计算方法-李桂成-期末复习要点

数值分析复习要点

引论

1数值计算研究的对象与特点

计算方法研究的对象是专门研究各种数学问题的计算机解法（数值解法）, 包括方法的构造和求解过程的理论分析及软件实现, 包括方法的收敛性、稳定性以及误差分析等.

计算方法即具有纯数学的抽象性与严密性的特点, 又具有应用的广泛性与实验的技术性特点.

2误差的概念

2.1误差的来源

模型误差：数学模型的解与实际问题的解之间出现的误差, 称为模型误差测量误差：在测量具体数据时产生的误差称为测量误差.

截断误差：数学模型的准确解与数值方法的准确解之间的误差称为截断误差

舍入误差：由于计算机字长的限制而产生的误差, 称为舍入误差.

2.2 误差的度量.

.

(1).

(2).

(3).绝对误差与绝对误差限相对误差与相对误差限有效数字

2.3误差的传播

和、差的误差限不超过各误差限的和.积、商的相对误差限不超过各相对误差限的和.

3数值计算的若干原则

避免两相近数相减和绝对值太小的除数、简化计算步骤、使用数值稳定的算法

方程求根

1 二分法

用二分法求方程 f ( x) 0 的实根 x * 的近似值 , 其主要思想是: 将含有根x* 的隔离区间二分

通过判断二分点与边界点函数值的符号, 逐步对半缩小隔离区间, 直到缩小到满足精度要求

为止 , 然后取最后二分区间的中点为根x * 的近似值 .

,

2迭代法

一般地 , 为了求一元非线性方程 f (x)0 的根 , 可以先将其转换为如下的等价形式

xx 然后构造迭代公式 . x k 1x k k 0,1,2

3收敛性和收敛速度

（收敛性基本定理）的条件和结论

收敛速度的快慢可用收敛阶来衡量. （收敛阶）设序列x k k 0收敛到x*,并记误差

e k | x k x*| . 若存在常数 p 1 和 c0 , 使得 : lim e

k

p

1c

k e k

则称序列x k k 0是 p 阶收敛的 , 当 p 1 时 , 称为线性收敛 , 当 p 1 时 , 称为超线性收敛 ,当 p 2 时 , 称为二次收敛或平方收敛 .

4牛顿迭代公式及其收敛性

牛顿迭代公式x k 1 x k f ( x k ) k 0,1,2

f (x k )

牛顿法的收敛性

设 x*是方程 f ( x) 0 的单根 ,并且 f (x) 在x*的邻域上连续,则牛顿迭代法（ 3.4.1）至少平方局部收敛 .

解线性方程组的直接法

1高斯消去法

消元过程为：

对 k 1,2, , n 1 逐次计算 :

l ik

( k ) a ij a ik(k 1)/ a kk(k 1) ,( i k1,, n)

a ij( k1)l ik a kj(k1) ,( i , j k1, , n)

b i( k1)l ik b k( k1) ,( i k1,,n )

回代过程：逐步回代求得原方程组的解

x n b n(n 1) / a nn(n 1)

n

x k(b k( k 1)a kj(k 1) x j ) / a kk(k 1) ,( k n 1,n 2, ,1)

j k1

高斯消去法的乘除法总计算量为：

1 n3 1 n

2 6 n 1 n2 1 n 1 n3n 2 1 n

3252233

2高斯—约当消去法

约当消去法的计算过程为：

对于 k 1,2,, n 计算：

a kj(k )a kj(k 1)/ a kk(k 1) ( j k1,,n1) ( k )(k 1)( k 1)( k )

(i1,2,且

a

ij a

ij

a

ik

a

kj,n i k; j k 1,k 2, , n 1)

乘除法的总次数为:

1 n31

n2.

22

它比高斯消去法的计算量大,但不需要回代过程3向量和矩阵的范数、条件数

向量范数 :

n

n

2

1

1 范数

x 1

x i

2

范数

x 2

(

x i ) 2

范数

x

max x i

i 1

i 1

1 i n

矩阵的范数

设 x 为 n 维向量 , A 为 n 阶方阵 , 则算子范数 :

n

A

max ij 称为矩阵 A 的行范数。

a

1 i n

j 1

n

A 1

max

a

ij

称为矩阵 A 的列范数。

1 j n

i 1

设 A 为 n 阶可逆矩阵 ,则称数

Cond ( A )

A 1 A

为条件数：

Cond ( A)

A

A 1

， Cond 1( A)

A

1

A 1

Cond 2 ( A)

A

2

A 1

1

2

分别称为 A 的

条件数 ,1 条件数 , 2 条件数

解线性方程组的迭代法

1 雅克比迭代法

的迭代公式：

x ( k 1）1

n

(k )

a x b

i

a

ii

ij

j

i

j 1, j i

矩阵形式： x ( k 1)

B J x (k)

f J B J

I D 1 A ， f J D 1b

2 高斯—赛德尔迭代法

迭代公式为：

1

i 1

n

x i ( k 1) a ij x (j

k 1)

a ij x (j

k )

b i ， i

1,2, , n

a ii

j 1

j i 1

成矩阵形式 x (k 1)

B

x (k)

f

G S B

D L 1U

，

f

G S (D L ) 1b

G S

G S

3 迭代法的收敛性判断

（迭代法收敛的基本定理）设有

n 阶方程组 x

Bx f ，对于任意初始向量

x (0 ) 和右端

项 f ，迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径

(B) 1.

（迭代法收敛的充分条件）

若 B 1，则由迭代公式 （ 5.1.3）所产生的向量序列

x (k ) 收

敛于方程组 x Bx

f 的精确解 x * ，且有误差估计式

x ( k)

x *

B

x (k ) x (k 1)

， x (k )

x *

B k

x (0 )

B x (1)

1

1

B

（充分条件）若线性方程组 Ax b 的系数矩阵为严格对角占优或不可约弱对角占优矩

阵，则雅克比和高斯—赛德尔迭代法收敛。

函数插值

1 插值的基本概念

包括线性插值、抛物插值和多项式插值的存在惟一性。

2 拉格朗日插值

n

n x

L n (x)

(

x j

) y i

i 0 j 0 x i

j i

x j

3 插值余项与误差估计

若 f ( x) 在 [ a, b] 上的插值多项式为

L n ( x) ，则称 R n ( x)

f ( x) L n ( x) 为 L n ( x) 的插值余项

（也称误差）。

设 f ( x) 在 [a,b]

上 的 n 1 阶 导 数 连 续 ， 记 为 f ( x) C n 1

[a,b] 且 f ( x) 在 互 异 节 点

a x 0 x 1

x n

b 的函数值为 y 0 , y 1, , y n 。若满足插值条件

L n ( x i ) y i (i 0,1,2, ,n)

的插值多项式为 L n ( x) ，则对 x [ a, b] 有：

f ( n 1) ( )

n

f (n 1) (

)

R n ( x)

f (x ) L n ( x)

(x

(n 1)!

x j )

1)! n 1 (x)

j 0

(n

其中 a

b ， n 1( x)

n

(x x j )

j 0

4 牛顿插值

N n (x) f (x 0 ) f ( x 0 , x 1 )(x

x 0)

f (x 0, x 1,

, x n )(x x 0 )(x

x 1 ) ( x

x n 1 )

数值积分

1 代数精度的概念及其求法。

若数值求积公式对被积函数

f ( x) 1, x, , x m 都能精确成立， 而对被积函数 f (x) x m 1 不

能精确成立，则称求积公式具有

m 次代数精度。

2 牛顿－柯特斯公式

b I ( f )

f ( x) dx

a

(n) ( 1)n i

n

(b a)

C i (n ) f ( x i )

i 0

n n

C

i

n i!(n i )!

0 (t j )dt

j 0 j i

b a

梯形求积公式

I ( f ) T

2

抛物线求积公式或辛普生求积公式

f '' ( 梯形公式的截断误差

R 1 ( f )

2

f ( a) f (b)

I ( f )

b a

f (a) 4 f (

b a

f (b)

S

)

6

2

)

b a)( x b)dx

f ''( ) 3

，

a, b

(x

(b a)

a

12

3 复合梯形求积公式

将 a, b 区间 n 等分，记分点为

x i a ih,

b a

,i

0,1, , n)

( h

n

并在每个小区间 x i , x i 1

上应用梯形公式得：

b

n 1 x

i 1

n 1 h

a f (x)dx

x i

f ( x)dx

i 0

2 f x i

f x i 1

i 0

h

n 1

f (a) 2 f (x i )

f ( b)

2 i 1

复合梯形公式的截断误差

R n ( f )

b a h 2 f ' ' ( ) ， (a,b)

12

4 复合辛普生求积公式

在每个小区间 x i , x i 1 上，用辛普生公式得 :

n 1

n 1

S n

h

f ( a) 4

f (x 1 ) 2

f ( x i ) f ( b)

6

i 0 i 2

i 1

其中 x

1

为 [ x i , x i 1 ] 的中点，即 x

1

x i

1 h

i

i

2

2 2

5 高斯求积公式

若有一组节点 x 0 , x 1 , , x n [ 1,1] ,使插值型求积公式 (8.5.1) 具有 2n 1 次代数精度，则称此组节点为高斯点，并称相应的求积公式为高斯型求积公式。

常微分方程初值问题的数值解法

1 欧拉公式

包括显式、隐式、两步、改进的欧拉公式和梯形公式。

欧拉公式 y n 1 y n hf (x n , y n )

隐式欧拉公式 y n 1 y n hf ( x n 1, y n 1 )

为梯形公式 y n 1 y n

h

[ f ( x n , y n ) f ( x n 1, y n 1 )]

2

改进的欧拉公式

y n 1 y n h [ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n hf ( x n , y n ))]

2

两步欧拉公式 y n 1

y n 1 2hf ( x n ,y n )

2 单步法的局部截断误差和方法的阶

设 y( x) 是微分方程的精确解，则

T n 1 y( x n 1 ) y(x n ) h (x n , x n 1 , y(x n ), y(x n 1 ), h)

称为单步法的局部截断误差。

如果求微分方程数值方法的局部截断误差是

T n 1

O( h p 1 ) ，其中 p 1 为整数，则称该方法

是 p 阶的，或该方法具有 p 阶精度。 p 越大，方法的精度越高。含 h p 1 的项，称为该方法的

局部截断误差主项。

欧拉公式是一阶方法，其截断误差主项为

h 2 y (x n ) 。

2 隐式欧拉公式也是一阶方法，它的主项是

h 2 y (x n )

2

梯形公式是二阶方法，其局部截断误差为

h

3

(x n ).

y

12

可以证明，改进的欧拉方法也为二阶方法。

3 四阶龙格—库塔方法

y n 1

y n

h

2k 2

2k 3 k 4 )

(k 1

6

k 1

f (x n , y n )

4阶经典 R

K 方法形式为：k 2

f (x n

h

, y n

h

k 1 )

2

2

k

f (x

h

, y

h k )

3

n

2

n

2 2

k 4 f ( x n h, y n hk 3 )

4 单步法的收敛性和稳定性

若求微分方程的一种数值方法对于任意固定的 x n x 0 nh ,当 h

0 ( 同时 n

) 时 , 有

y n

y( x n ), 则称该方法是收敛的。

Euler 方法是收敛的 梯形公式是收敛的

改进的 Euler 方法也是收敛的

若用某一数值方法计算

y n 时，所得到的实际计算结果为

以后各节点 y m (m n) 的扰动为

m ，如果总有 | m | | n |,

单步法的稳定区间

~

~

y n ，且由扰动 n | y n y n | 引起

则称该方法是稳定的。

方法

E( h )

稳定区间

Euler 法 1 h

2 h 0 改进的 Euler 法

1 h

( h)2 2 h

2

4阶R K 法

1 h

(h ) 2 ( h )3

(h )4 h 0

2!

3!

2.785

4!

隐式欧拉法

1 h 0

1 h

1 h

梯形公式

2

h 0

1

h 2