222

23

--=++=???在点(,,)110-处的切向量与 y 轴正向成钝角，则它与 x 轴正向夹角的余弦cos α=_______ 。

37、设u x y x y =+-4

4

2

2

4，则???2u

x y

= ——— 。

38、设函数F u v (,)具有一阶连续偏导数，且F F u v (,),(,)264262-=-=，则曲面

F x y z xyz (,)++=0在点(,,)321-处的切平面方程为_______ 。

39、设函数z f x y =(,)在点 (,)x y 00处可微，则点 (,)x y 00是函数 z 的极值点的必要条件为________________________ 。

40、设函数F x y z (,,)可微，曲面F x y z (,,)=0过点M (,,)210-，且

F F F x y z (,,),(,,),(,,)210521022103-=-=--=-.过点 M 作曲面的一个法向量

n ，已知 n 与 x 轴正向的夹角为钝角，则 n 与 z 轴正向的夹角 γ=______ 。

41、若f x y x y x y (,)()sin =+-，则f x x x '

(,)= ——— 。

42、极限lim

arctan()

x y x y x y

→→++1

3

3

= ??????? 。

43、曲线230

20

234

x y z x y z +-=-+=??

?在点(,,)-111处的切线与平面x y z +-=2夹角的正弦

sin ?=______ 。

44、设x r y r ==cos ,sin θθ，则二阶行列式????θ????θ

x

r

x

y r

y =——— 。 45、设u x y x y

x y

(,)=

+-，则d u = ——— 。 46、曲面x y z 2

2

450+-+=垂直于直线x y z -=-=121

2

的切平面方程是___________。

47、设f x y xy

x y xy xy (,)sin()

=≠=?????1

00

2，则f x (,)01= ——— 。

48、函数 z x xy y x y =+-+-+2

2

46812的驻点是______ 。 49、函数z y

x

=-arctan

1的定义域为 ??????? 。 50、若f x y y x x x y (,)sin()=++-2

，则f x x x '

(,)= ——— 。

1、x y 2

2

1+≤

2、

122

3、2

4、（2，1）

5、

-1

1010

6、x x +1

7、22

xy e x

y - 8、111122x x y x y x y y --??

???++-?? ??

?cosh ()d cosh ()d 9、-

++-++-++12122

22222xe ze

x y z x y z ()

()

10、

π3

11、x y +≥1 12、0 13、arctan

53

14、[]e y x x x y y x y ++++()d ()d 11

15、

2

2d d y

x y y x x ++

16、-+≤≤+()x y z x y 2

2

2

2

，且x y 2

2

0+≠

17、2

18、43280x y z +-+= 19、--e x

20、429

21、0 22、0 23、x x 2

4

2-

24、30 25、

)

()(),(),(00

0000000y g z z y y y g z y f z y f x x z y '-=

-='+- 26、

23y x

27、04

143

=+-ππz y 28、cos x

e z

1+ 29、

??1

2

1+

30、x y z +=

--=-2213

31、1

32、

1y

33、y x x x y ≥>+<,,0

122

34、

27

35、2

36、-

241

37、-16xy 38、54140y z -+=

39、点(,)x y 00是函数z 的驻点（或z x y x (,)000=，且z x y y (,)000=） 40、

π

3

41、1-sinx 42、arctan14

=π

43、

13

44、r

45、

22

(d d )

()-+-y x x y x y

46、2210x y z +++= 47、1 48、（1，－2）

49、10->x 或x <1 50、3x

第十一章 隐函数求导

1、设函数F x y z (,,)具有一阶连续偏导数，曲面 F x y z (,,)=0过点 P (,,)--134，且F P F P F P x y z (),(),()=-==3231，则曲面 F x y z (,,)=0在点 P 的法线与

zx 平面的夹角是______。

2、设函数z z x y =(,)由方程x y z +

+=1所确定，则全微分d z = ——— 。

3、曲线z x y x =-+=???31

22()在点（1，1，1）处的切线与y 轴正向所成的倾角为 ——— 。

4、曲面sin()cos()sin()x y y z z x +++--=++2323222在点(,,)πππ

646

-处的

切平面方程是______。

5、曲面35222

2

x y z +-=在点(,,)113处的法线方程为_______ 。

6、曲面arctan

y xz 14

+=π

在点(,,)-210处的切平面方程是______。

7、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)121

3

处的切线方程是_______。

8、曲面xe y e z e e

y z x ++=+22332

1在点(,,)210-处的法线方程为_______ 。

9、设f x y e g y cx

(,)()=满足方程f f x y +=0，其中g y ()是可导函数，c 是常数，

则g y ()= —— 。 10、设u x x y =

+22

，则在极坐标下，

??θ

u

= ——— 。 11、曲线xyz y ==-???

32在点（3

2，

2，

-6

2

）处的切线与x 轴正向所成的倾角为 ——— 。

12、若(,,)x y z 000是曲面F x y z (,,)=0上的一点，且在这一点处有

F F F x y z ===424,，则曲面在这一点处的切平面与xy 平面所成的二面角是_____ 。

13、曲面3

2304xy z

xyz ++

=在点(,,)211

2

-处的切平面方程是________________________。

14、由方程cos cos cos 2

2

2

1x y z ++=所确定的函数z z x y =(,)的全微分d z =

——— 。

答案：

1、

π3

2、-+(

)z x dx z

y

dy 3、π－ arctan2

4、π)4

232(23)22(+=--+z y x 5、

x y z -=-=

--13153

1

6、y z +=21

7、x y z -=-=-122213

8、e

z

e y x 22212=

-+=- 9、c e

cy

1-

10、-sin θ

11、

π4

12、π6

13、3ln 218)3ln 412()3ln 26()3ln 3(+=-++-+z y x 14、-+sin sin sin 222xdx ydy

z

第十二章 反常积分

1、________________1

p x dx

p

收敛，则必有若广义积分?

2、

__________________11

2

=-?

x

dx

3、__________________1 n x dx

n 收敛，则自然数若广义积分?+∞

4、___________________1 0 p x dx

p 发散，则必有若广义积分?

5、__________________1 q x dx

q

发散，则必有若广义积分?+∞

6、________________11

=-?

x

dx

广义积分