高等数学学习辅导

高等数学（1）第5章 学习辅导(1)

第5章 不定积分

[学习目标]

⒈理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算；已知曲线在一点的切线斜率，会求该曲线的方程。

若)()(x f x F ='，则)(x F 是)(x f 的一个原函数；

)(x f 的全体原函数是c x F +)(

例如 已知c x x x f +=?sin d )(，则()_____=x f 。

解 应填x cos 。

因为已知的是)(x f 的不定积分，即)(x f 的全体原函数，求的是其导数，所以x c x x f cos )(sin )(='+=。

不定积分的性质是指

(1) 不定积分的运算性质

???±=±x x g x x f x x g x f d )(d )(d ))()((

??=x

x f c x x cf d )(d )(( c 为常数 )

结合起来有 ???±=±x x f k x x f k x x f k x f k d )(d )(d )]()([22112211

（2）不定积分和求导(或微分)的关系应记住以下等式

)(d )(d d x f x x f x

=? c x F x x F +='?)(d )(

或

x x f x x f d )(d )(d =?

c x F x F +=?)()(d

例如 ____________sin d ?=x 。

解 应填 c x +sin 。

由c x F x F +=?)()(d 直接可得。

⒉熟记基本积分公式；能熟练地利用基本积分公式及积分的性质，第一换元积分法和分部积分法计算不定积分；掌握第二换元积分法。

对于复合函数求不定积分一般用第一换元积分法（凑微分法），在学习时要记住常见的凑微分形式，例如：x x x

d 2d 1= )(c o s d d s i n

x x x -= )s i n (d d c o s x x x

=

)e (d d e x x x =

)1(d d 12x x x

-= )(d 1d b ax a

x += )0(≠a )(d 21d 2bx ax a

x x += )0(≠a 不定积分的分部积分公式是：

-='?uv x v u d ?'x u v d

在利用分部积分时，如何选择v u ,很重要，选择的原则是：

（1）选为v '的函数一定是好求原函数（如x x x arcsin ,arctan ,ln 不能做v '）；

（2）v u ',的选择要使?'x u v d 比?'x v u d 容易计算积分。

选择在具体运用时按以下顺序

反三角函数――对数函数――幂函数――指数函数――三角函数 将排在后面的函数选做v ，具体地说：若被积函数是x x 23e ，则将x 2e 选做v ；若被积函数是x x arctan 2，则将2x 选做v 。

若再次使用分部积分是，选择的v u ',必须是与前一次的选择函数类型相同。 ⒊掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分。